2018届高考数学理一轮总复习检测：第十章 第八节 二项

第八节二项分布与正态分布
1．条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B 也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验．
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝
P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．正态分布
(1)正态分布的定义．
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝∫b aφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1
σ2π
；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A ，B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(2)P(BA)表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( )
(3)在正态分布函数φμ·σ(x)＝
1
2πσ
e －（x －μ）22σ2
中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．( )
(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X ＝k)＝C k n p k
(1
－p)n －k ，k ＝0，1，2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.310
B.13
C.38
D.29
解析：设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为
事件B，依题意P(A)＝2
10＝1
5，P(AB)＝2×3
10×9
＝
1
15.
故P(B|A)＝P（AB）
P（A）
＝
1
3.
答案：B
3．(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为() A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
解析：3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝2×0.63投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，
故所求事件的概率p＝P(k＝2)＋P(k＝3)＝0.648.
答案：A
4．(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝()
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称．
则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
∴P (0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6. 答案：A
5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3，乙去北京旅游的概
率为1
4，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有
1人去北京旅游的概率为________．
解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，且A 、B 相互独立，A 与B 相互独立．
依题意，P(A)＝1－13＝23，P(B)＝1－14＝34.
又P(A B)＝P(A)·P(B)＝23×34＝1
2
.
甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为
1－P(A B)＝1－12＝12.
答案：1
2
.
一个区别
相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
两种分布
1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
(1)是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为P.
(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
两点分布是特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为l.
两种方法
求条件概率有两种方法：
1．定义法：P(B|A)＝P（AB）P（A）
.
2．基本事件法：若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个
数，则P(B|A)＝n（AB）n（A）
.
两点提醒
1．在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．2．运用公式P(AB)＝P(A)·P(B)时，要注意公式成立的条件，只有当事件A和B相互独立时，公式才成立．
一、选择题
1．(2014·课标全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A ．0.8
B ．0.75
C ．0.6
D ．0.45
解析：记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由条件概率，得P(B|A)＝
P （AB ）P （A ）
＝0.6
0.75＝0.6. 答案：A
2．(2016·济南模拟)设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
6，12，则P(X ＝3)等于( )
A.516
B.3
16 C.58 D.38
解析：X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P(X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫
123·⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－123＝5
16
. 答案：A
3．(2015·湖北卷)设X ～N(μ1，σ21)，Y ～N(μ2，σ2
2)，这两个正
态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A ．P(Y ≥μ2)≥P(Y ≥μ1)
B ．P(X ≤σ2)≤P(X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P(X ≥t)≥P(Y ≥t)
D ．对任意正数t ，P(X ≤t)≥P(Y ≤t)
解析：由X ～N(μ1，σ21)，Y ～N(μ2，σ22)，及正态分布密度曲线
知μ1<μ2，σ1<σ2
则P(Y ≥μ2)＝12，P(Y ≥μ1)>1
2，故P(Y ≥μ2)≥P(Y ≥μ1)错误．
因为σ1<σ2，所以P(X ≤σ2)>P(X ≤σ1)，B 错； 对任意正数t ，P(X ≥t)<P(Y ≥t)，C 错； 对任意正数t ，P(X ≤t)≥P(Y ≤t) ，D 正确． 答案：D
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
解析：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P(A)＝23，P(B)＝34
，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝5
12. 答案：B
5．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
5，12，则函数f(x)＝x 2＋
4x ＋X 存在零点的概率是( )
A.56
B.45
C.3132
D.12
解析：∵函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.
∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，12
∴P(X ≤4)＝1－P(X ＝5)＝1－125＝31
32.
答案：C
二、填空题
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球
中至多命中一次的概率为16
25，则该队员每次罚球的命中率为
________．
解析：设该队员每次罚球的命中率为p，其中0<p<1，则依题意
有1－p2＝16
25，p
2＝
9
25，又0<p<1，∴p＝
3
5.
答案：3 5
7．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800<X≤900的概率为p0，则p0＝________．
解析：由X～N(800，502)，知μ＝800，σ＝50，
又P(700<X≤900)＝0.954 4，
则P(800<X≤900)＝1
2×0.9544＝0.4772.
答案：0.4772
8．(2016·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________．解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．
由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等．
所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．
所以P(B)＝4
9，P(AB)＝
1
9.
所以P(A|B)＝P（AB）
P（B）
＝
1
9
4
9
＝
1
4.
答案：1 4
三、解答题
9．(2015·福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，
则P(A)＝5
6×
4
5×
3
4＝
1
2.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P(X＝1)＝1
6，P(X＝2)＝5
6×
1
5＝
1
6，P(X＝3)＝
5
6×
4
5×1＝
2
3.
所以X的分布列为
所以E(X)＝1×1
6＋2×
1
6＋3×
2
3＝
5
2.
10．(2017·广州一模)近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？
设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX.
附：K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
(其中n＝a＋b＋c
＋d为样本容量)
解：(1)2×2列联表：
K 2＝150×50×120×80
≈11.111，
因为11.111＞6.635，
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．
(2)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为2
5，且X 的取值可
以是0，1，2，3.
P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫
25×⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＝54125；
P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪
⎫
252×⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫
253×⎝ ⎛⎭
⎪⎫350＝8125. X 的分布列为：
所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5.。