人教版高中数学高一A版必修4 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

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疏导引导 1.周期性
(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x 值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. (2)正弦函数的周期
从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2kπ(k ∈Z 且k≠0)是它的周期,最小正周期是2π.
正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx(k ∈Z )得到.由sin(x+2kπ)=sinx(k ∈Z )可知当自变量x 的值每增加或减少2π的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2kπ(k ∈Z ),最小正周期为2π.
类似地,可以探索余弦函数的周期为2kπ,最小正周期为2π. 2.奇偶性
(1)正弦函数y=sinx(x ∈R )是奇函数,
①由诱导公式 sin(-x)=-sinx 可知上述结论成立. ②反映在图象上,正弦曲线关于原点O 对称.
③正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(kπ,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=kπ+
2
π
,k ∈Z . (2)余弦函数的奇偶性与对称性
①奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y 轴对称. ②对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(kπ+2
π
,0)(k ∈Z );余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=kπ(k ∈Z ). 3.单调性
(1)正弦函数的单调性
在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当x 由-2π增加到2
π
时,sinx 由-1增加到1;当x 由
2
π
增大到23π时,sinx 由1减小到-1,情况如下表:
x -2π 0 2
π π 2
3π
sinx
-1
1
-1
由正弦函数的周期性可知:
正弦函数y=sinx 在每一个闭区间［-2π+2kπ, 2
π
+2k π］(k ∈Z)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间［
2
π
+2kπ, 23π+2kπ］(k ∈Z )上,都从1减小到-1,是减函数.
(2)余弦函数的单调性
通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k ∈Z )上都是减函数,
它的值由1减小到-1;在每一个闭区间［(2k+1)π,2(k+1)π］(k ∈Z )上都是增函数,它的值由-1增大到1.
4.最值
从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值域都为［-1,1］.对正弦函数来说,当x=2kπ+
2π (k ∈Z )时,取得最大值1;当x=2kπ-2
π
(k ∈Z )时,取得最小值-1. 对余弦函数来说,当x=2kπ(k ∈Z )时,取得最大值1;当x=2kπ+π(k ∈Z )时,取得最小值-1.
活学巧用
1.求下列函数的周期:
(1)y=sin
21x;(2)y=2sin(3x -6
π). 解析:(1)如果令m=21x,则sin 2
1
x=sinm 是周期函数且周期为2π.
∴sin(21x+2π)=sin 21x,
即sin ［21 (x+4π)］=sin 21
x.
∴y=sin 2
1
x 的周期是4π.
(2)∵2sin(3x -6π+2π)=2sin(3x -6π
),
即2sin ［31(x+6π)-6π
］=2sin(3x -6π),
∴2sin(3x -6
π
)的周期是6π.
答案:(1)4π;(2)6π.
2.若函数f(x)是奇函数,当x ＞0时,f(x)=x 2-sinx,当x ＜0时,求f(x)的解析式. 解析:设x ＜0,则-x ＞0. ∵x ＞0时,f(x)=x 2-sinx, ∴f(-x)=x 2-sin(-x)=x 2+sinx. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=x 2+sinx. ∴f(x)=-x 2-sinx.
答案:f(x)=-x 2-sinx(x ＜0).
3.写出函数y=sin(2x+
4
π
)图象的对称轴方程及对称中心坐标. 解析:令2x+4π=kπ+2
π
(k ∈Z )得x=2πk +8π(k ∈Z ),
令2x+4
π
=kπ(k ∈Z )得x=2πk -8π (k ∈Z ).
∴函数y=sin(2x+4π
)图象的对称轴方程为x=2πk +8
π (k ∈Z ),对称中心坐标为
(2πk -8
π,0)(k ∈Z ).
答案:对称轴方程x=2πk +8π (k ∈Z ),对称中心(2πk -8
π,0)(k ∈Z ). 4.求y=cos(
4
π
-x)的单调递增区间. 解析:函数y=cos(4π-x)=cos(x-4π),∴y=cos(4π-x)的单调递增区间就是y=cos(x-4
π
)的单调递
增区间,由下式确定:2kπ-π≤x -4
π
≤2kπ,k ∈Z .
∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π,k ∈Z ,即函数y=cos(4π-x)的单调递增区间是［2kπ-43π,2kπ+4
π］,k ∈Z . 5.若sinx=a-1有意义,则a 的取值范围是____________________.
解析:∵|sinx|≤1,∴|a-1|≤1.∴-1≤a -1≤1.∴0≤a≤2. 答案:0≤a≤2
6.y=4cos2x,x ∈R 有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x 的集合.
解析:函数y=4cos2x 取最大值的集合为{x|2x=2kπ,k ∈Z },即{x|x=kπ,k ∈Z }. 同理,函数y=4cos2x 取最小值的集合为{x|x=kπ+2
π
,k ∈Z }.。