浙江省新高考研究联盟高考数学二模试卷(理科).docx

高中数学学习材料
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2016年浙江省新高考研究联盟高考数学二模试卷（理科）
一、选择题
1．已知全集U=R，集合M={x|log（x﹣1）＞﹣1}，N={x|1＜2x＜4}，则（∁U M）∩N=
（）
A．{0|0＜x≤3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x＜2}
2．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若（S8﹣S5）（S8﹣S4）＜0，则（）
A．|a6|＞|a7|B．|a6|＜|a7|C．|a6|=|a7|D．a6=0
4．函数f（x）=的值域是（）
A．[﹣，]B．[﹣，0]C．[0，]D．[0，1]
5．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足
=1，则实数m的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
7．已知E，F为双曲线C：﹣=1（0＜a＜b）的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与
双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A，B不同两地两点，若|AF|=|BE|，则双曲线的离心率为（）
A．4﹣B．4﹣C．4+D．4+
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P、Q分别在直线A1C1和BD上运动，且PQ=8，则PQ的中点M的轨迹是（）
A．平行四边形B．圆C．椭圆 D．非以上图形
二、填空题
9．抛物线C：y=ax2的准线方程为y=﹣，则其焦点坐标为______，实数a的值为______．
10．函数y=的奇偶性为______，函数f（x）=+1的对称中心为______．
11．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，则函数f（x）的最小正周期为______，将
f（x）图象向左平移φ（＜φ＜π）个单位长度后得到函数为偶函数，则φ=______．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______．
13．已知△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，P点在平面ABC内，且•=﹣9，则||的取值范围为______．
14．实数x，y满足x2﹣2xy+2y2=2，则x2+2y2的最小值为______．
15．已知存在唯一的实数对（p，q），使不等式|﹣px﹣q|≤t（其中r＞0，t＞0）
对∀x∈[0，r]恒成立，则=______．
三、解答题
16．在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别是a，b，c，已知cosC=，a2=b2+c2
（Ⅰ）求sin（A﹣B）的值；
（Ⅱ）c=，求a和b．
17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+b（a，b∈R），记M是|f（x）|在区间[0，1]上的最大值．（I）当b=0且M=2时，求a的值；
（Ⅱ）若M≤，证明0≤a≤1．
18．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F在线段BE上．
（1）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（2）若二面角B﹣DA﹣F的余弦值为，求BF的长．
19．已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点（1，），它的两个短轴端点与右焦点构成等
边三角形，点A 在椭圆C 上运动，点B 在直线l ：y=m （m ＞0）上，且∠AOB=90°（其中
O 为原点）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）若点O 到直线AB 的距离为定值，求m 的值及|AB |的最小值．
20．已知数列{a n }中对于任意正整数n 都有a n +1=
+ca n ，其中c 为实常数．
（Ⅰ）若c=2，a 1=1，求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若c=0，记T n =（a 1﹣a 2）a 3+（a 2﹣a 3）a 4+…+（a n ﹣a n +1）a n +2，证明：
1）当0＜a 1≤时，T n ＜
；
2）当＜a 1＜1时，T n ＜．
2016年浙江省新高考研究联盟高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知全集U=R，集合M={x|log（x﹣1）＞﹣1}，N={x|1＜2x＜4}，则（∁U M）∩N=
（）
A．{0|0＜x≤3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x＜2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，根据全集U=R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．
【解答】解：由M中的不等式变形得：，
解得：1＜x＜3，
∴M={x|1＜x＜3}，
∵全集U=R，
∴∁U M={x|x≤1或≥3}，
由N中的不等式变形得：20＜2x＜22，
解得：0＜x＜2，
N={x|0＜x＜2}，
（∁U M）∩N={x|0＜x≤1}．
故选：C．
