2023年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压轴小题(解析版)

突破圆锥曲线压轴小题
圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
【例1】(1)(2022·济南联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1(－
c ,0)，F 2(c ,0)，点P 是
椭圆C 上一点，满足|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→
|，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆F 1：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2，圆F 2：(x －c )2＋y 2＝a 2都内切，其中0<r <a ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.34 C.104 D.
15
4
【答案】C
【解析】由|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→
|两边平方， 可得PF 1——→·PF 2——→＝0，则PF 1——→⊥PF 2——→，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＝2a －r ，
|PF 2
|＝a －r ，即|PF 1|－|PF 2|＝a ，
由|PF 1
|＋|PF 2
|＝2a ，得⎩⎨⎧
|PF 1|＝3a 2
，
|PF 2
|＝a
2
，
在△PF 1F 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 得9a 24＋a 24＝4c 2，即e 2＝c 2a 2＝58，所以e ＝104
. (2)(2022·广州模拟)已知A ，B 分别为椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，P A ，PB 与直
线x ＝3交于M ，N 两点，△PMN 与△P AB 的外接圆的周长分别为l 1，l 2，则l 1
l 2的最小值为( )
A.
54 B.34 C.24 D.14
【答案】A
思路引导
母题呈现
【解析】由已知得A (－2,0)，B (2,0)，设椭圆C 上动点P (x ，y )， 则利用两点连线的斜率公式可知k P A ＝y －0x ＋2，k PB ＝y －0
x －2，
∴k P A ·k PB ＝y －0x ＋2·y －0x －2＝y 2(x ＋2)(x －2)＝y 2x 2－4＝1－
x 2
4x 2－4＝－1
4.
设直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)， 则直线PB 的方程为y ＝－1
4k (x －2)，
根据对称性设k >0，
令x ＝3，得y M ＝5k ，y N ＝－1
4k ，
即M (3,5k )，N 1
(3,)4k
−
，则|MN |＝5k ＋14k . 设△PMN 与△P AB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2， 由正弦定理得2r 1＝|MN |sin ∠MPN ，2r 2＝|AB |
sin ∠APB ，
∵∠MPN ＋∠APB ＝180°，∴sin ∠MPN ＝sin ∠APB ， ∴l 1l 2＝2πr 12πr 2＝r 1r 2＝|MN |
|AB |＝5k ＋14k 4
≥2
5k ·1
4k 4＝54
， 当且仅当5k ＝14k ，即k ＝5
10时，等号成立，
即l 1l 2的最小值为5
4
. 【方法总结】
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题． 【针对训练】(1)(2022·深圳模拟)F 1，F 2分别为双曲线
C ：x 2－
y 2
2
＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ，B 两点，若l ⊥F 2B ，则F 2A —→·F 2B —→
等于( ) A ．4－2 3 B ．4＋ 3 C ．6－2 5 D ．6＋25 【答案】C
【解析】在双曲线C 中，a ＝1，b ＝2，c ＝3， 则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
因为直线l 过点F 1，由图知，直线l 的斜率存在且不为零，
因为l ⊥F 2B ，则△F 1BF 2为直角三角形， 可得|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2，
所以4＝(|BF 1|－|BF 2|)2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝12－2|BF 1|·|BF 2|， 可得|BF 1|·|BF 2|＝4，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
|BF 1|－|BF 2|＝2，|BF 1|·|BF 2
|＝4，
解得|BF 2|＝5－1，
因此F 2A —→·F 2B —→＝(F 2B —→＋BA —→)·F 2B —→＝F 2B —→2＋BA —→·F 2B —→ ＝(5－1)2＝6－2 5.
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C ：x 25＋y 2
b 2＝1(0<b <5)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，点
Q 是圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线E 上任意一点，若|PQ |－|PF 2|的最小值为5－25，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的焦距为2
B ．曲线E 过点F 2的切线斜率为
C ．若A ，B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线P A 与PB 斜率之积为－1
5
D ．|PQ |＋|PF 2|的最小值为2 【答案】BC
【解析】圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线为以C (4,0)为圆心，1为半径的圆， 即曲线E 的方程为(x －4)2＋y 2＝1，
由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， |PQ |－|PF 2|＝|PQ |－(25－|PF 1|) ＝|PQ |＋|PF 1|－25≥|Q ′F 1|－2 5.
