2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷(文科)

2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷(文科)
2018年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学四模试卷（文
科）
副标题
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则
其虚部为（）
A. -6
B. -6i
C. 3
D. 3i
2.集合M={0，2t}，N={，0，}，若M∩N={0，}，则t=（）
A. B. log48 C. D.
3.函数f（x）=sin x+cos x的最大值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.如框为某程序语言，则该程序语言执行的是
（）函数的功能．
A. y=x
B. y=-x
C. y=|x|
D. y=-|x|
5.已知实数x，y满足，则目标函
数的最小值为（）
A. B. C. D.
6.已知数列{a n}，{b n}，且，
，设b n的前n项和为S n，则S5=（）
A. 62
B. 60
C. 58
D. 56
7.已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的
一条渐近线与直线3x-2y+1=0垂直，则双曲线Γ的离心率为（）
A. B. C. D.
8.函数f（x）=-cos x•lg|x|的部分图象是（）
A. B. C. D.
9.
10.某中学为了调查高三女生的健康状况，从
高三年级随机选取8名女学生，得到其身高和体重数据如表：
编号12345678
身高
165165157170175165155170 /cm
体重
4857505464614359 /kg
经计算得知，身高预报体重的回归方程为
=0.849x-85.712，R2（相关系数的平方）≈0.64．
有下列四种判断：
①身高x每增加1个单位，体重y就大约增
加0.849个单位
②R2越接近于1，表示回归的效果越好
③女学生的体重差异有64%是由身高引起
的
④女学生的身高解释了64%的体重变化
正确的是（）
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D.
①②③④
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.椭圆的左焦点为______．
12.函数f（x）=e x+1在点（-1，f（-1））处
的切线方程为______．
13.不等式（2-x）（x+3）（x2+1）≤0的解集
为______．
14.如图，已知平行四边形ABCD中，E，M
分别为DC的两个三等分点，F，N分别为BC的两个三等分点，=25，
=43，则=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
15.如图，气球A相对于BC
所在地平面的高度是h，前
方有一座桥梁，气球A带
有一个测角器，试用测角
仪器测得适当的角（用字
母表示），用测得的角度及h表示河流的宽度BC．
16.如图，在四棱锥P-ABCD中，
侧面PAB为等边三角形且垂直
于底面ABCD，
AB=BC=AD．∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若△PCD的面积为，求四棱锥P-ABCD的体积．
17.某班级50名学生的考试分数x分布在区
间[50，100]内，设分数x的分布频率是f（x），且
（1）求实数b的值；
（2）估算班级的考试平均分数；
（3）考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50，60）内的成绩记为1分，考试分数在[60，70）内的成绩记为2分，考试分数在[70，80）内的成绩记为3分，考试分数在[90，100）内的成绩记为5分．用分层抽样的方法，在50名学生中选取成绩
为1分，2分及3分中随机抽取6人，再从这6人中抽出2人，试分析这2人的成绩之和为4分的概率与成绩之和为3分或6分的概率哪个较大（将频率视为概率）？
18.已知圆F方程为x2+（y-2）2=1，顶点在
原点，焦点在y轴上的抛物线C过点P（1，1），
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在倾斜角为α的直线l，使得直线l与圆F交于C，D，与抛物线C相交于点A，B（从左到右依次排列为A，C，D，B），且|AC|=|DB|？若存在，求出tanα的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.已知函数f（x）=x lnx，．
（1）求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数．
20.已知直线C1（t为参数），
C2（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C 1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
21. 设函数 f（x）=|x-1|+|2x+4|． （1）画出 y=f（x）的图象； （2）求 f（x）≥2x+5 的解集．
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1.【答案】C 【解析】
答案和解析
解：∵ =
是纯虚数，
∴
，即 a=-6．
∴复数 的虚部为
，
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 a，则 虚部可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】B 【解析】
解：集合 M={0，2t}，N={
，0， }，
若 M∩N={0， }，则 2t=2 ，
解得 t= ，
又 log48= log22= ． 故选：B．
根据交集的定义得出关于 t 的方程，求出 t 的值，再化简 log48． 本题考查了交集的定义和对数的运算问题，是基础题．
3.【答案】B 【解析】
