第5_1_2弧度制优质教学课件PPT

扇形的弧长 扇形的面积
l= nπR
180
S= nπR2
360
l=⑨ αR
1
S= 1lR=⑩ 2αR2
2
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.1 rad的角和1°的角相等. ( ✕ )
π
2.405°可以转化为360°+ 4 . ( ✕ )
提示:角度与弧度不可同时使用,405°可化为2π+
度 0° 1° 30° 45° 60° 90°
120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
π
π
⑦
π
180 6
3
π
4
π
⑧
3π
5π π
2
4
6
2π
3
3π 2π
2
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数),则
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 必修第一册 人教A版
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
5.1.2 弧度制
通过教材中的探究,明确角度制与弧度制的关系,掌握角度与弧度的互化公式 及弧度制下的弧长公式及扇形面积公式,体会数学抽象的过程,加强问题探究与数 学运算素养的培养.学习本节要注意以下问题: 1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
近年来,
随着我市经济的快速发展,政府对民生越来越关注.市区现有一块近似正三角形的 土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
随着我市经济的快速发展,政府对民生越来越关注.市区现有一块近似正三角形的
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2
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
1.有关扇形的弧长l,圆心角α(0<α<2π),面积S的题目,一般是知二求一.解此类题目的 关键在于灵活运用公式l=αr,S= 1lr= 1αr2,采用消元思想加以解决.
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2.扇形周长及面积的最值问题: (1)当扇形周长一定时,扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次 函数,但要注意r的取值范围,要特别注意扇形的弧长必须满足0<l<2πr. (2)当扇形面积一定时,扇形的周长有最小值.其求法是把周长C转化为关于r的函数, 但要注意r的取值范围.
3
3 - 4π 万平方米.
9
解题模板
弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径R和扇形圆心角的弧度数α,解题
时通常要根据已知条件列出方程,运用方程思想求解,强化了数学运算的核心素养.
π 4
或
9π 4
.
3.角度制与弧度制的单位都可以省去. ( ✕ )
4.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关. ( √ )
5.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则扇形的面积变为原来的2
倍. ( ✕ )
提示:由S=
1 2
lR得扇形的面积变为原来的4倍.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
(2)∵S△ABC= 3 ,
∴S =S -S -S -S 阴影 △ABC 扇形DBE 扇形DAG 扇形ECF
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
= 3 - π [x2+2(2-x)2]
6
=
3
-
π 6
3
x-
4 3
2
8
3
,
∴当x= 4 时,S阴影取得最大值,为 3 - 4π .
3
9
故当BD的长为 4 百米时,草坪面积最大,最大面积为
土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶
点处分别修建扇形广场,即扇形DBE,DAG和ECF,其中
︵
DG
,
︵
EF
与
︵
DE
分别相切于
点D,E,且 D︵G与 E︵F无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪.设BD的长为x(单位:百米),
草坪面积为S(单位:万平方米).
(1)试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积,并写出x的取值范围;
在扇形DBE中,
︵
DE
的长为
π 3
x,
1π π
所以S扇形DBE= 2 × 3 x2= 6 x2,
同理,S扇形DAG=
1 2
×
π 3
×(2-x)2=
π 6
(2-x)2.
∵
︵
DG
与
︵
EF
无重叠,∴CF+AG<AC,
即2-x+2-x<2,则x>1.
又三个扇形都在三角形内部,则x≤ 3 ,∴x∈(1, 3 ].
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
角度制与弧度制
1.角度制与弧度制
角度制 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的
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长度等于① 半径长 的圆弧所对的② 圆心角 叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad
表示,读作弧度.以③ 弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.单位圆:半径为④ 1 的圆叫做单位圆.
3.在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么⑤ |α|= l .
r
4.一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
角度制与弧度制的换算 1.角度与弧度的互化
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
求扇形的弧长和面积
如图所示,有一段圆弧形公路
︵
AB
,弯道半径R为45
m,圆弧的圆心角为60°.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
问题
︵
1.如何求出弧 AB 的长?(精确到1 m)
提示:根据扇形的弧长公式,可得l=αR= π ×45=15π≈47 m.
3
2.如何求图中扇形AOB的面积?
提示:根据扇形的面积公式,可得S= 1 αR2= 1 × π ×452= 675π m2.
(2)当x为何值时,草坪面积最大?并求出其最大面积.
思路点拨
(1)根据扇形的面积公式求出相关扇形的面积,根据条件可得CF+AG<AC,且BD的
长小于等于△ABC的高,从而解得x的取值范围;(2)先求出阴影部分的面积,然后利
用函数的性质求草坪面积的最大值.
第1讲 描述运动的第基本五概章念 三角函数
解析 (1)BD=x,则BE=x,AD=AG=EC=FC=2-x,