【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布课后强化作业 新人教A

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-9随机变量的数字特征
与正态分布课后强化作业 新人教A 版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2013·某某模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )
A ．1
B ．n C.n ＋12 D.n －1
2
[答案]C
[解析]这把可以打工柜门的钥匙排在任何一个位置都是等可能的，概率为1
n ，设试开次
数为ξ，则E (ξ)＝(1＋2＋…＋n )·1n ＝n ＋1
2
.
2．(2013·某某一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 [答案]B
[解析]∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.
3．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 [答案]A
[解析]∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)， ∴(a －2)＋0
2
＝1，∴a ＝4.
4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A ．39元
B ．37元
C ．20元 D.100
3
元
[答案]B
[解析]ξ的分布列为
∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.35．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B (10，p )，若E (ξ)＝8，则D (η)＝( ) A ．0.5 B ．0.8 C ．0.2 D ．0.4 [答案]D
[解析]∵E (ξ)＝10p ＝8，∴p ＝0.8，∴D (ξ)＝10p (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6，又D (ξ)＝D (2η－1)＝4D (η)，∴D (η)＝0.4.
6．(2013·某某调研)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，
两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16 [答案]B
[解析]P ＝2
3×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512 二、填空题
7．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察出现的点数，如果出现了5点或6点，则称“抛掷高效”，若“抛掷高效”则得1分，否则得0分，则抛掷一次得分的期望为________．
[答案]1
3
[解析]由题意P (ξ＝0)＝23，P (ξ＝1)＝1
3，
∴E (ξ)＝0×23＋1×13＝1
3
.
8．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. [答案]0
[解析]∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝1
2
，
∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝1
2
E (ξ)－2＝0.
9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．
[答案]21
55
[解析]设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则
P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝3
10
，
所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝21
55.
三、解答题
10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13
.
(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？
(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．
[解析](1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×
9
10＝9
5
， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×9
5
＝3.6.
设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×1
3＝1，
则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，
∴选手甲应该选择在A 区投篮．
法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4， P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1
100
，
P (ξ＝2)＝C 12×
910×(1－910)＝18100
， P (ξ＝4)＝(910)2＝81
100.
所以ξ的分布列为：
∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81
100
＝3.6.
同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9， P (η＝0)＝(1－13)3＝8
27，
P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝4
9， P (η＝6)＝C 23
×(13)2(1－13)＝29， P (η＝9)＝(13)3＝1
27.
所以η的分布列为：
∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×1
27＝3.
∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．
(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．
则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝
18100×827＋81100×827＋81100×49＝49
75
，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为49
75
.
能力拓展提升
11.(2013·某某模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、
二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[解析](1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4
200
＝0.02.
故ξ的分布列为
(2)1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .
由E (ξ)≥4.73，得4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.
12．(2012·某某理，20)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：
0.7、0.9.求：
(1)工期延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
[分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差．(2)利用条件概率公式求解．
[解析](1)由已知条件和概率的加法公式有：
P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y 的分布列为：
Y 0 2 6 10 P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2 ×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝
P (300≤x <900)P (X ≥300)
＝0.60.7＝6
7. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是6
7
.
13．(2013·某某理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
乙的频数统计表(部分)
当n ＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
[解析](1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整中数随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；
当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝1
3；
当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝1
6
.
所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为1
3，输出y 的值为3的概率
为1
6
. (2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝8
27， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49， P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29， P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
8
27
49
29
127
所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×1
27＝1.
即ξ的数学期望为1.
14．某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．
(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率； (3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．
[解析](1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝105＝21，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．
(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率
P ＝C 16·C 14
C 210＝815
.
(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. P (ξ＝0)＝C 24C 210·3
5＝225
；
P (ξ＝1)＝C 16·C 14C 210·35＋C 24C 210·25＝28
75；
P (ξ＝2)＝C 26C 210·35＋C 16·C 14C 210·25＝31
75；
P (ξ＝3)＝C 26C 210·2
5＝215，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
225
2875
3175
215
E (ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝8
5
.
考纲要求
1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义． 补充说明
1．均值与方差的理解
(1)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均水平．
(2)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越小，X 的取值越集中，D (X )越大，X 的取值越分散．
2．正态曲线与正态分布
函数f (x )＝φμ，σ(x )＝1
2πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R .其中实数μ和σ为参数，我们称f (x )的图象
为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．
正态随机变量X 落在区间[a ，b ]内的概率为： P (a <X ≤b )≈⎠⎛a
b f (x )dx .
即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如下图．
正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．
一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
化归思想
将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值．
4．3σ原则
服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率为
P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，
P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
5．求解随机变量的的期望与方差的问题，先要弄清概率模型，其次弄清事件的关系．三要熟记相关公式．四是注意期望与方差的性质．
备选习题
1．(2013·某某模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一X写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为() A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
[答案]A
[解析]依题意得，得分之和X的可能取值分别是0,1,2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝
0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
2．设一随机试验的结果只有A 和A －
，且P (A )＝p ，令随机变量X ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (A 出现)，0 (A 不出现).则X
的方差D (X )等于( )
A ．p
B ．2p (1－p )
C ．－p (1－p )
D ．p (1－p ) [答案]D
[解析]X 服从两点分布，故D (X )＝p (1－p )．
3．(2012·某某质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )
A ．(0，712)
B ．(7
12，1)
C ．(0，12)
D ．(1
2，1)
[答案]C
[解析]由已知条件可得P (X ＝1)＝p ， P (X ＝2)＝(1－p )p ，
P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，
则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75， 解得p >52或p <1
2
，
又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，1
2
)，故应选C.
4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )
A.89
B.35
C.25
D.13 [答案]A
[解析]∵对称轴在y 轴左侧，
∴－b
2a
<0，∴ab >0，即a 与b 同号，
∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 1
7＝126条．
ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.
∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝8
9
.
5．(2013·某某聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时部分每小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1
2；两小时以上且不超过三小时还
车的概率分别为12，1
4
；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． [解析](1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，1
4.
记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝5
16
，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5
16.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,2,4,6,8，且 P (ξ＝0)＝14×12＝1
8；
P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝5
16；
P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝5
16；
P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝3
16；
P (ξ＝8)＝14×14＝1
16.
ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7
2
.
6．有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
12天出发．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径．
(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A 、B 长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用) [解析](1)频率分布表，如下：
设A 1、A 2分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B 1、B 2分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．
P (A 1)＝0.2＋0.4＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∴汽车A 应选择公路1.
P (B 1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∴汽车B 应选择公路2.
(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36. X的分布列如下：
E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)
设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.
则分布列如下：
E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4，
∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，
∵36.0<39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．。