解：函数 f（x）= sinx+cosx=2sin（x+ ），y=sinx∈[-1，1]，
2sin（x+ ）∈[-2，2]．
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函数的最大值为：2．
故选：B．
直接利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用正弦函数的值域求 解即可． 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，基本知识的考
查．
4.【答案】C 【解析】
解：根据如图所示的程序语言知，
该程序语言执行的是函数 y=
，
即 y=|x|的功能．
故选：C．
分析如图所示的程序语言知该程序执行的是分段函数，即绝对值函数．
本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．
5.【答案】C 【解析】
解：作出实数 x，y 满足
如图阴
影部分的可行域，
由得 A（ ， ），
当目标函数
平移到点 A 时，
直线 z= x-y 在 y 轴上的截距最大，即 z 取
最小值，
即 z= x-y 的最小值为- ．
故选：C．
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先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数
z=x-y，不难求出目标函数 z=x-y 的最小值．
本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线
性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．
6.【答案】A 【解析】
解：∵
，
，∴bn=2n．
则 S5=2+22+……+25=
=26-2=62．
故选：A．
由
，
，可得 bn=2n．利用等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】B 【解析】
解： 双曲线 Γ：
（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线 3x-2y+1=0 互相
垂直，
×（- ）=-1，得到 = ．
双曲线 Γ 的离心率 e= ．
故选：B．
由双曲线 Γ：
（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线 3x-2y+1=0 互相垂
直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．
熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计
算公式是解题的关键．
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8.【答案】A 【解析】
解：由于 f（x）=-cosx•lg|x|， ∴f（-x）=-cos（-x）•lg|-x|=-cosx•lg|x|=f（x）， 故函数 f（x）是偶函数，排除 B，D； 又当 x→0 时，lg|x|→-∞，cosx→1， ∴f（x）→+∞，故排除 C， 故选：A．
根据函数的奇偶性排除 BD，再根据 x 的变化趋势排除 C．
本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合
的思维能力，属于中档题．
9.【答案】D 【解析】
解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：
其中 SA⊥平面 ABCD，SA=3，底面 ABCD 为矩形，AD=4，AB=2，
∴几何体的表面积为 4×2+
=22+2
故选：D．
几何体为四棱锥，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，
把数据代入棱锥的体积公式计算．
本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及
数据所对应的几何量是解题的关键．
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10.【答案】C 【解析】
解：命题 p 是假命题，由函数的零点存在性定理，函数 f（x）是连续不断的函数
时，且 f（a）•f（b）＜0，在区间（a，b）内存在零点，但是反之不成立．命题 q 是
假命题，因为如果 g（x）在 x=x0 处取得极值，则 g'（x0）=0，同样，反之不成立， 要想取极值，必须在 x=x0 处两侧导数值异号才可以． A 选项，p∨q 为真，必须 p，q 中最少有一个是真命题才可以，不符合题意．
B 选项，p∧q 为真，必须 p，q 两个都是真命题才可以，不符合题意．
C 选项，p∨（￢q）为真，必须 p，￢q 中最少有一个是真命题才可以，符合题 意． D 选项，（￢p）∧q 为真，必须￢p，q 中都是真命题才可以，不符合题意．
故选：C．
p：函数零点存在性定理的辨析，定理反之不成立，故 p 是假命题．q：是函数
极值存在问题，有极值与导数值为 0 之间不是充要条件，故 q 是假命题．
本题考查了简易逻辑的有关判定、函数零点问题、函数极值问题，考查了推
理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】B 【解析】
解：函数 f（x）=sinx-x，当 x＞0 时，f′（x）=cosx-1≤0，函数 f（x）=sinx-x，在 x＞0
上是减函数，使得
成立，
可得
，解得 x＜-1．
则使得
成立的 x 的取值范围是（-∞，-1）．
故选：B．
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求出函数的导数，判断函数的单调性，然后转化求解不等式即可．
本题主要考察函数的单调性，并根据单调性判断函数的取值，属于中档题．
12.【答案】D 【解析】
解：根据身高预报体重的回归方程为 =0.849x-85.712，R2（相关系数的平方） ≈0.64； 对于①，身高 x 每增加 1 个单位，体重 y 就大约增加 0.849 个单位，正确；
对于②，R2 越接近于 1，表示回归的拟合效果越好，正确；