由图知Q ′(3,0)，
|Q ′F 1|－25＝3＋c －25＝5－25， 解得c ＝2，b ＝1， 椭圆方程为x 25
＋y 2
＝1.
故焦距|F 1F 2|＝2c ＝4，A 错误；
|PQ |＋|PF 2|≥|Q ′F 2|＝3－c ＝1，D 错误； 设曲线E 过点F 2的切线斜率为k ， 则切线方程为kx －2k －y ＝0，
由圆心到切线方程的距离等于半径得|4k －2k －0|
1＋k 2＝1，
即k ＝±
3
3
，B 正确； 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，
则k P A ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·－y 1－y 0－x 1－x 0＝y 21－y 2
x 21－x 20， 又点P ，A ，B 都在椭圆上，即x 2
5＋y 20＝1， x 215＋y 21＝1⇒y 21－y 2
0x 21－x 20
＝－15，C 正确．
类型2 圆锥曲线与三角形“四心”问题
【例2】(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是双曲
线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x ＝a 上，且满足PH →＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R .若5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1
——→
＝0，则双曲线C 的离心率为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
【解析】由PH →
＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R ，
则点H 在∠F 1PF 2的角平分线上，
由点H 在直线x ＝a 上，则点H 是△PF 1F 2的内心， 由5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1——→
＝0，
由奔驰定理(已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →
＝0)知，
12
12HF F HF P HF P S S S △△△∶∶＝5∶4∶3，
即12|F 1F 2|·r ∶12|PF 1|·r ∶1
2|PF 2|·r ＝5∶4∶3， 则|F 1F 2|∶|PF 1|∶|PF 2|＝5∶4∶3， 设|F 1F 2|＝5λ，|PF 1|＝4λ，|PF 2|＝3λ， 则|F 1F 2|＝2c ＝5λ，
即c ＝5λ
2，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝λ，
即a ＝λ2，则e ＝c
a
＝5.
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G 3(1,)2，则p ＝________.
【答案】3
16
【解析】设M 200(,)2x x p
，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 设过点M 的直线方程为x ＝t 2
00()2x y p −＋x 0，①
与y 2＝4x 联立得y 2＝4t 2
0()2x y p −＋4x 0，
即
y 2－4ty ＋
2tx 20
p
－4x 0＝0，② 由题意知Δ＝16t 2－42
002(4)tx x p −，
即2pt 2－x 20t ＋2px 0＝0，
则t 1＋t 2＝x 20
2p ，t 1·t 2＝x 0(t 1，t 2分别表示l 1，l 2斜率的倒数)，
由于方程②Δ＝0，则其根为y ＝2t ， 当t ＝t 1时，y 1＝2t 1，当t ＝t 2时，y 2＝2t 2， ∵△MPQ 的重心为G 3(1,)2
，
∴x 202p ＋y 1＋y 2＝x 20
2p ＋2(t 1＋t 2) ＝x 202p ＋2×x 20
2p ＝3x 202p ＝92
，③ 而x 1＋x 2＝t 12
01()2x y p
−＋x 0＋t 2202()2x y p −＋x 0 ＝2(t 21＋t 22)－x 202p
(t 1＋t 2)＋2x 0
＝2[(t 1＋t 2)2
－2t 1t 2]－x 20
2p
(t 1＋t 2)＋2x 0
＝22002
(2)4x x p
−－x 404p 2＋2x 0＝x 404p 2－2x 0. ∴x 0＋x 1＋x 2＝x 40
4p 2－x 0＝3，④
联立③④得p ＝3
16
.
