高中数学：曲线系方程的应用

高中数学：曲线系方程的应用
如果两条曲线方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲线也经过点P（λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交点的曲线系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一、直线系
概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程y－y0＝k（x －x0）（k为参数）
（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax ＋By＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx －Ay＋λ＝0（λ为参数）
（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：
A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）
例1、已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线L的方程。

解析：设直线L的方程为
2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。

∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。

∵L与直线3x＋y－1＝0平行，
∴。

解得：λ＝。

所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0
例2、求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解析：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
即，
∴直线过定点P（9，－4）
说明：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二、圆系
概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：
（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r为参数。

（2）过两已知圆C1：f1（x，y）＝x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1＝0。

和C2：f2（x，y）＝x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋
F2）＝0（λ≠－1）
若λ＝－1时，变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，
则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：
设直线L：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。

例3、求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程。

解析：根据（2）设所求圆的方程为：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0。

即（1＋λ）x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－(4＋28λ)＝0。

其中圆心为（），
又该圆心在直线x－y－4＝0上
即，得＝－7。

∴所求圆方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0。

例4、求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0 ①和3x2＋3y2＋2x＋y＝0 ②交点的直线方程。

分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。

若用（2）中方法则非常简单。

解析：先化②为圆的一般式方程：
③
由①－③得：
即7x－4y＝0。

此为所求直线方程。

例5、求过直线2x＋y＋4＝0和圆的交点，且过原点的圆方程。

解析：根据（3），设所求圆的方程为：。

即，因为过原点，所以1＋4＝0，得＝。

故所求圆的方程为：。

三、椭圆系
（1）与椭圆（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：（λ＞c2）
（2）与椭圆具有相同离心率的椭圆系方程为（λ＞0）。

例6、求经过点（2，－3），且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程。

解析：因已知椭圆焦点在y轴上，且c2＝5，
则可设所求椭圆方程为：
又经过点（2，－3），代入方程得：，解得：＝10或＝－2（舍去）
例7、求与椭圆有相同离心率且经过点（2，－）的椭圆的标准方程。

解析：由题意，设所求椭圆方程为。

∵椭圆过点（2，－），故。

故所求的椭圆方程是。

三.、双曲线系
（1）与双曲线共焦点的双曲线系方程：
＝1（0＜λ＜c2＝
（2）与双曲线共渐近线的双曲线系方程为（λ≠0）
（3）等轴双曲线系方程为：x2－y2＝λ（λ≠0）
例8、求与双曲线共渐近线且过点A（）的双曲线方程。

分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。

利用（2）可简化运算。

解析：设所求双曲线方程为：
（λ≠0）
因为过点A（），
所以。

所求双曲线方程为：
即。

说明：应用曲线系方程不当时也会失效。

例9、求以圆x2＋y2＝5与抛物线y2＝4x的公共弦为直径的圆的方程。

分析：常规解法是：
由
得圆方程：（x－1）2＋y2＝4
若用曲线系方程思想，则可构造方程为
（x2＋y2－5）＋λ（y2－4x）＝0（*）
即x2＋(1＋λ)y2－4λx－5＝0。

则λ＝0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。

错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程（*），方程（*）是过已知两曲线交点的曲线，但方程（*）不能包含过已知两曲线交点的所有曲线，比如：两直线x＋y＝0，x－y＝0的交点是（0，0），而y2＝4x，（x－1）2＋y2＝1等曲线也都过（0，0），但这些曲线不能从直线系中得到。

所以，应用时要具体问题具体分析。

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