2022-2023学年四川省绵阳市某校初三(上)入学检测数学试卷(含答案解析)105345

2022-2023学年四川省绵阳市某校初三（上）入学检测数学试卷试卷
考试总分：117 分考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）
1. 已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )
A.4
B.8
C.10
D.12
2. 若y=(a+4)x|a|−2+5x−8是二次函数，则a的值为( )
A.−4
B.4
C.±4
D.±2
3. 下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4. 一元二次方程(x+1)(x−3)=2x−5根的情况是( )
A.有一个正根，一个负根
B.有两个负根
C.无实数根
D.有两个正根
5. 抛物线y=−(x+2)2+3的顶点坐标是( )
5. 抛物线y=−(x+2)2+3的顶点坐标是( )
A.(−2,−3)
B.(−2，3)
C.(2，−3)
D.(2，3)
6. 如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB=70∘，则∠ABC的度数是( )
A.20∘
B.70∘
C.30∘
D.90∘
7. 关于x的一元二次方程x2−x+a=0有一个根为3，则另一个根为（）
A.−2
B.−3
C.−6
D.2
8. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a(a<0)的图象的大致位置可能是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，小明家有一块长1.5m，宽1m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为（）
A.0.2m
B.0.3m
C.0.25m
D.0.35m
10. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）
A.x2+6x+9=0
B.x2=x
C.x2+3=2x
D.(x−1)2+1=0
11. 已知抛物线y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k<4
B.k≤4
C.k<4且k≠3
D.k≤4且k≠3
12. 若A(−4,y 1)，B(−1,y 2)，C(0,y 3)为二次函数y =−(x +2)2+3的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）
A.y 1<y 2=y 3
B.y 3=y 1<y 2
C.y 3<y 1<y 2
D.y 1=y 2<y 3
13. 如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE =2,AB =8，则⊙O 的半径 （ ）
A.2
B.4
C.5
D.8
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
14. 已知x 2+xy −2y 2=0(y ≠0)，那么xy =________．
15. 如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________米．
16. 将抛物线y =−2x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为________．
17. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝2∠AOB，如果∠BAC＝40∘，那么∠ACB的度数是
________．
18. 已知二次函数y=x2−2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为________.
19. 对二次函数y＝x2+2mx+1，当0<x≤4时函数值总是非负数，则实数m的取值范围为________．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）
20. 解方程：
(1)x2−4x−6=0；
(2)x(x−3)=2x−6.
21. 关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两根x1，x2满足(x1−1)(x2−1)=6，求k的值．
22. 如图，⊙O的直径为AB，点C是圆周上异于点A，B的一点，AD⊥CD．
(1)若BC=3，AB=5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
23. 如图，若二次函数y=x2−3x−4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)根据图象，请直接写出当x2−3x−4>0时x的取值范围.
24. 康巴什区某校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
25. 如图1，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)经过A，B，C三点，已知点A(−1,0)，点B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点．
①当点N在何处时，△CAN的周长最小？
②若点M(m,0)是x轴上一个动点，且∠MNC=90∘，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2022-2023学年四川省绵阳市某校初三（上）入学检测数学试卷试卷
一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ）1.
【答案】
D
【考点】
圆的有关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵圆的半径是5，
∴直径是10.
∵圆中直径是最长的弦，
∴AB 的长不可能是12.
故选D ．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数的定义
【解析】
直接利用二次函数的定义结合二次项系数不能为零进而得出答案．
【解答】
解：∵y =(a +4)x |a|−2+5x −8是二次函数，
∴|a|−2=2且a +4≠0，
解得a =4．
故选B ．
3.
【答案】
B
【考点】
圆的有关概念
【解析】
根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．
【解答】
（2）半径相等的圆是等圆，正确（1）（3）等弧能够重合，正确（2）（
4）半径是圆中最长的弦，
错误（3）故选：B ．
4.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
直接整理原方程，进而解方程得出x 的值．
【解答】
解：(x +1)(x −3)=2x −5，
整理得：x 2−2x −3=2x −5，
则x 2−4x +2=0，
(x −2)2=2，
解得x 1=2+√2>0，x 2=2−√2>0，
故有两个正根.
