高思奥数导引小学三年级含详解答案第12讲 枚举法二.

第12讲枚举法二
◇兴趣篇◇◇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。

医生发现他们一共有8颗蛀
牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
3. 老师让小明写出了3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同
一种写法，例如126
++都算是同一种写法。

请问：小明一共有
++还有612
++、216
多少种不同的写法？
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。

第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这
12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。

请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？
5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，
一共有多少个满足条件的三位数？
6. 如图，一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个
顶点再回到顶点A。

请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
7. 5块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。

现在阿奇站在1号地毯
上，他想要走到5号地毯上。

如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1235
→→→就是一种可能的走法。

请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
8. 在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种
不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）
10. 有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1
的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？
◇◇拓展篇◇◇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人
可能分别找到了几件宝物？
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的
薯条都比5根多。

请问：每个人可能吃了几根薯条？
3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。

如果两个同学写出的3
个自然数相同，只能顺序不一样，就算是同一种写法。

试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
4. 刘老师准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球。

他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球。

请问：3个球桶里面可能分别有几个羽毛球？
5. 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元。

小悦准备买3
支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元。

请问：小悦一共有多少种不同的买法？
6. 刘老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。

这
个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。

试问：刘老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
8. 从图中的左下角的A点走向右上角的B点。

如果要求只能向上或者向右走，一共有多少
种不同的走法？如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？
9. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止。

如果天数不限，可能的吃法一共有多
少种？
10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。

小悦可以用这些木板拼成多少个不同
的数？
11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个。

冬
冬想要挑3个水果吃。

请问：冬冬一共有多少种选择？
12.（1）如图（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，
方格纸上每一段的长度都是1厘米。

试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？
把可能的位置在图上标出来。

（2）如图（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上。

请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？
◇◇超越篇◇◇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多。

请问：两
种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边数是8厘米，这样的三角形共有多少种？
3. 有19本书，分成5份。

如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种
分法？
4. 在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。

比赛采用7场4胜制，每胜一场会
获得1分的积分。

最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。

问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
5. 甲、乙、丙三个人传球。

第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，
球正好回到甲手中。

那么一共有多少种不同的传球方式？
6. 如图，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少
种不同的走法？
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。

一段时间后，他们觉
得每天做同样的位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
8. 如图所示，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，
一共有多少种不同的走法？
第12讲 枚举法二
◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
【分析】共有：114；123；132；141；213；222；231；312；321；411共计10个；
2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。

医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？
【分析】
611352168431642233323++⎧⎪++⎪⎪=++⎨⎪++⎪⎪++⎩共种；共种；共种；
共种；共种；
所以情况共有21种。

3. 老师让小明写出了3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如126++、216++还有612++都算是同一种写法。

请问：小明一共有多少种不同的写法？
【分析】971162153152244143+23+3+3=++=++=++=++=++=+=共计7种；
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。

第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。

请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？
【分析】分堆是无序分拆：
12228237246255336345
333
=++=++=++=++=++=++=++所以这3堆蚂蚁的情况共有7
种。

5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？
【分析】根据乘法原理，知：32212⨯⨯=，所以有8个满足条件的三位数。

6. 如图，一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A 。

请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
【分析】
画树状图有6种：
A A A A A A C B
D
B
D
C
D
C
B
A
7. 5块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。

现在阿奇站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上。

如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1235→→→就是一种可能的走法。

请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
【分析】标数法，如下图：
5
3
2
11
8. 在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
【分析】如上图，11⨯的有9个；21⨯的有8个；
31⨯的有6个；41⨯的还有4个；51⨯的有2个；
所以，一共可以找出29个长方形。

9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）
【分析】设1元、2元、5元的分别为x 张、y 张、z 张，则有： 2313x y z ++=。

当0z =时，有：213x y +=，有以下组解： 135791113
,,,,,,6543210x x x x x x x y y y y y y y =======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=======⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩
；
当1z =时，有：28x y +=，有以下组解： 02468
,,,,43210x x x x x y y y y y =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩
当2z =时，有：23x y +=，有以下组解： 13
,10x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩
所以共有：75214++=（种）。

10. 有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？ 【分析】根据题意，这类数只能有２个１，１个２组成，这样的数只有３个。

如下： 112、121、211．
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？ 【分析】
500341065320631132213++⎧⎪
++⎪⎪
=++⎨⎪++⎪⎪++⎩共种；共种；共种；
共种；共种；
所以共有21种情况。

2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多。

请问：每个人可能吃了几根薯条？ 【分析】668206773++⎧=⎨++⎩
共3种；
共种；
所以共有6种情况。

3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。

如果两个同学写出的3个自然数相同，只能顺序不一样，就算是同一种写法。

试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
【分析】根据题意，共有如下10种情况：
8008017026035044116
125134224233
=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++
4. 刘老师准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球。

他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球。

请问：3个球桶里面可能分别有几个羽毛球？ 【分析】由于球桶一样，则在计算时不计顺序，所以有：
16088178277268358367
448457556664=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++共10种情况。

