江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第二层次)专题6三角恒等变换与解三角形 Word版含答案

专题6：三角恒等变换与解三角形
班级 姓名
一、前测训练
1．(1)已知cos(α＋π6)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝；sin(α＋π3)＝；，cos(2α＋π
6)＝． 答案：16（3＋22）；13；16（22－3）
(2)已知cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则x x x tan 1sin 22sin 2-+＝．
答案：2875 (3)
10
cos 1)
10tan 31(80sin 50sin 2+++＝．
答案：2
(4)已知tan(π4＋α)＝12．则αα
α2cos 1cos 2sin 2+-＝．
答案：－5
6
2． (1)在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，c ＝1，则C ＝；a ＝．
答案：300；2
(2)在△ABC 中，A ＝1200，a ＝7，b ＋c ＝8，则b ＝；c ＝． 答案：3或5；5或3
(3) 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝.
答案：8 2
3．(1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为． 答案：等腰或直角三角形
(2)在△ABC 中，sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 的形状为． 答案：等腰三角形
二、方法联想
1．三角变换基本想法
(1)角：观察角的联系，实现角的统一． (2)名：弦切互化，异名化同名．
形：公式变形与逆用． 幂：平方降幂，根式升幂．
解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．
注意 判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围． 变式1、在ABC ∆中,13
5
cos ,53sin ==
B A ,则=
C cos . 答案：
65
16
(利用三角函数值缩小角的范围)
变式2、已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，则角β＝________.
答案：π
4
（用已知角表示要求的角） 2．三角形中边角计算
方法 正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理．
变式1、在锐角三角形ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若
C b
a
a b cos 6=+,则B
C
A C tan tan tan tan +的值是. 答案：4
(把握正、余弦定理的结构特征)
变式2、在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ,则cos A ＝______ 答案：－10
10
解析:设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ,所以，AC ＝5AD ，AB ＝2AD ，根据余弦定理，求出cos A
（平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量）
3．边角转化、角角转化
方法 关于含有边角的关系式，利用(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 或(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc 等进行边角互化，即边化角或角化边．
方法 角角转化，即利用A ＋B ＋C ＝π消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角．
变式1、若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______.
答案：
4
2
6- (边角转化)
变式2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B
cos A 求cos C 的最小值.
答案：12
解析：切化弦后，化简得2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，从而2sin C ＝sin A ＋sin B ，∴a ＋b ＝2c
所以 2
22
2222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=
=311842
b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为1
2
.
（利用正弦定理实现边角转化；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数）.
三、例题分析
例1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知
cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
. (1)求
sin sin C
A
的值； (2)若cosB=1
4，△ABC 的周长为5，求b 的大小．
解(1)sin sin C A
=2.(2) b =2.
〖教学建议〗
（1)主要问题归类与方法： 边角互化问题
①利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将边化为角；②利用cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc 等将余弦化为边；③ccosB ＋bcosC ＝a 等化角为边．
方法选择与优化建议：
1、对于等式
cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin 2sin C A =；
2、利用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等将等式cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．
3、等式
cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
可以化为b cosA ＋a cosB ＝2(b cosC+c cosB),即c =2a, ，所以可以选择方法③．
(2)主要问题归类与方法：
求边长 ①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边． 方法选择与优化建议：
因为从第一问已经可以得到c =2a ，又a ＋b ＋c ＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b ,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．
例2已知函数f (x )＝2 cos 2x ＋23sin x cos x ． （1）求函数f (x )在[－π6，π
3
]上的值域；
（2）在△ABC 中，若f (C )＝2，2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值． 解（1）函数f (x )在[－π6，π
3]上的值域为[0，3]． （2）tan A ＝3＋32． 〖教学建议〗
（1)主要问题归类与方法：
将已知函数转化为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)+b 的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数．
方法选择与优化建议： 平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．
（2）主要问题归类与方法：
三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等变形 方法选择与优化建议：
本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C 已知，又A ＋B ＋C ＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A ；利用第第二个条件2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，化为只有一个未知量角A 的方程解决．
例3、已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=．
（1）求tan2A 的值；
（2）若4
B π
=
，3CB CA -=，求△ABC 的面积S ．
解（1）34
tan 1tan 22tan 2
-=-=∴A A A . (2) 3．
〖教学建议〗
（1)主要问题归类与方法：
向量的数量积表示有两种方法，①是数量积的定义，②是数量积的坐标表示． 方法选择与优化建议：
本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法①． （2）主要问题归类与方法： 求三角形的面积问题
计算三角形的面积需要三个条件，①已知两条边一夹角；②已知三条边；③已知一条边以及此边上的高等等．
方法选择与优化建议：
已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法①的运算量较小．
四、反馈练习(专题6：三角恒等变换与解三角形)
1.若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝1
2
，则cos(α－β)的值为________．
答案 3
2(考查两角和与差的三角函数).
2.