对于③，由 R2≈0.64 知，女学生的体重差异有 64%是由身高引起的，正确；
对于④，由 R2 的意义知，女学生的身高解释了 64%的体重变化，正确；
综上，正确的命题序号是①②③④．
故选：D．
根据身高预报体重的回归方程和 R2（即相关系数的平方），
对题目中的命题判断正误即可．
本题考查了线性回归方程与 R2（相关系数的平方）的定义和应用问题，是基
础题．
13.【答案】（【解析】
，0）
解：椭圆
，可得 a=3，b=2，则 c= ，
所以椭圆
的左焦点为（- ，0）．
故答案为：（- ，0）．
直接利用椭圆的方程，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
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14.【答案】y=x+2 【解析】
解：根据题意，函数 f（x）=ex+1，则 f（-1）=e-1+1=e0=1，
其导数 f′（x）=ex+1，则 f′（-1）=e-1+1=e0=1，则切线的斜率 k=1，
故函数 f（x）=ex+1 在点（-1，f（-1））处的切线方程为 y-1=（x+1），即 y=x+2；
故答案为：y=x+2．
根据题意，由函数的解析式计算可得 f（-1）的值，计算其导数，求出 f′（-1）的
值，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得 答案． 本题考查利用导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．
15.【答案】{x|x≤-3 或 x≥2} 【解析】
解：根据题意，x2+1＞0，则（2-x）（x+3）（x2+1）≤0⇒（2-x）（x+3）≤0⇒（x-2）（x+3）
≥0， 解可得 x≤-3 或 x≥2，
即不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}
故答案为：{x|x≤-3 或 x≥2}．
根据题意，原不等式可以变形为（x-2）（x+3）≥0，由一元二次不等式的解法计 算可得答案． 本题考查其他不等式的解法，关键是将（2-x）（x+3）（x2+1）≤0 变形．
16.【答案】90 【解析】
解：∵平行四边形 ABCD 中，E，M 分别为 DC
的两个三等分点，
F，N 分别为 BC 的两个三等分点，
=25，
=43，
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∴
，
∴
，
解得| |2+| |2=45，
=（
）2=| |2+| |2+2| |•| |cos∠BAD，
| |2=（
）
2=| |2+| |2+2| |•| |cos∠ABC=| |2+| |2-2| |•| |cos∠BA
D，
∴
=2（| |2+| |2）=90．
故答案为：90．
由
=25，
=43，列出方程组
，求出| |2+| |2=45，再由
=| |2+| |2+2| |•| |cos∠BAD，
| |2=| |2+| |2-2| |•| |cos∠BAD，得到
=2
（| |2+| |2），由此能求出结果．
本题考查平行四边形的对角线的平方和的求法，考查向量加法定理等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
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17.【答案】解：如图所示，
Rt△ABM 中，AM=h，测角器测得∠BAM=α， 则 BM=AMtanα=htanα， Rt△ACM 中，AM=h，测角器测得∠CAM=β， 则 CM=AMtanβ=htanβ， ∴河流的宽度为 BC=CM-BM=htanβ-htanα=h（tanβ-tanα）． 【解析】
根据图形，利用直角三角形的边角关系，即可求出 BC 的值． 本题考查了直角三角形中边角关系的应用问题，是基础题．
18【. 答案】证明：（1） 取 AB 中点 O，连结 PO， ∵在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAB 为等边 三角形且垂直于底 面 ABCD， ∴PO⊥AB，∴PO⊥平面 ABCD， ∵BC⊂平面 ABCD，∴PO⊥BC，
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∵∠BAD=∠ABC=90°．∴AB⊥BC，
∵AB∩PO=O，∴BC⊥平面PAB，
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．
解：（2）以O为原点，OA为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=BC=AD=2a，则D（a，4a，0），C（-a，
2a，0），P（0，0，a），
=（-a，2a，-），=（a，4a，-），cos＜＞===，
∴sin＜＞==，
∵△PCD的面积为，
∴S △PCD==，
解得a=1，
∴S 梯形ABCD===6，
PO=，
∴四棱锥P-ABCD的体积
V P-ABCD===3．【解析】
（1）取AB中点O，连结PO，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BC，再求出
AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明PA⊥BC．
（2）以O为原点，OA为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥P-ABCD的体积．
本题考查线线垂直的证明，考查满四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.【答案】解：（1）依题意频率分布表如下：
分数[50，
60）
[60.70）[70.80）
[80，
90）
[90，
100）
成绩12 3 45
频率 0.1 0.2 0.3b-1.6b-1.8
∵f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=1，∴b=1.9 （2）班级的平均成绩
