2021-2022八年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)

一、选择题
1．点(3, 2)P t t ++在直角坐标系的x 轴上，则P 点坐标为（ ）
A ．()0,2-
B ．()2,0-
C ．()1,2
D ．()1,0 2．在平面直角坐标系中，点P(－5，0)在( )
A ．第二象限
B ．x 轴上
C ．第四象限
D ．y 轴上 3．如图，△ABC 中，AD 垂直BC 于点D ，且AD=BC ，BC 上方有一动点P 满足12PBC ABC S S ∆∆=，则点P 到B 、C 两点距离之和最小时，∠PBC 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 4．已知(4,2)P a +在第一象限内，且点P 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．－6 D ．2或－6 5．下列是最简二次根式的是（ ）
A ．6
B ．4
C ．15
D ．3
6．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A ．72+
B ．45
C ．472-
D ．35 7．如x 为实数，在“(31)-□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x 不可能是（ ）
A ．31-
B ．31+
C ．33
D ．13- 8．下列说法中正确的是（ ）
A ．81的平方根是9
B ．16的算术平方根是4
C ．3a -与3a -相等
D ．64的立方根是4± 9．如图，动点P 从点A 出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S ，若8BC =，点P 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）
A ．6
B ．4π
C ．8
D ．10
10．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝（ ）
A ．6
B ．()326+
C ．63
D ．9
11．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）
A ．22-
B ．2
C ．21+
D ．1
12．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）
A ．73厘米
B ．10厘米
C ．82厘米
D ．8厘米
二、填空题
13．点M(a ，5)与点N(-3，b)关于Y 轴对称，则a + b =______．
14．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．
15．对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：431232-7543)2=※________．
16．计算1248⨯的结果是________________． 17．若2(1)10a b -++=，则20132014a b +=___________．
18．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.
19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝15，AC ＝12，那么Rt △ABC 的面积是_____． 20．如图，90AOB ∠=︒，9OA m =，3OB m =，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC 为__________．
三、解答题
21．如图，方格纸中小正方形的边长均为1个单位长度，A 、B 均为格点．
（1）在图中建立直角坐标系，使点A 、B 的坐标分别为（3，3）和（﹣1，0）；
（2）在（1）中x 轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形（其中AB 为腰）？若存在，请直接写出所有满足条件的点C 的坐标．
22．如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(2,3),(3,1),(1,2)---
（1）画出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △．
（2）直接写出1A 点关于x 轴对称的点的坐标．
（3）在x 轴上有一点P ，使得PA PB +最短，求最短距离是多少？
23．计算：
（1）（π﹣2020）0﹣233+-84+|1﹣3|． （2）12273+﹣()()3-232+．
24．计算：38|12|8+---．
25．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=32米．求点B 到地面的垂直距离BC ．
26．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．
（1）求DC 的长；
（2）求ABC 的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
x 轴上点的纵坐标是0，由此列得t+2=0，求出t 代回即可得到点P 的坐标．
【详解】
∵点(3, 2)P t t ++在直角坐标系的x 轴上，
∴t+2=0，
解得t=-2，
∴点P 的坐标为（1,0），
故选：D ．
【点睛】
此题考查坐标轴上点的坐标特点：x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标是0． 2．B
解析：B
【分析】
根据点的坐标特点判断即可．
【详解】
在平面直角坐标系中，点P （-5，0）在x 轴上，
故选B ．
【点睛】
此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解本题的关键．
3．B
解析：B
【分析】 根据12
PBC ABC S S ∆∆=得出点P 到BC 的距离等于AD 的一半，即点P 在过AD 的中点且平行于BC 的直线l 上，则此问题转化成在直线l 上求作一点P ，使得点P 到B 、C 两点距离之和最小，作出点C 关于直线l 的对称点C ’，连接BC ’，然后根据条件证明△BCC ’是等腰直角三角形即可得出∠PBC 的度数．
【详解】
解：∵12
PBC ABC S S ∆∆=， ∴点P 到BC 的距离=
12AD ， ∴点P 在过AD 的中点E 且平行于BC 的直线l 上，
作C 点关于直线l 的对称点C ’，连接BC ’，交直线l 于点P ，
则点P 即为到B 、C 两点距离之和最小的点，
∵AD⊥BC，E为AD的中点，l∥BC，点C和点C’关于直线l对称，
∴CC’=AD=BC，CC’⊥BC，
∴三角形BCC’是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换—最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上是解决此题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
本题可通过横坐标为4确定点P到纵轴距离，继而根据点P到坐标轴距离相等列方程求解．
【详解】
由已知得：24
a+=，
因为点P在第一象限，故：24
a+=，
解得：2
a=．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系、一元一次方程、绝对值的化简，易错点在于若坐标含有未知数，考查距离问题时需要加绝对值或者分类讨论，确保结果不重不漏．
5．A
解析：A
【分析】
根据最简二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】
6，是最简二次根式；
4＝2，故不是最简二次根式，不符合题意；
15
5
=，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.
