数学物理方法偏微分方程分类矩阵

偏微分方程分类
一 判断根的符号,
若根的表达式为
22()4A B
A a c
B a c b λ±=±=+=-+
要求判断两根(A+B),(A-B)是否同号.
设A>0, B>0, 显然A+B>0, 下面考虑（A-B ）的符号。

由于A>0，B>0，取
222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-
则Δ>0时，(A-B)>0,两个根符号相同，当Δ=0时，A=B,有零根，当Δ<0时，A<B,两个根符号相反. 当A<0时,结论也相同.
二 对称矩阵
定义：若矩阵P 满足：PP T =E ，称P 为正交矩阵。

定理：对称矩阵H=P ΛP T , Λ为特征根阵，P 为特征向量阵。

例:求Λ和P,2222a b H b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
解，先求特根
22220||2()4422a b
H E a c b ac b c λλλλλ
-=-==-+-+-
22()4A B
A a c
B a c b λ±=±=+=-+
再求特征向量,由
112()0
022a c B b A E p p b c λ+--⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
得单位化的特向:1211()122p B c a B c a b b
⎛⎫
⎪=+- ⎪+- ⎪+⎝⎭
类似得到根 (A-B)对应的特向:22
11()122p B c a B c a b b
⎛⎫
⎪
=-+- ⎪-+- ⎪+⎝⎭
所以有 120(,)0P p p λλ+-⎛⎫Λ==
⎪⎝⎭
例:若:4224H ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
则有a=2,b=1,c=2, 求得A=4，B=2，根为2,6.有B+c-a=B=2, -B+c-a=-2, 所以
有
6011104112P ⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
三 二次型
2222(,)242(,)22T
a b x F x y ax bxy y x y X HX b c y ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
式中 2222a b x H X b c y ⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
由于H=P ΛP T ，则有 12(,)T T T T
F x y X HX X P P X Y Y y y λλ+-==Λ=Λ=+
上式称为标准二次型:22()4A B
A a c
B a c b λ±=±=+=-+
222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-
则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，当Δ=0时，两个根一样，称F 为抛物型，为重根，当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型，且 T Y P X =
例:化为标准二次型
221242(,)444'6224F x y x xy y X X y y ⎛⎫
=++==+ ⎪⎝⎭
11111122T x x y Y P X y x y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
四 二阶偏微分
定理：若
1
1
[][]2
2
x y ζηζη=
+=
- 则有
11[][]22u u u u u u
x y x y
ζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 证：由导数，有
1[]2u x u y u u u
x y x y ζζζ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1][]2u x u y u u u x y x y
ηηη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 反之，有下面定理： 定理：若
11[][]22u u u
u u u
x y
x y
ζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 存在关系式：
1
1
[][]2
2
x y ζηζη=
+=
-
若有
22222222
222242(,)22(,)T a b u u u x F a b c u
b c x y x y x y y u u x P P u x y y λλζη+-
∂⎛⎫
⎪⎛⎫∂∂∂∂∂∂ ⎪=++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂ ⎪
⎝⎭ ⎪∂⎝⎭
∂⎛⎫ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪=Λ=+∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭
式中
T x P y ζη∂⎛⎫∂⎛⎫ ⎪ ⎪
∂∂ ⎪ ⎪=∂∂ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭
22()4A B
A a c
B a c b λ±
=±=+=-+
222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-
则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，例如:2222u u
F x y
∂∂=+∂∂
当Δ=0时，有零根，称F 为抛物型，例如:22u u a x y ∂∂=∂∂ 当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型:2222u u
F x y ∂∂=-∂∂
例:将24u
F x y
∂=∂∂化为标准型
解由于a=0,b=1,c=0,有A=0,B=2,所以22222[]u u
F ζη∂∂=-∂∂
下面求变换关系,由于
0220H ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
有
1211111122p p ⎛⎫⎛⎫=
=
⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
2011102112P ⎛⎫⎛⎫
Λ==
⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭
所以有
111112T x x P y y ζη∂⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
∂⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪∂∂∂- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或
1[]2x y ζ∂∂∂=+∂∂∂ 1[]2x y
η∂∂∂=-∂∂∂ 得到关系式
1
1
[][]22x y ζηζη=
+=
- 1
1
[][]2
2
x y x y ζη=+=
- 当
20u
x y
∂=∂∂时,有解 ()()()()u f x g y f g ζηζη=+=++-
式中f,g 由初值条件和边界条件确定.
五.二阶偏微分方程--去掉u 项
二阶偏微分方程一般式为
111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f +++++=
用上面求特根和特向的方法可以化为（去掉xy 交叉偏导）
xx yy x y au bu pu qu cu f ++++=
取u=vg(x), 有 2222222u v g u v g v g
g v
g v x x x
x x x x x
∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂ 则
2222(2)()xx yy x y yy y v g v g v g
au bu pu qu cu a g v bgv p g v qgv cgv x x x x x x
∂∂∂∂∂∂++++=+++++++∂∂∂∂∂∂
2222(2)[]yy y v g v g g
ag bgv a pg qgv cg a p v x x x x x ∂∂∂∂∂=+++++++∂∂∂∂∂
22(2)yy y v g v ag bgv a pg qgv f x x x ∂∂∂=++++=∂∂∂
式中函数g 满足: 220g g
cg a p
x x
∂∂++=∂∂ 例:去掉u 项: 0xx yy u u u +-=
解,由于c=-1, a=1, p=0, 有 220g
g x
∂-=∂
取x g e =, 方程化为
22222020yy yy v v v v
g gv g v x x
x x
∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂ 上式不显含u 项.
六.二阶偏微分方程--去掉一阶偏导项
考虑偏微分方程 xx yy x y au bu pu qu f +++= 当a 非零时，取变换:()()xg x yF y ζη==
有
(')(')u u u u u u
g xg F yF x x y y ζηζζηη
∂∂∂∂∂∂∂∂==+==+∂∂∂∂∂∂∂∂ 22(')(')[(')]u u u u
g xg g xg g xg x x x x ζζζ
∂∂∂∂∂∂∂==+=++∂∂∂∂∂∂∂ 2
22
(')(2''')(')u u g xg g xg g xg ζζ∂∂=++++∂∂ 22
222
(')(2''')(')u u u F yF F yF F yF y ηη∂∂∂=++++∂∂∂ 则
22
22
22(')(')[(2''')]
(')(')[(2''']
xx yy x y u u au bu pu qu a g xg g xg a g xg p u u b F yF F yF b F yF q ζζ
ηη
∂∂+++=+++++∂∂∂∂++++++∂∂
222
222
(')(')u u a g xg b F yF ζη∂∂=+++∂∂ 式中g,F 为下面方程的解
(2''')0a g xg p ++= (2'''0b F yF q ++=
有特解
22px
qy g F a
b =-
=- 2
2
22px qy a
b
ζη=-
=-
所以 22222222
44xx yy x y p x u q y u
au bu pu qu f a b ζη∂∂+++=+=∂∂ 上面方程只含二阶导数项
例:将下面方程化为只含二阶导数项: 0xx yy x u u u ++=
解取 2
2x ζ=-, 有 222
04xx yy x yy x u u u u u ζ∂++=+=∂ 例:将下面方程化为只含二阶导数项 0xx yy u u u +-=
解,取x
u e v =, 有 2220yy v v
v x x
∂∂++=∂∂
上式不显含u 项.再取 2
x ζ=-, 有
22
222
20yy yy v v v v x v x x ζ∂∂∂++=+=∂∂∂ 七.二阶偏微分方程特征线法
考虑偏微分方程 11122220xx xy yy a u a u a u ++=
当a 非零时，取变换:(,)(,)x y x y ζζηη==
22211221222**2*0
u u u
a a a ζηζη∂∂∂++=∂∂∂∂ 式中：
2211112212*(
)()2a a a a x y x y ζζζζ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222112212*()[()2]y y
a a a a y x x
η∂∂∂=++∂∂∂ 1211
2212*()a a a a x x y y x y x y ζηζηζηηζ
∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ 或2211112212*(
)[()2]y y a a a a y x x
ζ∂∂∂=++∂∂∂ 2222112212*(
)[()2]y y a a a a y x x
η∂∂∂=++∂∂∂ 令
1122*0*0
a a ==
则有
221122120(
)20u y y a a a x x
ζη∂∂∂=++=∂∂∂∂ 例：把方程
2220xx xy yy x u xyu y u ++= 化为标准形式。

解：将2
211
2212a x a y a xy ===
代入
2112212()20
y y
a a a x x
∂∂++=∂∂
得
2222()2()0y y y
x xy y x y x x x ∂∂∂++=+=∂∂∂ 则0y
x y x ∂+=∂
它的解为：y=ξx 取变换 y x y
ξη=
= 有
1122*0*0a a ==
20u ζη∂=∂∂。