故选D ．
5.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据抛物线y =a(x −h)2+k 的顶点坐标是(h ，k)，
可得抛物线y =−(x +2)2+3的顶点坐标是(−2，3).
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
【解析】
连接AC ，如图，根据圆周角定理得到∠BAC ＝90∘，∠ACB ＝∠ADB ＝70∘，然后利用互余计算∠ABC 的度数．
【解答】
解：连接AC ，如图，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC =90∘.
∵∠ACB =∠ADB =70∘，
∴∠ABC =90∘−70∘=20∘．
故选A ．
7.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
由关于x 的一元二次方程x 2−x +a =0有一个根是3，代入,可得a,再解方程即可得到答案．
【解答】
解：∵关于x 的一元二次方程x 2−x +a =0有一个根是3，∴将x =3代入方程得：9−3+a =0，
∴a =−6，则原方程为： x 2−x −6=0，∴ (x −3)(x +2)=0，
解方程得， x 1=3，x 2=−2.
故选A ．
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质一次函数的图象
【解析】
【解答】
解：∵a <0，
∴二次函数y =ax 2的图象开口向下，
一次函数y =ax +a 的图象经过第二、三、四象限.故选B ．
9.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题
【解析】
【解答】
解：设花色地摊的宽为xm ，
由题意得，(1.5+2x)(1+2x)=2×1.5×1，
即4x 2+5x −1.5=0，
解得x =0.25或−1.5（舍去）.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：B 选项中，x 2=x ，
方程可化为x 2−x =0，
所以Δ=1−4×1×0=1>0，
所以有两个不相等实数根.
故选B.
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线与x 轴的交点
根的判别式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知k −3≠0，
且Δ=b 2−4ac =22−4(k −3)×1=−4k +16≥0，
解得k ≤4且k ≠3.
故选D ．
12.
【答案】
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
13.
【答案】
C
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，然后在Rt△OBE中利用勾股定理可计算出OB，即可解答.【解答】
解：∵AE=BE，CD是直径，AB=8CE=2.
∵CD⊥AB，
∴∠OEB=90∘.
在Rt△OBE中，半径OB为x，则OE=x−2
由勾股定理得，解得x=5，即半径OB=5.
故选C．
二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）
14.
【答案】
−2或1
【考点】
换元法解一元二次方程
把x 2+xy −2y 2=0(y ≠0)两边都除以y 2得到(xy )2+xy −2=0，然后运用换元法解方程，设t =xy ，则原方程转化为t 2+t −2=0，利用因式分解法即可得到方程的解．
【解答】
解：∵y ≠0，
∴(xy )2+xy −2=0，
设t =xy ，则原方程转化为t 2+t −2=0，
∴(t +2)(t −1)=0，
∴t 1=−2，t 2=1，
即xy =−2或1．
故答案为−2或1．
15.
【答案】
2
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30−3x)m ，宽为(24−2x)m ，根据矩形绿地的面积为480m 2，即
可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，经检验后得出x =20不符合题意，此题得解．
【解答】
解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为(30−3x)米，
宽为(24−2x)米，
由已知得：(30−3x)⋅(24−2x)=480，
整理得：x 2−22x +40=0，
解得：x 1=2,x 2=20.
当x =20时，30−3x =−30,24−2x =−16，
不符合题意，
故人行通道的宽度为2米．
故答案为：2.
16.
【答案】
y =−2(x −1)2+3
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
由抛物线平移不改变y 的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【解答】
解：原抛物线的顶点为(0,0)，向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为(1,3)．
可设新抛物线的解析式为y =−2(x −h)2+k ，
代入得y =−2(x −1)2+3．
故答案为：y =−2(x −1)2+3.17.
【答案】
20∘
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】
∵∠BAC =12∠BOC ，∠ACB =12∠AOB ，
∵∠BOC ＝2∠AOB ，
∴∠ACB =12∠BAC ＝20∘．
18.
【答案】
1或2
【考点】
二次函数的最值
【解析】
结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1右侧时以及顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1内时和顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
解：y =x 2−2x +2=(x −1)2+1，分类讨论：
(1)若顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1右侧时，
有t <0，此时y 随x 的增大而减小，
∴当x =t +1时，函数取得最小值，
y 最小值=t =(t +1)2−2(t +1)+2，方程无解．
(2)若顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1内时，即有t ≤1≤t +1，
解这个不等式，即 0≤t ≤1．
此时当x =1时，函数取得最小值，y 最小值=1，
∴t =1．
(3)若顶点横坐标在范围t ≤x ≤t +1左侧时，
即t >1时，y 随x 的增大而增大，
∵当x =t 时，函数取得最小值，
y 最小值=t =t 2−2t +2，解得t =2或1（舍去）.