23
3
3
=，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选A.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
6．B
解析：B
【分析】
根据夹逼法逐项判断即得答案．
【详解】
解：A 、47<<425∴<<，故本选项不符合题意；
B 、∵
<<67∴<<，故本选项符合题意；
C 、36<425∴<<，故本选项不符合题意；
D 、25<<56∴<<，故本选项不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，属于常考题型，掌握夹逼法解答的方法是关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．
【详解】
解：A 、1)1)0-=，故选项A 不符合题意；
B 、1)1)2⨯=，故选项B 不符合题意；
C 1与C 符合题
意；
D 、1)(10+-=，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
根据平方根，立方根，算术平方根的定义解答即可．
【详解】
A ．81的平方根为9±，故选项错误；
B．16的算术平方根是2，故选项错误；
C．33
-=-
a a，故选项正确；
D．64的立方根是4，故选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握是解题关键．9．A
解析：A
【分析】
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB即可求解．
【详解】
解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为AS=5，
根据题意，BS=1
2
BC=4，∠ABS=90°，
∴AB=22
AS BS
-=22
54
-=3，
∴圆柱的底面周长为2AB=6，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是AS是解答的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF，由过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到满足条件的点P，易得EM=DM=MF＝32
方程求出PM、PE、PF，继而求出PD的长即可求解．
【详解】
解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=6，
∴2222
6662
EF DE DF
=++=
过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则
∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P就是马费点，
∴EM=DM=MF＝32
设PM＝x，PE＝PF=2x，
在Rt △EMP 中，由勾股定理可得：
222PM EM PE +=，即()2
2182x x +=， 解得：16x =，26x
=-（负数舍去），
即PM =6，
∴PE ＝PF ＝26
故DP =DM －PM ＝326-，
则PD +PE +PF =32646-+=3236+=()
3
26+． 故选B ．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM 的长是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，21，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．
【详解】
连接BP ，
在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒
∠=∠=︒，
∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ，
∴2222(2)2AB AC ===，
∴AB=BC=1，
由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，
∴21，
在△BDP 和△EDP 中， BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDP ≌△EDP ，
∴BP=EP ，
∆的周长最小，
∴当点P与点D重合时，PE+PC=PB+PC=BC的值最小，此时PEC
∆的周长的最小值为BC+CE=1+21
PEC
-=2，
故选：B．
．
【点睛】
此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性
∆的周长最小，合情推理科学质证得△BDP≌△EDP，由此推出当点P与点D重合时PEC
论证．
12．B
解析：B
【分析】
把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】
把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，
连接PB，
则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.
