雅礼中学2024届高三数学模拟试卷(一)与答案

注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）
现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A.9 B.12 C.15 D.18
2.已知集合{}2
|680,{|13}M
x x
x N x x =−+<=<≤，则M N ∩=（ ）
A.{|23}x x ≤≤
B.{|23}x x <≤
C.{|24}x x <≤
D.{|13}x x <≤
3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸
4.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>和抛物线
()220y px p =>相交于A ､B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =
.则抛物线和椭圆的标准方程分别为（ ）. A.2
8y x =；22194x y += B.2
8y x =；2213618
x y +=
C.2
4y x =；22194x y += D.2
4y x =；2213618
x y +=
5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=
（ ）
1−1+6.人工智能领域让贝叶斯公式：()
()()()
P B A P A P A B P B =
站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造
技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI ”视频，“AI ”视频占有率为0.001.某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有
98%的可能鉴定为“AI ”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI ”.已
知某个视频被鉴定为“AI ”，则该视频是“AI ”合成的可能性为（ ） A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%
7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆C ：
22
197
x y +=，P 是直线l ：43200x y −+=
上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M ､N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（ ）
A.
43 B.43− C.34 D.34
− 8.已知61log 4a =，41
log 3
b =，()1e 1e
c =+，则（ ）
A.a b c <<
B.b c a <<
C.b a c <<
D.a c b <<
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥
B.若a α⊥，a b ∥，则b α⊥
C.若a α∥，b α⊂，则a b ∥
D.若a α∥，b α⊥，则a b ⊥
10.已知()2
2ππsin cos (0)33f x x x ωωω
=+
−+>
，下列判断正确的是（ ） A.若()
()120f x f x ==，且12min π
2
x x −=
，则2ω= B.1ω=时，直线π
6
x =为()f x 图象的一条对称轴
C.1ω=时，将()f x 的图象向左平移π
3个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424
11.若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（ ） A.0x <且1y <−
B.1
1122x y − +
的最小值为9
C.x y +的最小值为3−
D.1112
222x y x y
−+ +⋅<
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数13i z =−，其中i 为虚数单位，则2i z +=__________. 13.已知数列{}n a 满足()*3
213223
n n a a a a n n +
+++=−∈N ，则n a =__________.
14.设A 为双曲线()22
22Γ:10,0x y a b a b
−=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足
4BC AC =
，AC a =，则Γ的渐近线方程是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育
运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.
α
0.1 0.05 0.01 x α
2.706
3.841
6.635
16.（本小题满分15分） 已知函数()ln 1
x
f x x =
+. （1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）当1x ≥时，()()1f x a x −≤，求a 的取值范围. 17.（本小题满分15分）
如图，已知在正三棱柱111ABC A B C −中，1
2AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.
（1）过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度； （2）求平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值. 18.（本小题满分17分）
由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12 ∽，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭
圆1C 与2C 的相似比.已知椭圆1C ：22
12x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b
+=>>相似.
（1）求椭圆2C 的离心率；
（2）若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为椭圆2C 上异于其左､右顶点1A ，2A 的一点.
①当λ=
时，过点P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；
②当λ=
时，若直线1PA 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与椭圆1C 交于M ，N 两点，求
DE MN +的值.
19.（本小题满分17分） 设n 次多项式()1
21210()0n
n n n n n P t a t a t
a t a t a a −−=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这
些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由
2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式22()21P x x =
−. （1）若切比雪夫多项式3
2
3()P x ax bx cx d +++，求实数a ，b ，c ，d 的值；
（2）对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x −−=
⋅−成立？ （3）已知函数3()861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：
1230x x x ++=.
一､二､雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）答案选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案
C
B
C
B
D
C
D
A
BD
BD
ABD
1.C 【解析】高三年级被抽到的男生人数为12003004005
363615120012
−−×
=×=.故选：C.
2.B 【解析】因为{}2
|
680{|24}M
x x
x x
x =−+<=<<，{|13}N
x x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B
3.C 【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因为积水深9
寸，所以水面半径为()1
146102
×+=寸， 则盆中水的体积为
()221
π9610610588π3
××++×=立方寸， 所以平地降雨量等于
2
588π
3π14=×寸. 故选：C.
4.B 【解析】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F
，故2A B
p x x == 根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =. 所以椭圆过点()2,4A ， 因此22
2224161c a a b a b c
=
+= =+ ，解得223618a b = = ，
则椭圆的标准方程为22
13618
x y +=.
故选：B.
5.D 【解析】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则HC AB ∥， 而135ABC ∠= ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，
在等腰梯形ABCH 中，121cos 451CH =+××=+ ，
所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=×∠=+ .