5. 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元。

小悦准备买3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元。

请问：小悦一共有多少种不同的买法？ 【分析】根据题意，有：
151221113110411032951942
861852843762753654=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++共计12种。

6. 刘老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。

这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。

试问：刘老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？ 【分析】设这个密码为：abc ，且有：5a b c <<≤，从百位开始枚举有： 541、542、543；531、532；521；431、432；421；321共10次。

7. 常昊和古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。

如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？ 【分析】令常昊为a ，古力为b ，则进行分类枚举有： 如果第一场常昊胜，共有6种：
b
b a b
b
a a
b a
b b a b a b
a a a
a
如果第一场古力胜，有4种：
a b
a b a b a b
b a
b
a b a b
a b a
b
所以共有10种。

8. 从图中的左下角的A 点走向右上角的B 点。

如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？如果要求只能不走重复的路线就可以，那么从A 点走到B 点一共有多少种不同的走法？
【分析】
（1） 如果是只能向上或者向右走 ，使用标数法,可知有：
15
22
1
1
B A
（2） 不走重复路线共有9种方法；
G F
E
D
C
B
A
B
E B
B B F E B F B
H B H
F C H
F G G
G
D
C
A
9. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止。

如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？ 【分析】共有：
223334752271++⎧⎪
+⎪=⎨
+⎪⎪⎩共种；共2种；
共种；共种； 所以共有8种。

10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。

小悦可以用这些木板拼成多少个不同的数？ 【分析】按照位数进行分类，有： 2
33
3366A A ⎧⎪=⎨⎪=⎩一位：个；二位：个；
三位：个；
则共有：15个。

11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个。

冬
冬想要挑3个水果吃。

请问：冬冬一共有多少种选择？
【分析】根据题意，3个水果来自：
（1）一种水果：3种；
（2）两种水果：32=6
种；
（3）三种水果：1种。

所以冬冬一共有10种。

12.（1）如图（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，
方格纸上每一段的长度都是1厘米。

试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？
把可能的位置在图上标出来。

（2）如图（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上。

请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？
【分析】（1）有8个可能的位置，分别是：
（2）观察一边，共有10种；
2种；1种；2种；
2种；1种；2种；
◇◇超越篇◇◇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多。

请问：两
种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
【分析】有序分拆有：
3=1+2共２种；
４＝１＋３共２种；
５＝１＋４＝２＋３　共４种；
６＝１＋５＝２＋４　共４种；
７＝１＋６＝２＋５＝３＋４　共６种；
８＝１＋７＝２＋６＝３＋５　共６种；
９＝１＋８＝２＋７＝３＋６＝４＋５　共８种；
所以共有32种。

2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边数是8厘米，这样的三角形共有多少种？
【分析】令另外两条边的边长为a与b，且a b ，
则有：181897
a b a b a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪
≥⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩
根据不等式有：
()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()
,1,82,72,83,63,73,84,54,64,74,85,55,65,75,86,66,76,87,77,88,8a b =
所以共有20个解。

3. 有19本书，分成5份。

如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
【分析】在1234515++++=的基础上进行调整，则有：
()()()()()1,2,3,4,91,2,3,5,81,2,4,5,71,2,3,6,71,3,4,5,6共5种解。

4. 在NBA 总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。

比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分。

最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4:2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。

问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？ 【分析】如下图，横线段表示湖人队得分，树线段表示活塞队得分，由于一开始是湖人队先得分，而且湖人队的得分时钟要不低于活塞队，而且湖人队不能领先4活塞队4分，则标数法，如下图所示：
5531112
212分1分
4分
3分
2分
1分
0分
5. 甲、乙、丙三个人传球。

第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，球正好回到甲手中。

那么一共有多少种不同的传球方式？ 【分析】
树状图法，共有6种：
甲
甲
甲
甲
甲
甲
丙
甲
丙
乙
乙
甲
丙
乙
乙
甲
丙
甲
丙
乙
甲
6. 如图，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少
种不同的走法？
【分析】从A出发，第一条路线有3种选择；
若从A第一步去往C地；则有6种；
B
G
D
B
G
E
B
B
F
B
G
B
G
D
F
E
C
A
同理，若从A第一步去往D地；则有6种；
若从A第一步去往E地；则有4种；
所以共有16种方法。

7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。

一段时间后，他们觉
得每天做同样的位置太无聊，每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人都要换座位，而且
每人都要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
【分析】（1）将五人分别编号为1、2、3、4、5；则有：
（4，5，1，2，3） ；（5，4，1，2，3）；（3，4，5，1，2）；（3，4，5，2，1）所以共有4
种；
（2）每人都要换座位，而且要换到与原来位置不相邻的情况，则也给甲、乙、丙、丁、戊、己六人编号为1、2、3、4、5、6，他们共能组成以下8种方法：
1
32
45
62
1
3
4652
13
4562
1
3
4562
1345
6
2134
562
134
56
654
312
8. 如图所示，一只蚂蚁从A 点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走法？
【分析】第一站到如果是到B 有10种（如下图）；到D 、到E 、到F 类似，所以共有40种；
D C
E E D
C E E C D
C F F C D
D F F D C
E D
F D F
E
F E
C B A。