二、填空题
13．8【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点得a=3b=5即可求解【详解】解：∵点M（a5）和点N（-3b）关于y轴对称∴a=3b=5∴a+b=8故答案为：8【点睛】本题考查了关于x轴y轴对称的点的坐标
解析：8
【分析】
根据关于y轴对称的点的坐标特点得a =3，b=5，即可求解．
【详解】
解：∵点M（a，5）和点N（-3，b）关于y轴对称，
∴a =3，b=5，
∴a + b =8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为P1（a，-b）；点P（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为P2（-a，b）．14．（12）【分析】根据平面直角坐标系的特点建立坐标系即可确定C点的坐标【详解】解：∵点A的坐标（-23）点B的坐标是（3-2）故平面直角坐标系如图所示：故答案为：（12）【点睛】本题主要考查了坐标与图
解析：（1，2）
【分析】
根据平面直角坐标系的特点建立坐标系，即可确定C点的坐标．
【详解】
解：∵点A的坐标（-2,3）点B的坐标是（3，-2），
故平面直角坐标系如图所示：
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据两个已知点，确定直角坐标系．15．【分析】先将新定义的运算化为一般运算再计算二次根式的混合运算即可【详解】解：=====故答案为：【点睛】本题考查新定义的实数运算二次根式的
混合运算能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键
解析：1-
【分析】
先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．
【详解】
-※
解：2
=2
-
=2
=2
=43
-
=1-
故答案为：1-
【点睛】
本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．
16．【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查二次根式的乘法熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键
【分析】
利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】
=
【点睛】
本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键．
17．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值
解析：2
【分析】
先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算有理数的乘方运
算即可得．
【详解】
由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，
解得1a =，1b =-，
则()
201420132014201311112a b +=+-=+=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键． 18．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定 解析：5
【分析】
根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
【详解】
解： 由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，
所以阴影部分面积=重叠部分面积，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
19．54【分析】在Rt △ABC 中利用勾股定理可求出BC 的长度即可解决问题
【详解】解：∵在Rt △ABC 中∠C ＝90°AB ＝15AC ＝12∴BC ＝＝＝9∴S △ABC ＝×9×12＝54故答案为：54【点睛】本
解析：54
【分析】
在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长度，即可解决问题．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，AC ＝12，
∴BC
＝9．
∴S △ABC ＝
12×9×12＝54 故答案为：54．
【点睛】
本题考查勾股定理的知识，属于基础题，解题关键是掌握勾股定理的形式．
20．5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等得到
BC=AC设BC=AC=xm根据勾股定理求出x的值即可【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则
解析：5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）存在，点C的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．
【分析】
（1）根据点B（-1，0），判断x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系即可；（2）分情形求解即可．
【详解】
（1）∵点B（-1，0），
∴x轴经过点B，且B右侧的点就是原点，建立坐标系如图1所示；
（2）存在，点C 的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．理由如下：
∵A （3,3），B （-1,0），
∴AB=22(3(1))(30)--+-=5，
当AB 为等腰三角形的腰时，
（1）以B 为圆心，以BA=5为半径画弧，角x 轴于两点，原点左边的1C ，右边为2C ， ∵AB=5，点B （-1,0）,
∴1C (-6，0)，2C （4,0）；
（2）以A 为圆心，以AB=5为半径画弧，角x 轴于一点，原点的右边为3C ，
∵AB=5，点A 到x 轴的距离为3，（-1,0）,
∴等腰三角形AB 3C 的底边长为22253-=8，
∴3C （7，0）；
综上所述，存在，点C 的坐标（-6，0）或（4，0）或（7，0）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键．
22．（1）图见解析；（2）（2，-3）；（3）17．
【分析】
（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）先根据1A 的位置得出1A 的坐标，再根据关于x 轴对称的点的横坐标相等、纵坐标互为相反数求解即可；
（3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B ，与x 轴的交点即为所求，再根据勾股定理求解可得答案．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）A 1点关于x 轴对称的点的坐标为（2，-3）；
（3）如图所示，点P 221417+=
【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出
变换后的对应点．
23．（1）-2；（2）4
【分析】
（1）根据零指数幂、二次根式、立方根、绝对值的计算法则来化简，之后按照二次根式的加减计算法则来计算即可；
（2）先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可．
【详解】
解：（1）原式=()12212
-⨯
+-+
=121+
=2-；
（2）原式()32-
=231+-
=4．
【点睛】
本题考查的是实数的混合计算，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键．
24．1．
【分析】
根据二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的性质依次化简再计算加减法．
【详解】
解：原式12=+
1=． 【点睛】
此题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的性质是解题的关键．
25．【分析】
在Rt △ADE 中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt △ABC 中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC 的长．
【详解】
解：在Rt △DAE 中，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
．
∴AD
2=AE 2+DE 2=（）2+（）2=36，
∴AD=6，即梯子的总长为6米．
∴AB=AD=6．
在Rt △ABC 中，∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=12
AB=3， ∴BC 2=AB 2-AC 2=62-32=27，
∴
m ，
∴点B 到地面的垂直距离
．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．
26．（1）15；（2）84．
【分析】
（1）先根据勾股定理的逆定理可得AD BC ⊥，再根据勾股定理即可得；
（2）先根据线段的和差可得BC 的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】
（1）在ABD △中，222268100BD AD +=+=，2210100AB ==，
∴222BD AD AB +=，
∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥，
∴90ADC ∠=︒，
在Rt ACD △中，15DC ===；
（2）由（1）得：61521BC BD DC =+=+=，AD BC ⊥， 则112188422
ABC BC AD S =⋅=⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，根据勾股定理的逆定理得出AD BC ⊥是解题关键．。