切向和法向加速度
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第4节 切向和法向加速度
一、自然坐标系
单位切向量τ ,沿轨道
切线指向质点运动方向
单位法向量n ,沿轨道
法向指向凹的一侧 (τ ,n ):自然坐标系 t P )(t τ , )(t n
) t t ∆+ Q )(t t ∆+τ )(t t n ∆+
)()(t t t τττ -∆+=∆
τ ∆:矢量,大小:2s i n 2θτ∆=∆
0→∆t 时 0→∆θ
⎪⎩
⎪
⎨⎧∆≈∆=∆∆⊥∆∆θθ
τττττ2s i n 2)(//)( 大小:,方向:t n t n ⋅∆≈∆θτ
0→∆θ,n n
=∆⋅∆=∆∆θθθτlim lim ⇒ n d d =θ
τ
dt ds ds d d d dt d d d dt d ⋅⋅=⋅=θθτθθττ ,n d d =θτ,ρθ=d ds ,V dt ds =
n V dt d
⋅=ρ
τ 二、切向和法向加速度
τ ⋅=V V
n V dt dV dt d V dt dV V dt d dt V d a
ρττττ2)(+=+===
n a a a n t +=τ
22dt
s d dt dV a t ==:切向加速度,速率变化引起的
↑V ,0>t a ,沿τ 方向,↓V ,0<t a ,与τ
反方向
02
>=
ρ
V a n :法向加速度,速度方向变化引起的
沿法线指向曲率中心
a
指向轨迹凹的一侧
2222
2)()(ρ
V dt dV a a a n t +=+=
t n a a tg /=α
) 0→∆θ 0→∆θ
讨论:(1)直线运动,∞=ρ,0=n a
(2)匀速率圆周运动,0==dt
dV a t ,R V a n 2=
:向心加速度 (3)一般曲线运动及变速率圆周运动,0≠t a ,0≠n a
(4)ρ2
V a n =⇒n
a V 2
=
ρ:计算曲率半径 例:R =800m 的圆形轨道,汽车,静止开始, t a
速率均匀增加,t =3(分),V =20m/s 求:t =2(分),a
,t a ,n a
解:设kt V =,t=3(分)=180s ,V =20m/s k =20/180=1/9, V =t /9
)/(111.09/12s m dt
dV
a t ===
t =2(分)=120s ,V =120/9(m/s)
R
V a n 2
==2/222.0s m
22
2/248.0s m a a a n t =+=,t n a a tg /=α=2, 4.63=α
第5节 相对运动
S '相对于S 作平动运动
0r r r
+'=
' 0r r r ∆+'∆=∆
dt
r d dt r d dt r d 0
+'= V dt r d
=:质点在S 系中的速度(绝对速度) V dt r d '='
:质点在S '系中的速度(相对速度)
00
V dt
r d =:O '点相对于O 点的速度(牵连速度) V V V
+'=:绝对速度=相对速度+牵连速度
dt V d dt V d dt V d 0
+'= a dt V d
=:质点在S 系中的加速度(绝对加速度) a dt V d '='
:质点在S '系中的加速度(相对加速度) 00a dt
V d
=:O '点相对于O 点的加速度(牵连加速度) 0a a a
+'=:绝对加速度=相对加速度+牵连加速度
如果S '系相对于S 系作匀速直线运动,则00=a ,a a '=
例:汽车以
雨滴在空气中以10s m / 落,求雨滴相对于汽车的速度解:地面:S ,汽车:S '系 s m /
车对地面的速度为牵连速度 大小s m V /200=
雨滴对地的速度为绝对速度 0V
大小s m V /10=
雨滴对车的速度为相对速度 V θ V '
根据 0V V V +'= 0V V V
-='
s m V V V /4.22202=+=' 20==V
V
tg θ 4.63=θ
第6节 圆周运动的角量表示
θR s = θ:角坐标,r a d )(t θθ= )(t s s =
dt d R R dt d dt ds V θθ===)(
dt d θ
ω=:角速度,s rad /
R V ω=
22dt
d R dt d R dt dV a t θ
ω=== 22dt
d dt d θ
ωβ==:角加速度,2/s r a d βR a t =,R R
R R V a n 22
22ωω===
讨论: 1、ω不变,匀角速圆周运动
(匀速率圆周运动,匀速圆周运动)
0==dt
d ω
β
dt d θ
ω=⇒dt d ωθ=⇒⎰⎰=t
dt d 0
0ωθθθ
角位移:θ∆=t ωθθ=-0,t ωθθ+=0
2、β不变:匀变速圆周运动
dt d ω
β=⇒d t d βω=,⎰⎰=ωωβω00
t
dt d
t βωω=-0⇒t βωω+=0 t dt
d βωθ
ω+==0⇒dt t d )(0βωθ+=
⎰⎰+=θ
θ
βωθ0
)(t
dt t d
角位移:θ∆=2002
1
t t βωθθ+=-
)(202
2θθβωω-=- ****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 t ωθθ+=0 Vt x x +=0
匀变速圆周运动 匀加速直线运动 t βωω+=0 at V V +=0
20021
t t βωθθ+=- 20021at t V x x +=-
)(202
2θθβωω-=- )(20202x x a V V -=- ******************************************************。