【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，
让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．
【针对训练】 (1)（2022·南京外国语学校模拟预测）已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，若I 是△MF 1F 2的内心，G 是△MF 1F 2的重心，记△IF 1F 2与△GF 1M 的面积分别为S 1，S 2，则( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2
C ．S 1<S 2
D ．S 1与S 2大小不确定
【答案】B
【解析】因为|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝2，
所以M 的轨迹是椭圆x 24＋y 2
3
＝1在第一象限内的部分，如图所示．
因为I 是△MF 1F 2的内心，设内切圆的半径为r ， 所以(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r 2＝|F 1F 2|·y M
2，
所以r ＝y M 3，所以S 1＝|F 1F 2|·r 2＝y M
3，
又因为G 是△MF 1F 2的重心， 所以OG ∶GM ＝1∶2， 所以121221
33
MOF F MF S S S =
=△△ ＝13·|F 1F 2|·y M 2＝y M
3
，所以S 1＝S 2. (2)（2022·湖北·荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线
与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 【答案】3
2
【解析】设OA 所在的直线方程为y ＝b
a x ，
则OB 所在的直线方程为y ＝－b
a x ，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a x ，
x 2＝2py ，得⎩⎨⎧
x ＝2pb
a ，y ＝2p
b 2a 2，
所以点A 的坐标为2222(,)pb pb a a ，
抛物线的焦点F 的坐标为(0,)2
p .
因为F 是△OAB 的垂心，所以k OB ·k AF ＝－1 ，
所以－b a ·22
22()2pb p
a
pb
a −＝－1⇒
b 2a 2＝54. 所以
e 2＝
c 2a 2＝1＋b 2a 2＝94，解得e ＝32
. 类型3 圆锥曲线在生活中的应用
【例3】(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，点连线的夹角．请解决下面问题：已知F 1，F 2分别是双曲线
C ：x 2－
y 2
2
＝1的左、右焦点，若从点F 2发出的光线经双曲线右支上的点A (x 0,2)反射后，反射光线为射线AM ，则∠F 2AM 的角平分线所在的直线的斜率为( )
A ．－ 3
B ．－33 C.3
3
D.3 【答案】B
【解析】由已知可得A (x 0,2)在第一象限， 将点A 的坐标代入双曲线方程可得x 20－4
2＝1， 解得x 0＝3，所以A (3，2)， 又由双曲线的方程可得a ＝1，b ＝2， 所以c ＝3，则F 2(3，0)，
所以|AF 2|＝2，且点A ，F 2都在直线x ＝3上，
又|OF 1|＝|OF 2|＝3，
所以tan ∠F 1AF 2＝|F 1F 2||AF 2|＝23
2＝3，
所以∠F 1AF 2＝60°，
设∠F 2AM 的角平分线为AN ， 则∠F 2AN ＝(180°－60°)×1
2
＝60°，
所以∠F 2AM 的角平分成所在的直线AN 的倾斜角为150°， 所以直线的斜率为tan 150°＝－
33
. (2)（2022·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图2)，且两切线斜率之积等于－9
16
，则椭圆的离心率为( )
图1 图2
A.34
B.74
C.916
D.32 【答案】B
【解析】若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为
x 2(ma )2＋y 2
(mb )2
＝1(m >1)， ∴A (－ma ,0)，B (0，mb )， 设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )， 切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2
＝1，
整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21
－a 2b 2＝0， 由Δ＝0知
(2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，
整理得
k 2
1＝b 2
a 2·
1
m 2－1
，
同理⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，
可得
k 2
2＝b 2a 2·(m 2－1)，
∴(k 1k 2)2
＝b 4
a
4＝29()16
−，即b 2
a 2＝916， 故e ＝c a
＝
a 2－
b 2a 2＝7
4
. 【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．
【针对训练】(1)（2022·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |等于( )
A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 【答案】C
【解析】l 平分∠F 1PF 2， 因为
12
PMF PMF S S △△＝|F 1M ||F 2M |
＝1
2|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2
||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|， 由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4得|PF 2|＝3， 故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.
(2)（2022·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y 2－x 2＝1，y ∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5 【答案】A
【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r ，圆心为(0，r ＋1)， 圆的方程为x 2＋(y －r －1)2＝r 2， 代入双曲线方程y 2－x 2＝1，
得y 2－(r ＋1)y ＋r ＝0，∴y ＝1或y ＝r ， 要使清洁钢球到达底部，即r ≤1.
