《物理场论》矢量场基本定理

算子
'

x'
ex

y '
ey

z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，

F G
F G
设
F

G
，令，
F

G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度

A
、旋度

A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得

A

u，代
入（1）式，可以得到：

A u 2u 0

((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S

(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理

矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 高斯散度定理 2. 斯托克斯定理 3. 格林定理 4. 唯一性定理 5. 亥姆霍兹定理
1、高斯定理 高斯定理（奥氏公式）：空间域 V 的边界由曲 面 S 包围，函数 Ax(x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z) 在 V和 S 上均 有一阶连续偏导数，则有
S
和
边界
l
成右手法则。函数
P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)
在 S,l 上均有一阶连续偏导数，则有

l
(Pdx

Qdy

Rdz)


S
((
R y

Q z
)dydz
z
S
( P R )dzdx ( Q P )dxdy)
z x
格林第一定理

(uv) dS (v u u2v)dV
S
V
格林第二定理

(uv vu) dS (u2v v2u)dV
S
V
u, v 是V中具有连续二阶导数的任意标量函数。
3、格林定理
证明：根据高斯定理，


A dS AdV

(A)t

A1t

A2t

0
即

(A)
t

(u)t
S无变化。

u t

0，该式表明标量函数u沿边界面


因此意味着(4)式的右边为
(uu) dS
S

uSu
dS
根据高斯散度定理，有
Su

dS

V


(u)dV

2udV
V

0

将 uSu dS 0 代入(5)式，给出
S
V
两式相减，得到格林第二定理：

(uv vu) dS (u2v v2u)dV
S
V
通用形式： (uv) ndS (v u u2v)dV
S
V
(uv vu) ndS (u2v v2u)dV， uu ndS ((u)2 u2u)dV
S
V
S
V
3、格林定理
矢量格林定理
格林第一定理




V (A B)dV V ( A B A B)dV S (A B) dS
格林第二定理




V [B ( A) A ( B)]dV S (A B B A) dS

g


F


G



g
g 0

F

G



g
g 0
（1） （2）
（3） （4） （5）
g
2 0
（6）
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
可以证明满足（6）式的 为常数 C ，即，
2 0 g 0
将上式代入高斯散度定理，得到格林第一定理：




V (A B)dV V ( A B A B)dV S (A B) dS
利用格林第一定理，得到格林第二定理：






V [ B ( A) A ( B)]dV S (A B B A) dS
( Axdydz Aydxdz Azdxdy)
z
S
( Ax Ay Az )dV
V x y z
高斯定理是联系面积分和
体积分之间的一个重要定 o
理，也称散度定理。
x
n
S2
S3 n V
S1 n
y
VDxy S
2、斯托克斯定理
斯托克斯（Stokes）定理：光滑空间曲面
及在边界面S上相同的切向分量 A1t A2t 。
4、唯一性定理
令

A

A1

A2，则其散度和旋度分别为：



A A1 A2 0
（1）



A A1 A2 0
（2）
（2）式表示矢量场

A
是无旋场，为有位场，在
所唯一确定。
唯一性定理对于解决实际问题有重要意义，给 出了哪些因素可以确定矢量场。
满足唯一性定理的条件，则物理场边值问题的 解是唯一的，可以选择最简单的方法求解。
5、亥姆霍兹定理 定理：若矢量场 F(r)在无界空间中处处单值，其 导数连续有界，场源分布在有限区域Vˊ中，则
该矢量场唯一的由其散度和旋度确定，且可以被
于是得到
F G
，定理得到证明。
任一矢量场均可表示为一个无源场和一个无旋
场之和。பைடு நூலகம்
A A1 A2
A1 0
A2 0
研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，
才能确定该矢量场的性质。
u 2 dV 0
V
（6）
上式中被积函数不可能小于0， u 0 ，则上式
成立的条件必然是
4、唯一性定理

u A A1 A2 0
（7）
即 A1 A2 ，唯一性定理获得证明。
唯一性定理表明：一个矢量场被它体积V内旋度，
散度和曲面S上的边界条件（切向或法向条件）
A,
B是V中具有连续二阶导数的任意矢量函数。
3、格林定理
证明：利用矢量恒等式，



( A B') B'( A) A ( B')
取
B'


B，代入上式，得到：




(A B) B A A ( B)
表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋
度之和，即：
F
(r)

(r)



A(r)
(r) 1
4
V'
'

F
(r '
)
r r' dV
'
A(r) 1
4
V
'

'

F
(r
'
r r'
)dV
'
r r' 为场点 r到源点 r '的距离。
取
A

S
V
uv，代入高斯定理，并利用以下等式：



uA u A u A

(uv) dS (uv)dV (u v u v)dV
S
V
V
(u v u2v)dV
当 u v 时，可得，
V
x y

l
联系空间第II型曲面积分
o
y
和该边界第II型曲线积分。 x
Dxy
C
2、斯托克斯定理
高斯定理表示为矢量形式：


A dS AdV
S
V
斯托克斯定理可以为矢量形式：


A dl ( A) dS
l
S
3、格林定理
标量格林定理

uu dS ((u)2 u2u)dV
S
V
3、格林定理
证明：格林第一定理为

(uv) dS (v u u2v)dV
S
V
将 u,v 交换位置，得到：

(vu) dS (u v v2u)dV