2．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．
若，则，
∴，
∴成立．
∴“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：B．
3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若（S8﹣S5）（S8﹣S4）＜0，则（）
A．|a6|＞|a7|B．|a6|＜|a7|C．|a6|=|a7|D．a6=0
【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】由（S8﹣S5）（S8﹣S4）＜0，可得a6•a7＜﹣．显然不等式的两边都是负数，故
有|a6•a7|＞||，由此可得|a6|＞|a7|，从而得出结论．
【解答】解：由于等差数列{a n}的前n项和为S n，（S8﹣S5）（S8﹣S4）＜0，
则有（a6+a7+a8）（a5+a6+a7+a8）=3a7•2（a6+a7）＜0，∴+2a6•a7＜0，∴a6•a7＜﹣．
显然不等式的两边都是负数，∴|a6•a7|＞||，故有|a6|＞|a7|，
故选A．
4．函数f（x）=的值域是（）
A．[﹣，]B．[﹣，0]C．[0，]D．[0，1]
【考点】函数的值域．
【分析】先求出函数的定义域，利用换元法转化为两点间的斜率关系，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由得，则﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，
设x=sinα，则函数f（x）等价为y==，
设P（sinα，|cosα|），则点P在单位圆x2+y2=1的上半部分，
则的几何意义是圆上点到点A（2，1）的斜率，
由图象知AB的斜率最小，此时k=0，
AC的斜率最大，此时k==1，
故0≤k≤1，
故函数f（x）的值域是[0，1]，
故选：D
5．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．
【解答】解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．
（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．
（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．
（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足
=1，则实数m的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．C．D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，由|3x﹣4y﹣12|=5得d==1，即d
的几何意义是区域内的点到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点B坐标为（m，﹣m），（m＞0）
直线x﹣2y=2的斜率为，斜截式方程为，
由|3x﹣4y﹣12|=5得=1，
设d=，
则d的几何意义是区域内的点到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1，
设到直线3x﹣4y﹣12=0的距离等于1的直线为3x﹣4y+c=0，
则=1，得c=﹣7或c=﹣17．
要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足|3x﹣4y﹣12|=5，
则点B（m，﹣m）必在直线3x﹣4y﹣7=0的下方，
即3m+4m﹣7≥0，解得m≥1．
故m的取值范围是：[1，+∞）．
故选：A．
7．已知E，F为双曲线C：﹣=1（0＜a＜b）的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与
双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A，B不同两地两点，若|AF|=|BE|，则双曲线
的离心率为（）
A．4﹣B．4﹣C．4+D．4+
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，
∵|BE|﹣|BF|=2a，
∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，
则|BE|=10a，|BF|=8a，
∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，
∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，
则|BD|=|BF|=8a，
设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，
代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），
则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），
在直角三角形BDE中，
BE2=DE2+BD2，
即100a2=64a2+4c（8a﹣c），
即36a2﹣32ac+4c2=0，
即c2﹣8ac+9a2=0，
解e2﹣8e+9=0，
得e===4±，
∵0＜a＜b，
∴e==＞=，
∴e=4+，
故选：D．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P、Q分别在直线A1C1和BD上运动，且PQ=8，则PQ的中点M的轨迹是（）
A．平行四边形B．圆C．椭圆 D．非以上图形
【考点】轨迹方程．