故选：D
6.C 【解析】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI ”为事件B ，
则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，
由贝叶斯公式得：
()0.0010.98
0.0240.0010.980.9990.04
P A B ×==×+×， 故选：C.
7.D 【解析】由椭圆C ：22
197
x y +=可知：
3,a b ==，
当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和
，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=， 当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，
因为O 到直线43200x y −+=
的距离为4d =， 所以直线l ：43200x y −+=
为圆的切线， 因为直线43
l k =，1l OP k k ⋅=−，所以34OP k =−.
故选：D.
8.A 【解析】由61
log 4
a =
，得到146a =，又4
1log 3b =，所以134b =， 所以1
1212
4(6)216a ==，1
12123(4)256b ==，又256216>， 所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，
令1
(1)(1)x
y x x =+>，则1ln ln(1)y x x
=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x ′=−+++， 得到11
2211(1)
[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)
x
x
x y x x x x x x x x x x +′=−++
+=−++++，
令()(1)ln(1)h x x x x =−++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x ′=
−+−=−+<在区间(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)ln(1)h x x x x =−++在区间(1,)+∞上单调递减，
又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =−++=−=−<，当(1,)x ∈+∞时，12
(1)
0(1)
x
x x x +>+，
得到1
2(1)[(1)ln(1)]0(1)
x
x y x x x x x +′=
−++<
+在区间(1,)+∞上恒成立， 所以1
(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，
又e 3<，所以()11
3
e
1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>， 故选：A.
9.BD 【解析】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误. 对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l α⊂，所以a l ⊥， 又a b ∥，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确. 对于C ，若a α∥，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.
对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ∩=， 因为a α∥，m αβ∩=
，a β⊂，所以a m ∥， 又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.
故选：BD
10.BD 【解析】()2
2ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω
=
−+−+=−+>
， 对于A ，根据条件，可得
π
2π,π,1222T T ωω
=∴==
∴=，故A 错误； 对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cos π13633f x x f
=
−+∴=−+=
−=
， 所以直线π
6
x =
为()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x
=
−+
，将()f x 向左平移π
3
个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x
=−++=+
，为非奇非偶函数，故C 错误；
对于D ，由题意[]0,2πx ∈2π2π
24π33x ωω++ ，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零， 所以
19π2π21π
4π232
ω+< ，解得53592424ω< ，故D 正确.故选：BD. 11.ABD 【解析】对于A ，由1221x y ++=，可得1
12120,2120y x x y ++=−
>=−>， 所以0x <且10y +<，即1y <−，故A 正确；
对于B ，()1
11
11112222225222222x y x y y x x y x y −−+ ⋅⋅ +=++=++
59≥+=， 当且仅当222222y x x y ⋅⋅=，即2log 3x y ==−时，等号成立，所以1
1122x
y − +
的最小值为9，故B 正
确；
对于C ，因为1221x y ++=≥12
≤
，即1
212
24x y ++−≤=， 所以3x y +≤−，当且仅当122x y +=，即11x y =+=
−，即1,2x y =−=−时，等号成立， 所以x y +的最大值为3−，故C 错误；
对于D ，因为1212x y +=−，则()1
12
212242x y y ++=−=−⋅，
所以()111112222212232222x y x y
y x y y y
−+++ +⋅=+=+−=−⋅<
，故D 正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【解析】由复数13i z =−，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=. 13.1
1,1,23, 2.
n n n n −=
× 【解析】因为()*32132,123n
n a a a a n n n ++++=−∈N ， 当1n =时，1
1321a =−=， 当2n 时，13
12132231n n a a a a n −−+
+++=−− ，所以113323n n n n a n
−−=−=×，所以123n n
a n −=×， 当1n =时，1
23n n a n −=×不成立，所以1
1,1,
23, 2.
n n n a n n −= =
×
14.y = 【解析】根据题意，作图如下：
依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a =
==， 设OC m =，由角平分线定理可得：3OB
AB
OC
AC
=
=，则3OB m =； 在OAC 中，由余弦定理2
2
2
2cos 222AC CO OA m m
OCA AC CO am a
+−∠===
； 在OBC △中，由余弦定理可得，
222
2cos OB OC BC OC BC OCA =+−⋅∠，
即2
2
2
916242m m m a m a a =+−×××
，解得m a =
.
故cos cos 2m COA OCA a ∠=∠=
，tan COA ∠， 所以Γ
的渐近线方程是y =.
