高三数学一轮复习课时作业(19)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单

课时作业(十九)B
[第19讲 三角函数y ＝A ωx ＋φ的图像
与性质及三角函数模型的简单应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫|φ|<π2的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的
最小正周期T 和初相φ分别为( )
A ．T ＝6，φ＝π6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
2．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移π
4
个单位长度，所得到的图像解析式是( )
A ．f (x )＝sin x
B ．f (x )＝cos x
C ．f (x )＝sin4x
D ．f (x )＝cos4x
3．[2011·郑州三模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K19－3所示，则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 C ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
D ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．有一种波，其波形为函数y ＝sin πx
2
的图像，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波
峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．
能力提升
5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2，则下列结论中正确的是( )
A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2
B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1
C ．将f (x )的图像向左平移π
2个单位后得到g (x )的图像
D ．将f (x )的图像向右平移π
2
个单位后得到g (x )的图像
6．将函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位得函数g (x )的图像，再将g (x )的图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到h (x )的图像，则g (x )与h (x )的解析式分别为( )
A ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，h (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6 B ．g (x )＝sin2x ，h (x )＝sin x
C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，h (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π12 D ．g (x )＝sin2x ，h (x )＝sin4x
7．[2011·沈阳二模] 设函数f (x )＝2cos π2x －π
3
，若对于任意的x ∈R ，都有
f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )
A ．4
B ．2
C ．1 D.1
2
8．如图K19－4，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的
函数关系式为s ＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2π s B ．π s C ．0.5 s D ．1 s
9．[2011·宁波二模] 设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图
像如图K19－5所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫16的值为( )
A ．－
34 B ．－14 C ．－12 D.34
10．如图K19－6所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋BA >0，ω>0，|φ|∈0，π
2
图像
的一部分，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝________.
11．某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫其中A >0，0<ω<2，－π2<φ<π2的图像，列出的一组数据如下表：
y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．
12．[2010·福建卷] 已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．
13．[2011·德州一模] 若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；
(2)图像关于直线x ＝π3对称；(3)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上是增函数，则y ＝f (x )的解析式可以是________．
14．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的图像的一部分如图K19－7所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．
图K19－7
15．(13分)图K19－8是某简谐运动的一段图像，它的函数模型是f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π
2
.
(1)根据图像求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )
的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎥⎤π2，π上的最大值和最小值．
难点突破
16．(12分)图K19－9是某简谐运动的一段图像，其函数模型是f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π
2
.
(1)根据图像求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，实数α满足0<α<π，且⎠
⎛
πg(x)d x ＝3，求α的值．
课时作业(十九)B
【基础热身】
1．A [解析] ∵图像过点(0,1)，∴2sin φ＝1，即sin φ＝1
2
，
∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π
π
3
＝6，故选A.
2．A [解析] 将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；再向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin x 的
图像．
3．B [解析] 显然A ＝1，2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，所以ω＝2，令2×π6＋φ＝π2，得
φ＝π
6
，故选B.
4．5 [解析] ∵函数y ＝sin πx 2的周期T ＝4，y ＝sin πx
2
的图像在[0，t ]上至少有2
个波峰，
∴t ≥5
4
T ＝5，故正整数t 的最小值是5.
【能力提升】
5．D [解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ，f (x )g (x )＝cos x sin x ＝1
2
sin2x ，故选项A 、B
中的结论都不正确；
把f (x )＝cos x 的图像左移π2个单位后，得到的是函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x 的图像；
把f (x )＝cos x 的图像右移π2个单位后，得到的是函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 的图像，
即g (x )的图像．
6．B [解析] 将函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin2x 的图像，即g (x )＝sin2x ，
再将g (x )的图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得y ＝sin x 的图像，即h (x )＝sin x ，故选B.
7．B [解析] 由已知函数解析式，得周期T ＝2π
π2
＝4；
因为对于任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则f (x 1)、f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值，
故|x 1－x 2|的最小值为1
2T ＝2.
8．D [解析] T ＝2π
2π
＝1.
9．D [解析] 由KL ＝1，得周期T ＝2，则ω＝2π
T
＝π；
由△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，
得A ＝12|KL |＝12
；
由f (x )是偶函数，得φ＝π2，即f (x )＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝12
sin 2π
3＝34.
10．3 [解析] 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1.
由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得φ＝π6.
由图像知ω(－π)＋φ＝2k π－π
2
，
得ω＝－2k ＋2
3
(k ∈Z )．
又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23
. ∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x ＋π6＋1.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×π2＋π6＋1＝3. 11．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3
x ＋π6 [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数
图像的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图像上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，
∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6
，
∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得， 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π
6
＋2k π，k ∈Z ，
∵0<ω<2，∴ω＝π
3
，
∴函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3
x ＋π6.
12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [解析] 由题意知，ω＝2，因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由三角函数图像知：f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3. 13．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6(答案不唯一) [解析] 选择f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由函数的最小正周期为π，得ω＝2；
由图像关于直线x ＝π3对称，得2π3＋φ＝π
2
＋k π，k ∈Z ，
取k ＝0，得φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，满足在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上是增函数． ⎝ ⎛⎭
⎪⎫说明本题的答案不唯一，y ＝f x 的解析式也可以是f x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π等. 14．[解答] (1)由图像知A ＝2，T 4＝2⇒T ＝8＝2π
ω
，
∴ω＝π4，得函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋φ. 由对应点得当x ＝1时，π4×1＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π
4
.
∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
x ＋π4；
(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
x ＋＋π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4x ＋π4
＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4x ＋π2＝22cos π4x ，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴π4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π
2
，－π6，
∴当π4x ＝－π6，即x ＝－2
3时，y 取最大值6；
当π
4
x ＝－π，即x ＝－4时，y 取最小值－2 2. 15．[解答] (1)由函数图像及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)知A ＝2； 由2πω＝T ＝13π3－π3＝4π，得ω＝12
，
由最高点⎝ ⎛⎭
⎪⎫43π，2得，12×4π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π
2，
∴φ＝－π
6
.
∴所求函数解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6(x ≥0)．
(2)解法一：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不
变，得到y ＝g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，
∵π2≤x ≤π，∴π3≤x －π6≤5π6， 当x －π6＝π2，即x ＝2π
3时，g (x )有最大值2；
当x －π6＝5π
6
，即x ＝π时，g (x )有最小值1.
解法二：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到y ＝g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，
令t ＝x －π6，∵函数y ＝2sin t 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π
3
＋2k π，k ∈Z ，
设A ＝π2，π，B ＝x ⎪⎪⎪
－π
3
＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z
，则，
A ∩
B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π
2，
2π3， ∴函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2
，2π3上单调递增，
同理可得，函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π上单调递减． 又∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝2，g (π)＝1， ∴函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π上的最大值为2，最小值为1. 【难点突破】
16．[解答] (1)由函数图像及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，知A ＝2； 由12T ＝7π6－π
6
＝π，得T ＝2π， ∴ω＝2π
T
＝1，即f (x )＝2sin(x ＋φ)，
把(0，－1)代入上式，得sin φ＝－1
2
，
∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6
，
∴所求函数y ＝f (x )的解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6.
(2)由(1)知g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin x ，
∵⎠⎛απg(x)d x ＝3， ∴⎠⎛α
π2sin x d x ＝－2cos x | π
α＝－2cos π－(－2cos α)＝3，
解得cos α＝1
2
，
又实数α满足0<α<π，则所求α的值为π
3
.。