=55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76（分）
（3）由题意知：
考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，
考试成绩记为1分、2分、3分的分别可以抽出1人，（记为A），2人（记为B，C），3人（记为D、E、F），
再从这面人中抽出2人，基本事件为：
AB，AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、
CD、CE、CF、DE、EF，共15个，
成绩之和为4的有：AD、AE、AF、BC，共4个，
∴这2人的成绩之和为4分的概率p 1=．
成绩之和为3的有：AB，AC，共2个，
∴2人的成绩之和为3分的概率p 2=．
成绩之和为6的有：DE，DF，EF，共3个，∴2人的成绩之和为6分的概率p 3==．
∴这2人的成绩之和为4分的概率较大．
【解析】
（1）考试分数x的分布频率是f（x），列出方程，能求出b的值．
（2）利用考试分数x的分布频率是f（x），能求出班级的考试平均分数．
（3）考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，考试成绩记为1分、2分、3分的分别可以抽出1人，（记为A），2人（记为B，C），3人（记为D、E、F），再从这面人中抽出2人，利用列举法能求出这2人的成绩之和为4分的概率较大．
本题考查实数值、平均数、概率的求法及应用，涉及到分布频率、概率、平均值、概率等基础知识，考查函数与方程思想、集合思想，是中档题．
20.【答案】解：（1）顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线C过点P（1，1），
可设抛物线的方程为x2=2py，
即有1=2p，可得抛物线的方程为x2=y；
（2）假设存在倾斜角为α的直线l，使得直线l与圆F交于C，D，
与抛物线C相交于点A，B，且|AC|=|DB|，
设直线l的方程为y=kx+t，
圆F方程为x2+（y-2）2=1的圆心为（0，2），半径为1，
由圆和直线相交可得＜1，
可得2-＜t＜2+，①
设AB的中点为H，由|AC|=|DB|，
可得H也为CD的中点，即FH⊥l，
联立直线l和抛物线x2=y，可得x2-kx-t=0，
则△=k2+4t＞0，②
x 1+x2=k，中点H的坐标为（，t+），
由FH⊥l，可得-•=t+-2，
解得t=-，
代入②可得k2＜6，
代入①可得k2＜3，
即为-＜k＜，
则存在这样的直线l，且tanα∈（-，），满足题意．
【解析】
（1）由题意设抛物线的方程为x2=2py，代入（1，1）可得p，进而得到所求抛物
线的方程；
（2）假设存在倾斜角为α的直线l，使得直线l与圆F交于C，D，与抛物线C
相交于点A，B，且|AC|=|DB|，
设直线l的方程为y=kx+t，可得AB的中点H即为CD的中点，运用联立直线方程和抛物线的方程，由判别式大于0和中点坐标公式，求得H的坐标，由F 到直线的距离小于半径，和FH⊥l，运用斜率之积为-1，求得t，解不等式可得k的范围，即为所求．
本题考查抛物线的方程的求法和运用，考查直线和圆的位置关系、直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：（1）
∵f（x）=x lnx，x
＞0，
∴f′（x）=1+ln x，
令f′（x）=0，
解得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调
递增，
∴当x=时，函数有极小值，即f（）=-，无极大值，
f（x）在（0，）上为减函数，
在（，+∞）为增函数，
（2）由（1）可得f（x）min=-，
∵g（x）=-，
∴g′（x）=-，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当1＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）max=g（1）=-=-，
∴f（x）min≥g（x）max，且＜1
∴y=f（x）与y=g（x）无交点，
∴函数h（x）=f（x）-g（x）没有零点．【解析】
（1）先求导，再根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出；
（2）由（1）可得f（x）min=-，对g（x）求导，求出函数g（x）的最大值，即可判断函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数的个数．
本题考查了导数和函数的单调性和极值最值的关系，以及函数零点的个数，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，
解得C 1与C2的交点为（1，0）．
（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα-y cosα-sinα=0①．则OA的方程为x c osα+y sinα=0②，
联立①②可得x=sin2α，y=-cosαsinα；
A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：
，
P点轨迹的普通方程．
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【解析】
（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数
方程研究轨迹问题的能力．
23.【答案】解：（1）f（x）
=|x-1|+|2x+4|=，
其图象见下图．
（2）x≤-2，不等式可化为-3x-3≥2x+5，∴x，
∴x≤-2；
-2＜x＜1，不等式可化为x+5≥2x+5，∴x≤0，∴-2＜x≤0；
x≥1，不等式可化为3x+3≥2x+5，∴x≥2，∴x≥2；综上所述，不等式的解集为{x|x≥2或x≤0}．【解析】
（1）去掉绝对值，写成分段函数形式，作出函数的图象．
（2）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（x）≥2x+5．
本题考查了绝对值函数的应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．。