【分析】如图所示，点P在A1点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；同理，点P在C1点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，点P在A1点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；
同理，点P在C1点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等．
所以，PQ的中点M的轨迹是平行四边形．
故选：A．
二、填空题
9．抛物线C：y=ax2的准线方程为y=﹣，则其焦点坐标为（0，），实数a的值为
1．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】化简抛物线为标准方程，利用准线方程为y=﹣，求出a，得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线C：y=ax2的标准方程为：x2=，准线方程为y=﹣，可得=，可得a=1．
焦点坐标为：（0，）．
故答案为：（0，）；1．
10．函数y=的奇偶性为奇函数，函数f（x）=+1的对称中心为（0，2）．
【考点】函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性．
【分析】利用奇函数的定义验证函数是奇函数，利用奇函数的对称性，可得结论．
【解答】解：令g（x）=，则g（﹣x）==﹣=﹣g（x），
∴函数y=是奇函数；
函数f（x）=+1=﹣+2，
∵函数y=﹣是奇函数，关于原点对称，
∴函数f（x）=+1的对称中心为（0，2）．
故答案为：奇函数；（0，2）．
11．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，则函数f（x）的最小正周期为π，将f
（x）图象向左平移φ（＜φ＜π）个单位长度后得到函数为偶函数，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x+），利用三角函数周期公式即可求得f（x）的最小正周期，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可
得平移后的函数解析式，利用偶函数的性质可得2φ+=kπ+，k∈z，结合φ的范围即可得解函数φ的值．
【解答】解：∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T==π，
∵将函数f（x）的图象向左平移φ（＜φ＜π）个单位，所得的图象对应的函数为y=2sin[2
（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+），
再由y=2sin（2x+2φ+）为偶函数，可得：2φ+=kπ+，k∈z，
∴φ=+，
∵＜φ＜π，
∴φ=．
故答案为：π，．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为64+32．
【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．
【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体， 其直观图如图所示：
底面是等腰三角形，AB=BC=4，则AC=，棱长是8， 其中D 是CG 的中点，
∵BF ⊥平面EFG ，∴BF ⊥EF ， ∵EF ⊥FG ，BF ∩FG=F ， ∴EF ⊥平面BFGC ， ∴组合体的体积：
V=V 三棱柱ABC ﹣EFG ﹣V 三棱锥E ﹣DFG
=
=
，
∵平面ABFE 的面积为：4×8=32，
平面BCDF 的面积为： =24，
平面ABC 的面积为： =8，平面DEF 的面积为：
=8
，
平面ACDE 的面积为： =24，
∴组合体的表面积S=32+24+8+8+24
=64+32
，
故答案为：
；64+32
．
13．已知△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，P点在平面ABC内，且•=﹣9，则||
的取值范围为[1，4+] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知得到三角形为直角三角形，构建坐标系，求出点P的轨迹方程，由此可以
判断||的取值范围．
【解答】解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴AB2+BC2=BC2，
∴AB⊥AC，
以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立坐标系，
则A（0，0），B（8，0），C（0，6），
设P（x，y），（0＜x＜8，0＜y＜6），
∴=（8﹣x，﹣y），=（﹣x，6﹣y），
∴•=﹣8x+x2﹣6y+y2=﹣9，即（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，
∵||=，
∴当P点在AD的连线上时，||的取值最小，
∴||=||﹣||=﹣4=5﹣4=1，
当P点在x轴上时，||的取值最大，
即（x﹣4）2+（0﹣3）2=16，
解得x=4+或x=4﹣舍去，
故||的取值范围为[1，4+]
故答案为：[1，4+]．
14．实数x，y满足x2﹣2xy+2y2=2，则x2+2y2的最小值为4﹣2．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】化简可得（x﹣y）2+y2=2，令x﹣y=cosa，y=sina，从而利用三角恒等变换化简求最值．
【解答】解：∵x2﹣2xy+2y2=2，
∴（x﹣y）2+y2=2，
∴x﹣y=cosa，y=sina，
∴x=cosa+sina，
∴x2+2y2=（cosa+sina）2+2（sina）2