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
−=>>的左、右焦点分
别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的右支上，且124PF PF =，双曲线C 的一条渐近线方程为y kx =，则k 的最大值为（ ）
A ．43
B ．43−
C ．34
D ．34
−
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，1F 、2F 和P 共线时取等号，列出,a c 的不等式即可. 【详解】124PF PF =，122PF PF a −=，
2128,33
PF a PF a ∴=
= 1212+≥PF PF F F .
5
3
c a ∴≤
2222
169
b c a a ∴=−≤
43b a ∴≤ 即k 的最大值为43
故选：A.
模拟训练
且4AP AQ a ⋅=−的坐标，代入4AP AQ a ⋅=−
当b
y x a
=
时，如图，设联立222b y x
a x y c ⎧
=⎪⎨⎪+=⎩，解得又因为(,0)A a −，所以AQ 所以(2,AP a =，(0,AQ =−所以2AP AQ b ⋅=−22+=a b ，所以25a =同理，当y =−
时，亦可得2. 所以()
222211
()()|2|||44AP AQ AP AQ AP AQ AO QP a ⎡⎤⋅=
+−−=−=⎣
⎦
2
,2⎫⎛+∞⎪ ⎪ ⎭⎝【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆所以121222,2,x x OM ON y y ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝
所以0OM ON ⋅>，所以114x x OM ON y y ⋅=
2
1
421k −⨯
+−−，设2MF FN =，点Q B ．54
利用2MF FN =求出点，则221212(,1),(,44x x MF x FN x =−−=由2MF FN =得：−218x =，
因此点Q 的纵坐标为
60，则该双曲线的离心率为
A ．
33
B ．3 【答案】D
60，即603=2360， a
x b
=的倾斜角为60， 603=2
4a =
A ．74
B ．2
C ．【答案】D
【分析】设双曲线的标准方程为(22
2210,x y a a b −=>【详解】设双曲线的标准方程为(22
2210,x y a a b −=>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知10a =5025⎛⎫⎛⎫
8．（2022·四川成都·树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为
90，tan
A ．10
B ．
102
C ．3 【答案】B
【分析】设1AF m =，()20,0AF n m n =>>，根据题意可得AB =
a 表示），然后在12AF F △中，应用勾股定理得出a 、c 的关系，求得离心率．【详解】连接1AF 、1BF ，易知1F 、A 、D 共线，1F 、B 、C 共线，
设1AF m =，(2AF n m =>(1tan tan 180ABF ABC ∠=−∠由勾股定理可得1BF AF =
18090BAD −∠=，
2
2
2
1212+AF AF F F =，即(
设(),M x y ，则12222y y k k x x x ⋅=⋅=+−直线1A M 的方程为()12y k x =+，直线A 即111142343,2323k k Q k k ⎛⎫
−+ ⎪ ⎪++⎝⎭
，
．OAB 可能为锐角三角形．过点(0,1M ．若3AF =，则AOB 的面积为最小值为3+AOB S =，从而利用基本不等式即可判断⎩
故1OA OB x x ⋅=对于B ：因为对于所以()0,1M 在抛物线AOB
S
=
D ：由选项
A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角
D．若太阳光线与地面所成角为π
6
，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的
15．（多选题）（2023·山东淄博·统考一模）已知曲线C 的方程为22
14x y m
+=（4m <且m ≠C 与x 轴的左、右交点，P 为C 上任意一点(不与A ，B 重合)，则（ ）
A ．若1m =−，则C 为双曲线，且渐近线方程为2y x =±
B ．若P 点坐标为()1,n ，则
C 为焦点在x 轴上的椭圆 C ．若点F 的坐标为
(
)
4,0m −，线段PF 与x 轴垂直，则2
m PF =
D ．若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124
m k k =− 【答案】BD
【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.
1
12PF F S =
20．（2023·云南玉溪·统考一模）已知。