综上，t =1或2．
故答案为：1或2.
19.
【答案】
m ≥−1
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
分三种情况进行讨论：对称轴分别为x <0、0≤x <4、x ≥4时，得出当0<x ≤4时所对应的函数值，判断正误．
【解答】
对称轴为：x =−b2a =−m ，y =4ac −b 2
4a =1−m 2，
分三种情况：①当对称轴x <0时，即−m <0，m >0，满足当0<x ≤4时的函数值总是非负数；②当0≤−b2a <4时，0≤−m <4，−4<m ≤0，当1−m 2≥0时，−1≤m ≤1，满足当0<x ≤4时的函数值总是非负数；
当1−m 2<0时，不能满足当0<x ≤4时的函数值总是非负数；
∴当−1≤m ≤0时，当0<x ≤4时的函数值总是非负数，
③当对称轴−m ≥4，即m ≤−4，如果满足当0<x ≤4时的函数值总是非负数，则有x ＝4时，y ≥0，16+4m+1≥0，
m ≥−174，此种情况m 无解；
综合可得：当m ≥−1时，当0<x ≤4时函数值总是非负数．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
20.
解：(1)a =1,b =−4,c =−6，
Δ=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−6)=40>0
∴方程有两个不相等的实数根
∴x =−b ±√
b 2−4ac2a =−(−4)±√402×1=2±√10，
即：x 1=2+√10，x 2=2−√10.
(2)x(x −3)=2(x −3)，
x(x −3)−2(x −3)=0，
(x −3)(x −2)=0，
x −3=0或 x −2=0，
解得：x 1=3， x 2=2.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)a =1,b =−4,c =−6，Δ=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−6)=40>0
∴方程有两个不相等的实数根
∴x =−b ±√b 2
−4ac2a =−(−4)±√402×1=2±√10，
即：x 1=2+√10，x 2=2−√10.(2)x(x −3)=2(x −3)，
x(x −3)−2(x −3)=0，
(x −3)(x −2)=0，
x −3=0或 x −2=0，
解得：x 1=3， x 2=2.
21.
【答案】
解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+2(k −1)x +k 2−1=0有实数根，
∴Δ=[2(k −1)]2−4(k 2−1)
=−8k +8≥0，
解得：k ≤1，
∴k 的取值范围为：k ≤1.(2)由根与系数关系得：x 1+x 2=−2(k −1)，x 1x 2=k 2−1，
∴(x 1−1)(x 2−1)
=x 1x 2−(x 1+x 2)+1
=k 2−1+2(k −1)+1=6，
解得k 1=2（舍去）或k 2=−4,
故k 的值是−4．
【考点】
根的判别式
根与系数的关系
【解析】
（1）由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到|x 1+x 2=−2(k −1),x 1x 2=k 2−4，再将它们代入(x 1−1)(x 2−1)=6，即
可求出k 的值．
【解答】
解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+2(k −1)x +k 2−1=0有实数根，
∴Δ=[2(k −1)]2−4(k 2−1)
=−8k +8≥0，
解得：k ≤1，
∴k 的取值范围为：k ≤1.(2)由根与系数关系得：x 1+x 2=−2(k −1)，x 1x 2=k 2−1，
∴(
x 1−1)(x 2−1)
=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=k 2−1+2(k −1)+1=6，
解得k 1=2（舍去）或k 2=−4,
故k 的值是−4．
22.
【答案】
(1)解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，
∴∠ACB =90∘，
又∵BC =3，AB =5，
∴AC =√
AB 2−BC 2=4.(2)证明：连接OC.
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90∘，
∴△ADC∼△ACB，
∴∠DCA=∠CBA.
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC+∠OBC=90∘，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90∘，
∴DC是⊙O的切线．
【考点】
圆周角定理
勾股定理
切线的判定
相似三角形的性质与判定
【解析】
(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
(2)连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC//AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
【解答】
(1)解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB=90∘，
又∵BC=3，AB=5，
√AB2−BC2=4.