=2+4sinacosa+4sin2a
=2+2sin2a+2﹣2cos2a
=4+2sin（2a﹣），
故当sin（2a﹣）=﹣1时有最小值4﹣2，
故答案为：4﹣2．
15．已知存在唯一的实数对（p，q），使不等式|﹣px﹣q|≤t（其中r＞0，t＞0）
对∀x∈[0，r]恒成立，则=．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】令，y1表示半圆，y2表示直线，对∀x∈[0，r]，存在
唯一的实数对（p，q），使不等式|y1﹣y2|≤t，几何意义为只有唯一的一条直线，
使得它在[0，r]上的每一个点，与圆在y轴方向上的距离始终不大于t，求得
，分p≥0和p＜0求出|y1﹣y2|得最大值点，联立
，解得四个交点为（﹣1，r+t），（﹣1，r﹣t），（），
（），然后把四个点的坐标分别代入使成立的不等式求得．
【解答】解：令，y1表示半圆，y2表示直线，
对∀x∈[0，r]，存在唯一的实数对（p，q），使不等式|y1﹣y2|≤t，
即存在唯一的实数对（p，q），使在[0，r]上，|y1﹣y2|max≤t，其几何意义为，只有唯一的一条直线，
使得它在[0，r]上的每一个点，与圆在y轴方向上的距离始终不大于t，
如图所示，阴影部分表示直线在区间[0，r]上的每一个点，与圆在y轴方向上的距离，
，如果p≥0，则（y1﹣y2）′≤0，在x=0或x=r时，|y1﹣y2|有最大值，
如果p＜0，那么y1﹣y2在[0，r]上先单调递增后单调递减，令（y1﹣y2）′=0，得，
在x=0或x=r或时，|y1﹣y2|有最大值，
∴|y1﹣y2|max≤t恒成立，必须有x=0或x=r或时都有|y1﹣y2|≤t，
∴，
∵（p，q）的唯一性，∴上述不等式组有唯一解，
将p，q看作自变量和因变量，上述线性规划问题的可行域只有一个点，前两个约束条件对应的是两个带状图形，
它们的交集是一个平行四边形，联立，解得四个交点为（﹣1，r+t），（﹣1，r
﹣t），（），（），
∵可行域只有一个点，∴这个点一定使第三个不等式等号成立，
将（﹣1，r+t）代入得，，∵r≠0，∴（）r=2t，得；
将（﹣1，r﹣t）代入得，，∵r＞0，t＞0，∴不合题意；
将（）代入得，，无解；
将（）代入得，，无解．
p＞0时，t＞2r，如果取等，在图形中，相当于直线在区间[0，r]上的某点与圆在y轴方向上的距离大于2r，不合题意．
综上，=．
故答案为：．
三、解答题
16．在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别是a，b，c，已知cosC=，a2=b2+c2
（Ⅰ）求sin（A﹣B）的值；
（Ⅱ）c=，求a和b．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知式子和余弦定理b=，c=，由余弦定理可得cosA和cosB，再
由同角三角函数基本关系可得sinA和sinB，由和差角的三角函数可得sin（A﹣B）=sinAcosB ﹣cosAsinB，代值计算可得；
（Ⅱ）由c==可得a值，代入b=可得b值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中cosC=，a2=b2+c2，
∴c2=2a2﹣2b2，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，
∴2a2﹣2b2=a2+b2﹣ab，整理可得2a2+ab﹣6b2=0，
分解因式可得（a+2b）（2a﹣3b）=0，解得b=，
代入c2=2a2﹣2b2可解得c=，
由余弦定理可得cosA==，
∴sinA==，
同理可得cosB=，sinB=
∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB
=×﹣×=；
（Ⅱ）由c==可得a=3，代入b=可得b=2
17．已知函数f（x）=x2﹣2ax+b（a，b∈R），记M是|f（x）|在区间[0，1]上的最大值．（I）当b=0且M=2时，求a的值；
（Ⅱ）若M≤，证明0≤a≤1．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三个不等式变形所求得到证明；
（Ⅱ）因为∴|f （0）|，|f （1）|，可得﹣，，
﹣1≤f （0）﹣f （1）≤1，且
，可求
，而f （0）﹣f （1）
∈[﹣1，1]，于是a ∈[0，1]， 【解答】解：（1）b=0时，f （x ）=x 2﹣2ax ，
易知，|f （x ）|在[0，1]上的最大值在{0，1]的端点处或对称轴处取得． 而f （0）=0，
∴M=|f （1）|或|1﹣2a |=2，
∴a=﹣或a=，
此时，f （x ）=x 2+x 或f （x ）=x 2﹣3x ，
当f （x ）=x 2+x ，|f （x ）|在[0，1]上的最大值为2；
当f （x ）=x 2﹣3x 时，|f （x ）|在[0，1]上的最大值为|f （）|=；
若M=|f （a ）|，则a 2=2，∴a=，
当a=时，f （x ）=在[0，1]上的最大值为1+2
，
当a=
时，f （x ）=x
，
综上，a=﹣．
（Ⅱ）∵M ，
∴|f （0）|，|f （1）|
，
∴﹣
，
，
∴﹣1≤f （0）﹣f （1）≤1，
且，
∴
，
而f （0）﹣f （1）∈[﹣1，1]， ∴a ∈[0，1]， ∴0≤a ≤1 18．在如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2，CD=1，F 在线段BE 上．
（1）求证：平面DBE ⊥平面ABE ；
（2）若二面角B ﹣DA ﹣F 的余弦值为
，求BF 的长．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）取AB中点G，BE中点H，推导出四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．