故答案为：y =.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）22×列联表为 性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计
60
40
100 零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
22
100(2035540)50
5.556 3.841,604025759
χ××−×==≈>×××
根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05. （2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人， 按分层随机抽样的方法从中抽取6人， 则男生､女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为11
42
2
6C C 8C 15
P ==. 16.【解析】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，
因为()
21
()1ln 1x x x f x +
−=
+′，所以切线斜率为()112f ′=， 故切线方程为1
(1)2
y x −=−，即1122y x =
−. （2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x −≤等价于()
2
ln 1x a x −≤，令()()
2
1ln g x a x x =−−，
[)1,x ∞∈+，()2
ln 1x a x −≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121
()2ax g x ax x x
−=−=′，
当0a ≤时，()0g x ′≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=
，不符合题意；
当1
02a <<
时，由()0g x ′=，得1x =>，
x ∈ 时，()0g x ′≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意； 当1
2
a ≥
时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax −≥，则()0g x ′≥， 所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=
，符合题意. 综上所述，1
2
a ≥
. 17.【解析】（1）由正三棱柱111ABC A B C −中，1
2AA AB ==，
又因为点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点，可得AF AE ==
如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，过点E 作BC 的平行线交1CC 于
N ，
则四边形AFPE 为所求截面，又由1123MC PC MP
ME MN EN =
==，所以
1142
,33
PC B P ==.
（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴，
以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2AB =，可得()(
))
0,0,0,0,1,2,A F E
，
则(
))
0,1,2,AF AE ==
，
设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =
，则0,20,n AE
y z n AF y z ⋅=++= ⋅=+=
取1z =
，则2,y x =
−
，所以2,1n
=−
， 取BC 的中点D ，连接AD .因为ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，
因为1BC BB B ∩=
，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，
又由3,02D
，可得3,02AD = ， 所以平面11BCC B
的一个法向量为)
m =
，
设平面AEF 与平面11BCC B 所成角为α，
则5cos
cos ,8
m n m n m n α⋅===
， 所以平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值为
58
. 18.【解析】（1）对于椭圆1C ：2
212x y +=
，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，
椭圆2C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b
，焦距为，
=
，所以b a =，
则椭圆2C
的离心率e （2
，解得2a b = = 2C ：22
142x y +=， 设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x −=−，即1010y k x y k x =+−，
记010t y k x =
−，则1PB 的方程为1y k x t =+， 将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()
2
2
2
11214220k x k tx t +++−=
， 因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以
()
()()2
22114421220k t k t ∆=−+−=，即221210k t −+=，
将010t y k x =
−代入上式，整理得(
)
2
22
010*******x k x y k y −−+−=， 同理可得(
)
2
22
020*******x k x y k y −−+−=
， 所以12,k k 为关于k 的方程(
)
2
22
00002210x k x y k y −−+−=
的两根， 所以2
122
012
y k k x −=−. 又点()00,P x y
在椭圆22:14x C +上，
所以2
2
00122
y x =−
， 所以2
122
01211222
x k k x −−==−−，为定值.
，解得1a b = =
，所以椭圆2C ：22
21x y +=
， 其左､右顶点分别为()11,0A −，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左､右焦点，
设()33,P x y ，易知直线1PA ､2PA 的斜率均存在且不为0，所以12
2
3233333111
PA PA y y y k k x x x =⋅=+−−， 因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以3
3
2
221x y +=
，即23
23
12x y −=−，所以12322311
2PA PA y k k x ==−−.
设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为1
2k
−
，所以直线1PA 的方程为
()1y k x =+. 由()22
112
y k x x y =+ +=
，得()2222
124220k x k x k +++−=， 设()44,D x y ，()55,E x y ，则2
42
5412k x x k
−+=+，22452212k x x k −=+， 所以5DE x =−=
=
同理可得221121122k MN k
+−
== +−
，
所以
D E N
M =+=
19.【解析】（1）依题意，
()()()2
2
3cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=−=−−
()
3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=−−−=−，
因此()3
343P x x x =
−，即32343ax bx cx d x x +++=−，则4,0,3a b d c ====−， （2）()()()112n n n P x x P x
P x +−=
⋅−成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++−=
⋅. 首先有如下两个式子：
()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=−， ()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ−=−=+，
两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ−++，
将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +−=
⋅−. 所以对于正整数3n 时，有()()()122n n n P x x P x P x −−=
⋅−成立. （3）函数()3
861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点123,,x x x ，
即方程3
1
432
x x −=
在区间()1,1−上有3个不同的实根， 令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=
，而()30,3πθ∈，则π33
θ=或5π33θ=或7π
33θ=，
于是123π5π7π
cos ,cos ,cos 999
x x x ===， 则123
π
5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ++=++=−+
，。