∴AC=
(2)证明：连接OC.
∵AC 是∠DAB 的角平分线，
∴∠DAC =∠BAC.
又∵AD ⊥DC ，
∴∠ADC =∠ACB =90∘，
∴△ADC ∼△ACB ，
∴∠DCA =∠CBA.
又∵OA =OC ，
∴∠OAC =∠OCA.
∵∠OAC +∠OBC =90∘，
∴∠OCA +∠ACD =∠OCD =90∘，
∴DC 是⊙O 的切线．
23.
【答案】
解：(1)当y =0时，x 2−3x −4=0，
解得x 1=−1，x 2=4，
∴点A 的坐标为(−1,0)，点B 的坐标为(4,0)．
∵当x =0时，y =−4，
∴点C 的坐标为(0,−4)．
(2)由图象可知，当x <−1或x >4时，x 2−3x −4>0．
【考点】
抛物线与x 轴的交点
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数与不等式（组）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当y =0时，x 2−3x −4=0，
解得x 1=−1，x 2=4，
∴点A 的坐标为(−1,0)，点B 的坐标为(4,0)．
∵当x =0时，y =−4，
∴点C 的坐标为(0,−4)．
(2)由图象可知，当x <−1或x >4时，x 2−3x −4>0．
24.
【答案】
解：(1)捐款增长率为x ，根据题意得：
10000(1+x)2=12100，
解得：x 1=0.1,x 2=−2.1 （舍去）
则x =0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
(2)根据题意得：12100×(1+10%)=13310（元）
答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
一元二次方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)捐款增长率为x ，根据题意得：
10000(1+x)2=12100，
解得：x 1=0.1,x 2=−2.1 （舍去）
则x =0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
(2)根据题意得：12100×(1+10%)=13310（元）
答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
25.
【答案】
解：（1）函数的表达式可转化为y =a(x +1)(x −3)=a (x 2−2x −3)
，故−3a =−3,解得a =1
∴b =−2a =−2．
故函数的表达式为y =x 2−2x −3．
（2）①如图1，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点C ′(2,−3)，连接AC ′加DE 于点N ，则此时△CAN
的周长最小． 图1
设直线AC ′的表达式为y =kx +b(k ≠0)，
由题意，得{−3=2k +b,0=−k +b,解得{k =−1b =−1故直线AC ′的表达式为y =−x −1
当x =1时，y =−2,故点N(1,−2)．
②如图2，过点C 作CG ⊥ED 于点G ．
设NG =n ，则NE =3−n ．
∵∠CNG +∠GCN =90∘,∠CNG +∠MNE =90∘，
∴∠NCG =∠MNE ．
则tan ∠MCG =n =tan ∠MNE =ME3−n ，
故ME =−n 2+3n ．
∵−1<0,∴当n =32时，ME 有最大值，ME =94,
则nt 的最小值为−54．
如图3，当点N 与点D 处时，m 取得最大值，
同理可得m =5，故−54≤m ≤5.
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
二次函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）函数的表达式可转化为y =a(x +1)(x −3)=a (x 2−2x −3)
，故−3a =−3,解得a =1
∴b =−2a =−2．
故函数的表达式为y =x 2−2x −3．
（2）①如图1，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点C ′(2,−3)，连接AC ′加DE 于点N ，则此时△CAN 的周长最小．
图1
设直线AC ′的表达式为y =kx +b(k ≠0)，由题意，得{−3=2k +b,0=−k +b,解得{k =−1b =−1故直线AC ′的表达式为y =−x −1当x =1时，y =−2,故点N(1,−2)．②如图2，过点C 作CG ⊥ED 于点G
．设NG =n ，则NE =3−n ．
∵∠CNG +∠GCN =90∘,∠CNG +∠MNE =90∘，∴∠NCG =∠MNE ．
则tan ∠MCG =n =tan ∠MNE =ME3−n ，故ME =−n 2+3n ．
∵−1<0,∴当n =32时，ME 有最大值，ME =94,则nt 的最小值为−54．
如图3，当点N 与点D 处时，m
取得最大值，同理可得m =5，故−54≤m ≤5.。