（2）以H为原点，HE，HA，HD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BF的长．
【解答】证明：（1）取AB中点G，BE中点H，连结CG，DH，GH，
∵△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，
∴CD GH，∴四边形CDHG为平行四边形，
∴CG∥DH，又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，又CG∥DH，
∴DH⊥平面ABE，
又DH⊂平面DBE，
∴平面DBE⊥平面ABE．
解：（2）∵AE=AB=2，H为BE中点，∴AH⊥BE，
由题意AG=HG=1，，∴AH=，∴BH=EH=，，
以H为原点，HE，HA，HD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，，0），B（﹣，0，0），D（0，0，），设F（t，0，0），
=（0，），=（﹣），=（t，0，﹣），
设平面ABD的法向量=（x，y，z），平面ADF的法向量=（a，b，c），
则，取x=，得=（，﹣，﹣），
，取b=，得=（），
∵二面角B﹣DA﹣F的余弦值为，
∴|cos＜＞|==||=，
解得t=﹣，∴
=．
∴BF 的长为
．
19．已知椭圆C ：
（a ＞b ＞0）过点（1，
），它的两个短轴端点与右焦点构成等
边三角形，点A 在椭圆C 上运动，点B 在直线l ：y=m （m ＞0）上，且∠AOB=90°（其中
O 为原点）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）若点O 到直线AB 的距离为定值，求m 的值及|AB |的最小值． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I ）由题意可得：
=1，c=
b ，与a 2=b 2+
c 2联立，解出即可得出；
（II ）取A （2，0），则B （0，m ），m ＞0，此时原点到直线AB 的距离d=．取A （，
），同理可得：此时原点到直线AB 的距离d=．利用=，m ＞0，
解得m=．可得直线l 的方程．设B （t ，），A （2cos θ，sin θ）．θ=0时，可得|AB |=．
θ
≠0，时，设直线AO 的方程为：y=xtan θ，则OB 的方程为：y=﹣
x ，可得：B
（
，
）．利用两点之间的距离公式可得|AB |，利用三角函数求值、基本
不等式的性质即可得出．
【解答】解：（I ）由题意可得： =1，c=
b ，与a 2=b 2+
c 2联立，解得a=2，b=1，
c=
．
∴椭圆C 的方程为：
．
（II ）取A （2，0），则B （0，m ），m ＞0，此时原点到直线AB 的距离d=．
取A （，），直线OB 的方程为：y=﹣2x ，则B （，m ），此时原点到直线
AB 的距离d==．
∴d==，m ＞0，解得m=．
∴直线l 的方程为：y=．
设B （t ，
），A （2cos θ，sin θ），
θ=0时，|AB |==
．
θ≠0，时，设直线AO 的方程为：y=xtan θ，则OB 的方程为：y=﹣
x ，可得：B
（，
）．
∴
|AB |=
==
，
令cos 2θ=t ∈（0，1），则|AB |=≥=2，当且仅当t=时取等号．
∴|AB |的最小值为2．
20．已知数列{a n }中对于任意正整数n 都有a n +1=
+ca n ，其中c 为实常数．
（Ⅰ）若c=2，a 1=1，求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若c=0，记T n =（a 1﹣a 2）a 3+（a 2﹣a 3）a 4+…+（a n ﹣a n +1）a n +2，证明：
1）当0＜a 1≤时，T n ＜
；
2）当＜a 1＜1时，T n ＜． 【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（Ⅰ）通过变形可知a n +1+1=，进而两边同时取对数，整理可知数列{log 2（a n +1）}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）1）通过对a n +1=
两边同时取对数，进而可得a n =，放缩、利用等比数列的求和公式计算即得结论；
2）利用数列{a n }单调递减，结合立方差公式放缩可知（a n ﹣a n +1）a n +2＜（﹣），进而累加即得结论．
【解答】（Ⅰ）解：依题意，a n ＞0，
由c=2，a 1=1可知，a n +1=+2a n ，即a n +1+1=， 两边同时取对数，得：log 2（a n +1+1）=2log 2（a n +1）， 又∵log 2（a 1+1）=log 2（1+1）=1， ∴数列{log 2（a n +1）}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴log 2（a n +1）=2n ﹣1，a n =﹣1+
；
（Ⅱ）证明：1）由c=0可知，a n +1=， 两边同时取对数，得：log 2a n +1=2log 2a n ， ∴数列{log 2a n }是公比为2的等比数列，
∴log 2a n =2n ﹣1log 2a 1，a n =
，
∴（a n ﹣a n +1）a n +2=（﹣）=（1﹣），
又∵0＜a 1≤，
∴0＜≤，
∴（a n ﹣a n +1）a n +2＜•，
∴T n ＜•＜=；
2）由c=0可知，a n +1=
，
又∵＜a 1＜1，
∴数列{a n }单调递减，
∵a n +2=＜（+a n a n +1+
），
∴（a n ﹣a n +1）a n +2＜（﹣），
∴T n=（a1﹣a2）a3+（a2﹣a3）a4+…+（a n﹣a n
+1）a n
+2
＜（++…+﹣）
=（﹣）
＜＜．
2016年9月28日。