【高中】高中数学第1章导数及其应用132极值点互动课堂苏教版选修22

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高中数学第1章导数及其应用 1.3.2 极值点互动课堂苏教版选
修2-2
疏导引导
1.可导函数极值的概念
如图,观察图形,展示出图象在点(x1,f(x1))处的切线的变化.
不难得出:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正,得到可导函数极值的概念.
疑难疏引对此概念的几点说明如下:
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义,是指在点x0及其左右邻域都有意义.
(2)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.
(3)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)
(5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f′(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f′(x)=0，那么x0在什么情况下是极值点呢？
如上图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0.x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x0)＜0，同理，如下图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，
即f′(x0)＜0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0，从而我们得出结论：若x0满足f′(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x0)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x0)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
2.求可导函数y=f(x)极值的步骤：
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化.由上面介绍的方法确定函数是否取得极值，以及极值是什么.
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1.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.
解析：f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.∴x＜-1时，f′(x)＞0,函数f(x)递加；-1＜x＜3时，f′(x)＜0,函数f(x)递减；x＞3时，f′(x)＞0，函数f(x)递加，
∴f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22.
2.求函数f(x)=-2的极值.
解析：由f(x)=-2知函数f(x)的定义域为R.
f′(x)=.
令f′(x)=0,得x=-1,或x=1.
当x=1时，函数有极大值，且f(1)==-1.
3.已知函数f(x)=x3＋ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7;当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.
解析：f′(x)=3x2+2ax+b.
据题意，-1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得：
∴a=-3,b=-9
∴f(x)=x3-3x2-9x+c
∵f(-1)=7,∴c=2
极小值f(3)=33-3×32-93+2=-25
∴极小值为-25,a=-13,b=-9,c=2.
4.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.
解析：(1)f′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，f′(1)=0，f′(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,则
f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
由上表可以看出，当x=-1时，函数f(x)取得极大值；当x=1时，函数f(x)取得极小值.
(2)由(1)的计算可知曲线方程为y=f(x)=x3-3x,且点A(0,16)不在该曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0=.
又f′(x0)=,
∴切线的方程为y-y0=()(x-x0).
由于点A(0,16)在该切线上，从而有
16-y0=()(-x0)，结合y0=，得x0=-2.∴y0=-2.
∴适合题意的切线方程为9x-y+16=0.
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