最新版精编2020高考数学《立体几何初步》专题测试版题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3(2004福建理)
2．已知a b c 、、是直线，α是平面，b 、c ≠⊂α，则“⊥a 平面α”是“b a ⊥且
c a ⊥”
的…………………………………………………………………………………………（ ） A ．充要条件． B ．充分非必要条件． C ．必要非充分条件． D ．非充分非必要条件．
3．若点E F G H 、、、顺次为空间四边形ABCD 四边AB BC CD DA 、、、的中点，且
3,4EG FH ==，则22AC BD +等于---------------------------------------------------------------（ ）
(A) 25 (B) 50 (C) 100 (D) 20 二、填空题
4．如图所示，三棱台ABC －A
1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比为________． 解析：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ， 则S △A 1B 1C 1＝4S .
∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，
VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝4
3Sh ，
又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝7
3
Sh ，
∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1
＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23
Sh . ∴VA 1－ABC ∶VB －A 1B 1C ∶VC －A 1B 1C 1 ＝13Sh ∶23Sh ∶4
3Sh ＝1∶2∶4.
5．如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一个水平面，则这碗的半径R 是______________
6．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥a 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱a 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 。

7．已知直线b a ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题： ① b a a =βαβα ,//,//，则b a //； ② γβγ⊥⊥,a ，则β//a ； ③ b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥； ④ αγββ⊥a a ,//,//，则γα⊥. 其中正确命题的序号
8．空间不共面的四点可以确定平面的个数是___________
9． 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②整个平面；③一个点；④空集．其中正确命题的序号是 ．
10．已知两条直线m ，n ，两个平面βα,，给出下面四个命题：
①αα⊥⇒⊥n m n m ,//；
②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；
③αα////,//n m n m ⇒； ④./,//,//βαβα⊥⇒⊥n m n m
其中真命题．．．的序号 。

11．正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成0
45角，则点A 到侧面
PBC 的距离是
12．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， AB ＝BC ，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上． （1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？
（2）设AF =1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值. .
13． 已知1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，求： （1）异面直线1AA 与BC 所成的角为 （2）求异面直线1BC 与AC 所成的角
14．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中 点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成的角为________． 解析：取AC 的中点G ，连接GE 、GF ，
B 1
D 1
A
B
C
D A 1
C 1
∵E 、F 、G 分别为AB 、CD 、AC 的中点，AD ＝CB ＝2，∴EG ＝GF ＝1，EG ∥BC ，FG ∥AD .故AD 、BC 所成角α为∠EGF (或补角)．由 三角形余弦定理知cos ∠EGF ＝－12，∴cos α＝1
2，0°<α≤90°.故α＝60°.
15．已知正方体C 1
的棱长为C 1各个面的中心为顶点的凸多面体为C 2，以C 2各个面的中心为顶点的凸多面体为C 3，以C 3各个面的中心为顶点的凸多面体为C 4，依次类推．记凸多面体C n 的棱长为a n ，则a 6= ▲ ．2
16．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥形礼品（如图所示），现用一张正方形包装纸将其完全包住，要求包装时不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长应为 ▲ ．
17．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿 AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四 面体的体积为 ▲ .
18．如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，若直线EF 与GH 相交，则它们的交点M 必在直线 ☆ 上。

AC
19．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) （2013年高考湖北卷（文））
20．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积
的比是________．
解析：设圆锥的底面半径为r ，则2π
3
l ＝2πr ，∴l ＝3r ，
B
第6题
∴S 表S 侧＝πr 2＋πrl πrl ＝πr 2＋3πr 23πr 2＝43.
三、解答题
21． 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， △PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8. （1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？ （3）求四棱锥P －ABCD 的体积．
22．如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,A B A C 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5
所示的三棱锥A BCF -,其中BC =(1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2
3
AD =
时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.（2013年高考广东卷（文））
图 4
23．某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形(如图),现把半径为
10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮的
厚度忽略不计),求该蛋筒冰激凌的表面积和体积(精确到0.01)
24．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面
ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，CD ，F 为CD 的中点．
（1） 求证：AF ∥平面BCE ；（2） 请问线段CE 上是否存在点G ，使得DG ⊥平面BCE ，若存在，请给予证明并指出此时CG
GE
的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，底面ABCD 是菱形，且ABC ∠=60°，点M 是AB 的中点，点E 在棱PD 上 ，满足DE =2PE ,求证： （1
） 平面PAB PMC ⊥平面 （2）
直线//EMC PB 平面
26．如图，四边形ABCD 为矩形，DA ABE ⊥平面，
AE EB BC ==，F 为CE 上的点，且
BF ACE ⊥平面，M 为线段AB 的中点，
求证：（1）AE BE ⊥；（2）//MF DAE 平面。

27．如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，PA AD =，点
F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

（1）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由；
（2）求证：AF PCD ⊥面.
28． 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△
ACD 为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求多面体ABCDE 的体积．
29．如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,2=AB ,E 、F 分别 为11C D 、11D A 的中点．
(1）求证：⊥DE 平面BCE ； (2）求证：//AF 平面BDE ．
A
A
B
C
D
P
E
F
(3）能否在面C C BB 11内找一点G,使AF DG 若能,请找出所有可能的位置并证明,若不能,请说明理由.
30．如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. (1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2）求四面体PCEF 的体积.
【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，
所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分
同理可证∠APD =45°.
所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分
又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分
因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分。