2016-2017年河北省沧州一中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年河北省沧州一中高二（下）3月月考数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数z＝3i（i+1）的实部与虚部分别为（）
A．3，3B．﹣3，﹣3i C．﹣3，3D．﹣3，3i
2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
3．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．是正确的
4．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
5．（5分）在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）
A．25x2+36y2＝1B．50x2+72y2＝1
C．10x2+24y2＝1D．
6．（5分）复数z满足z（1+i）＝4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为
（）
A．2B．C．4D．
7．（5分）将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到的曲线方程为（）
A．B．y＝2sin（3x+π）
C．D．
8．（5分）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）
A．由a n＝2n﹣1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2
B．由f（x）＝x cos x满足f（﹣x）＝﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断：f（x）＝x cos x为奇函数
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＝1的面积S＝πab
D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断：对一切n∈N*，（n+1）2＞2n
9．（5分）在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2cos（θ+），则圆心C的极坐标为（）A．B．C．D．
10．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
由表中数据得到线性回归方程＝﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度
11．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲
看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上没有的数字是（）
A．不确定B．3C．2D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．（5分）复数（其中i为虚数单位）的模等于．
14．（5分）在极坐标系中，已知，则A，B两点之间的距离|AB|＝．
15．（5分）把圆x2+y2＝16变成椭圆的伸缩变换为．
16．（5分）凸边形的性质：如果函数f（x）在区间D上的是凸变形，则对于区间D内的任意n个自变量x1，x2，…，x n，有，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，已知函数y＝sin x上是凸函数，
则在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（1）计算：（其中i为虚数单位）；
（2）若复数Z＝（2m2+m﹣1）+（4m2﹣8m+3）i，（m∈R）的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值集合．
18．（12分）用分析法证明：（其中）
19．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣4，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣5，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为，C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
21．（12分）2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[15，25），[25，35），[35，45），[55，65），[65，75]．把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为9：11．
（1）求图中a、b的值根；
（2）若“青少年人”中有15人关注两会，根据已知条件完成下面的2×2列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
附：参考公式和临界值表：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
22．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，求实数m的取值范围．
2016-2017学年河北省沧州一中高二（下）3月月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数z＝3i（i+1）的实部与虚部分别为（）
A．3，3B．﹣3，﹣3i C．﹣3，3D．﹣3，3i
【解答】解：z＝3i（i+1）＝﹣3+3i，
则复数z＝3i（i+1）的实部与虚部分别为：﹣3，3．
故选：C．
2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，
故选：B．
3．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．是正确的
【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．
故选：A．
4．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为＝0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加
0.85kg，故正确；
对于D，x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79，但这是预测值，不可断定其体重为
58.79kg，故不正确
故选：D．
5．（5分）在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）
A．25x2+36y2＝1B．50x2+72y2＝1
C．10x2+24y2＝1D．
【解答】解：把代入曲线2x′2+8y′2＝1，可得2（5x）2+8（3y）2＝1，化为50x2+72y2＝1，即为曲线C的方程．
故选：B．
6．（5分）复数z满足z（1+i）＝4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）
A．2B．C．4D．
【解答】解：z（1+i）＝4，∴z（1+i）（1﹣i）＝4（1﹣i），∴z＝2﹣2i，
则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离＝＝．故选：B．
7．（5分）将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到的曲线方程为（）
A．B．y＝2sin（3x+π）
C．D．
【解答】解：正弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到：y＝2sin（x+）．
故选：C．
8．（5分）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）
A．由a n＝2n﹣1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2
B．由f（x）＝x cos x满足f（﹣x）＝﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断：f（x）＝x cos x为奇函数
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＝1的面积S＝πab
D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2＞23，…，推断：对一切n∈N*，（n+1）2＞2n
【解答】解：对于A，由a n＝2n﹣1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故正确；对于B，属于演绎推理中的三段论，故不正确；
对于C，是由圆类比椭圆，由圆的面积类比椭圆的面积，故属于类比推理，故不正确；