17cos 30cos 17sin 47sin -的值是；答案2
1(考查两角和与差的三角函数). 3. 设)2,0(),2,0(πβπα∈∈，且ββαcos sin 1tan +=
，则=-βα2；答案2
π
(考查弦切互化).
4.在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是.,,c b a 若3
,6)(2
2
π
=
+-=C b a c ,则ABC ∆的面积是；答案
2
3
3(考查正,余弦定理). 5．已知α，β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，且tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，则角β的大小为________．
答案π
3(考查角的变换).
6.钝角三角形ABC 的面积是
2
1
,2,1==BC AB ,则=AC ；答案5(考查正,余弦定理). 7. 在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是.,,c b a 又2=a ,且
C b c B A b sin )()sin )(sin 2(-=-+,则ABC ∆的面积的最大值是；答案3(考查正,余弦定
理).
8．（2016全国II ）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4c o s 5A =
，5
cos 13
C =，1a =，则b =．答案
21
13
(考查正弦定理,两角和与差公式). 9．已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．
答案4＋42(考查余弦定理,基本不等式).
10．[2014·广东] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B
＝2b ，则a
b
＝________．
答案2(考查正弦定理,两角和与差公式).
11. 设函数).0,)(sin()(>+=ωϕωA x A x f 若)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,6ππ上具有单调性,且
)6
()32()2(π
ππf f f -==,则)(x f 的最小正周期为． 答案π(考查三角函数图像性质及周期性).
12.已知1413)cos(,71cos =-=
βαα，且.2
0π
αβ<<< （1）求α2tan 的值； （2）求.β
答案 （1）4738-
（2）3
π
(考查两角和与差公式,二倍角公式). 13.【2015江苏】在ABC ∆中，已知
60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.答案：（1）3(考查余弦定理).
（2）43
7
(考查正弦定理，二倍角公式).
14. （2016浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2
=4
a S ，求角A 的大小.
（II ）由24a S =得2
1sin C 24
a a
b =，故有
1
sin sin C sin 2sin cos 2
B =B =B B ，
因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．
又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π=±B ．
当C 2
πB +=时，2
π
A =； 当C 2
π-B =
时，4
π
A =．
综上，2
π
A =
或4
π
A =
． ( 考查正弦定理，两角和与差公式).
15．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋B 2＋3cos 2B －2cos B .
(1)若f (B )＝2，求角B ；
(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围． 解(1)f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B
＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B
＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2B ＋π3.
∵f (B )＝2，∴2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2B ＋π3＝2，
∵0＜B ＜π，∴2B ＋π3＝π2.∴B ＝π
12.(考查两角和与差公式,二倍角公式). (2)f (B )－m ＞2恒成立，即2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2B ＋π3＞2＋m 恒成立．
∴2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]，∴2＋m ＜－2.∴m ＜－4. (考查两角和与差公式).
16．已知向量a ＝(1－tan x,1)，b ＝(1＋sin 2x ＋cos 2x,0)，记函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的解析式，并指出它的定义域； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝25，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，求f (α)．
解 (1)f (x )＝a ·b ＝(1－tan x )(1＋sin 2x ＋cos 2x )＝cos x －sin x cos x
·(2cos 2
x ＋2sin
x cos x )＝2(cos 2
x －sin
2
x )＝2cos 2x .定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(考查角的变换,二倍角公式).
(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4＝25，
所以cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4＝210，且2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，
所以sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π4＝7210
.
所以f (α)＝2cos 2α＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4＋2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2α＋π4sin π4＝85.(考查角的变换，两角和差公式). 17．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四
边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA 、AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC .
(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值．
解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .
同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cos A .
即x 2
＋(9－x )2
－2x (9－x )cos A ＝x 2
＋(5－x )2
＋2x (5－x )·cos A ．解得cos A ＝2
x ，
即f (x )＝2
x ，其中x ∈(2,5)．(考查角的变换,余弦定理).
(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )sin A ＝1
2[x (9－x )＋x (5－x )]1－cos 2A ＝x (7－x )
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x 2＝(x 2－4)(7－x )2＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49).
记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2,5)． 由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14)
＝2(x －7)(2x 2－7x －4)＝0，解得x ＝4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＝7和x ＝－12舍.
函数g (x )在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.
所以S 的最大值为108＝6 3.(考查角的变换,导数求最值).
答：所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2.
18. (2016江苏)在ABC △中，4
,54cos ,6π===C B AC . （1）求AB 的长； （2）求π
cos(6
A -)的值. 解（1）因为4
cos ,0,5B B π=<<
所以3sin ,5
B ===
由正弦定理知
sin sin AC AB B C =
，所以sin sin 5
AC C
AB B
⋅===
（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+ 于是cosA cos(B C)cos()cos cos
sin sin
,444
B B B π
π
π
=-+=-+
=-+
又43cos ,sin ,55B B ==
，故43cos 55A =-+=因为0A π<<
，所以sin A =
因此1cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ-=+=+=
(考查正弦定理，两角和与差公式).。