对于D，属于归纳推理，n＝6时，结论不正确，故不正确
故选：A．
9．（5分）在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2cos（θ+），则圆心C的极坐标为（）A．B．C．D．
【解答】解：圆C的方程为ρ＝2cos（θ+），即ρ2＝2ρcos（θ+），
展开为：ρ2＝2×（ρcosθ﹣ρsinθ），
∴直角坐标方程为：x2+y2＝﹣y．
配方为：＝1，
圆心为C．
∴＝1，tanθ＝﹣1，θ∈，解得．
∴C的极坐标为：．
故选：A．
10．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
由表中数据得到线性回归方程＝﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度
【解答】解：由表格得＝＝10，＝40．
∴（，）为：（10，40），
又（，）在回归方程＝bx+a中的b＝﹣2，
∴40＝10×（﹣2）+a，
解得：a＝60，
∴＝﹣2x+60，
当x＝﹣4时，＝﹣2×（﹣4）+60＝68．
故选：A．
11．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
则2a+2c＝2×2b，
即a+c＝2b⇒（a+c）2＝4b2＝4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2＝2ac，同除a2，
整理得5e2+2e﹣3＝0，∴或e＝﹣1（舍去），
故选：B．
12．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲
看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上没有的数字是（）
A．不确定B．3C．2D．1
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13．（5分）复数（其中i为虚数单位）的模等于．
【解答】解：＝，
则复数（其中i为虚数单位）的模等于：．
故答案为：．
14．（5分）在极坐标系中，已知，则A，B两点之间的距离|AB|＝2．
【解答】解：根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，点A（2，），B（4，）的直角坐标为：A （，1），B（﹣2，2），
∴|AB|＝＝2，
故答案为：2．
15．（5分）把圆x2+y2＝16变成椭圆的伸缩变换为．
【解答】解：由椭圆变形为：16（x′）2+（y′）2＝16，即（4x′）2+（y′）2＝16．
因此对于圆x2+y2＝16的方程，令，
即为把圆x2+y2＝16变成椭圆的伸缩变换．
故答案为：．
16．（5分）凸边形的性质：如果函数f（x）在区间D上的是凸变形，则对于区间D内的任意n个自变量x1，x2，…，x n，有，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，已知函数y＝sin x上是凸函数，
则在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为．
【解答】解：∵f（x）＝sin x在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），
∴≤sin＝，∴sin A+sin B+sin C≤，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立，
∴△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（1）计算：（其中i为虚数单位）；
（2）若复数Z＝（2m2+m﹣1）+（4m2﹣8m+3）i，（m∈R）的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值集合．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）复数Z＝（2m2+m﹣1）+（4m2﹣8m+3）i，的共轭复数（2m2+m﹣1）﹣（4m2﹣8m+3）i，
由复数对应的点在第一象限，得：
，解得＜m＜．
∴实数m的取值集合为{m|}．
18．（12分）用分析法证明：（其中）
【解答】证明：要证（其中），
只需证+＜+，
只需证（+）2＜（+）2，
即证4a﹣3+2＜4a﹣3+2，
即证＜，
即证4a2﹣6a＜4a2﹣6a+2，
即证0＜2
上式显然成立，
故原不等式成立
19．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣4，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x+2y+7＝0相切，
∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20．
（2）当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x＝﹣4，
此时，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，
设MN的中点为Q，则AQ⊥MN，
∴，又，，
∴，又，∴，
则直线l的方程为：，即5x+12y+20＝0，
综上可知直线l的方程为：x＝﹣4或5x+12y+20＝0．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣5，圆，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为，C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
【解答】解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，则C1的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，
C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0；…5分
（2）方法一：将，代入ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0，得ρ2﹣3ρ+4＝0，解得：ρ1＝2，ρ2＝，
故ρ1﹣ρ2＝，即丨MN丨＝，由于C2的半径为1，则C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为S＝•丨C2M丨•丨C2N丨＝•1•1＝．
∴△C2MN的面积为．
方法二：直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），可得直线方程为：y＝x．
圆心C2（2，1）到直线的距离d＝＝，
∴|MN|＝2＝2＝．
∴△C2MN的面积S＝•d•丨MN丨＝××＝，
∴△C2MN的面积为．
21．（12分）2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3
月3日在北京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[15，25），[25，35），[35，45），[55，65），[65，75]．把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为9：11．
（1）求图中a、b的值根；
（2）若“青少年人”中有15人关注两会，根据已知条件完成下面的2×2列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
附：参考公式和临界值表：
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）依频率分布直方图可知：，解得
．
（2）依题意可知，“青少年人”共有100（0.015+0.030）＝45人，
“中老年人”共有100﹣45＝55人，
完成2×2列联表如下：
结合列联表的数据得＝，∵P（K2≥6.635）＝0.01，9.091＞6.635，
∴有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会．
22．（12分）已知椭圆的短轴长为2，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y＝x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知：2b＝2，则b＝1，e＝＝＝，解得：a＝2，
∴椭圆的标准方程：；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：5x2+8mx+4m2﹣4＝0，
由△＝64m2﹣4×5（4m2﹣4）＞0，解得：﹣＜m＜，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2＝，
由于∠AOB为锐角，则0＜∠AOB＜，
则ocs∠AOB＞0，即x1x2+y1y2＞0，
∴+＞0，解得：m＞或m＜﹣，
综上可知：﹣＜m＜﹣或＜m＜，
故实数m的取值范围（﹣，﹣）∪（，）．。