【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 浙江专用(理)第一篇 集合与常用逻辑用语 第3讲
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[ 审题视点 ] 本题主要考查全称命题与特称命题真假的判 断．
2x 2x
)．
解析 对于A选项：∀x∈R，sin 2 ＋cos 2 ＝1，故A为假 π 1 3 命题；对于B选项：存在x＝ ，sin x＝ ，cos x＝ ，sin 6 2 2 x＜cos x，故B为假命题；对于C选项：构造函数g(x)＝ex －1－x，g′(x)＝ex－1，当∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，则g(x)＞g(0)＝0，得ex＞ 1＋x在(0，＋∞)上恒成立，故C为真命题；对于D选项： x
綈p 假
真
假 假
假
真 假
假
假 假
真
真 假
假
真 真
2.全称量词与存在量样的词语，一般在指定
的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用 全称 符 号 “ ∀ ” 表 示 ， 含 有 全 称量 词 的 命题 ， 叫 做 _______ 命题 ．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用 ______ 符号简记为： ∀x∈M，p(x) ．
②短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表
示事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”
表示．含有存在量词的命题叫做 特称命题 ∃x0∈M，p(x0) ． ．特称命题 “存在M中的一个 x0 ，使p(x0) 成立”可以用符号简记为：
(2)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
由于 ∀ x∈R 都有 x2≥0 ，因而有 x2 ＋ 3≥3 ，所以命题
“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题； 由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N， x2≥1”是假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z， 使x5<1”为真命题； 由于使x2＝3成立的数只有± 3 ，而它们都不是有理数， 因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃ x∈Q，x2＝3”为假命题．
∃x0∈M，p(x0)
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
【助学·微博】 一个逆用
p∧q为真，可知p，q都为真．p∨q为真，可知p，q至少有
一个为真．p∨q为假，两个一定都假． 正确区分命题的否定与否命题 命题的否定与否命题不同，否命题是既否定命题的条件， 又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论，
所以p∧q是假命题，所以条件是必要的．
答案 B
5．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的 取值范围是________．
解析
“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R
有 x2 － mx － m≥0” 是 真 命 题 ． 即 Δ ＝ m2 ＋ 4m≤0 ， ∴ － 4≤m≤0. 答案 [－4,0]
[方法锦囊] 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，
需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据 “或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假 相对，做出判断即可．
【训练1】 已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成 的“ p∨q”，“ p∧q”，“ 綈 p”形式的命题中，真命题
第3讲 简单的逻辑联结词
【2014年高考浙江会这样考】
1 ．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用
“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容． 2 ．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数 学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考点梳理
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p 真 q 真 p∧q 真 p∨q 真
答案 C
4 ． 若 p ， q 是 两 个 简 单 命 题 ， 那 么 “ p∧q 是 假 命 题 ” 是 “p∨q是假命题”的 ( )．
A．充分不必要条件
C．充要条件 解析
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
若p∧q是假命题，则p，q可能都是假命题，也可能
一真一假，所以p∨q可能是假命题，也可能是真命题，故 条件不是充分的；若p∨q是假命题，则p，q都是假命题，
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 解析 按命题否定格式的要求：“存在”改成“任意”， 对x>1否定，变成x≤1，书写即可．故选C.
答案 C
3．下列四个命题中，其中为真命题的是 A．∀x∈R，x2＋3<0 B．∀x∈N，x2≥1
(
)．
C．∃x∈Z，使x5<1
解析
D．∃x∈Q，x2＝3
而不否定条件．
考点自测 1．若p是真命题，q是假命题，则 ( )．
A．p∧q是真命题
C．綈p是真命题 答案 D
B．p∨q是假命题
D．綈q是真命题
解析 q是假命题，故綈q是真命题，故选D.
2．(2012·安徽)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( A．对任意实数x，都有x>1
)．
B．不存在实数x，使x≤1
考向一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例 1】►(2012· 杭州学军中学模拟 ) 已知命题 p ： ∃ x∈R ，使
tan x ＝1，命题q ：x2 －3x ＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，给出
下列结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题； 题．其中正确的是 ( )． ③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命
A．②③
C．①③④
B．①②④
D．①②③④
[审题视点 ] 先判断命题p， q的真假，然后对用逻辑联结 词构成的复合命题进行真假判断．
解析 命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－
3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q” 是 真 命 题 ； ② 命 题 “ p∧ 綈 q” 是 假 命 题 ； ③ 命 题 “ 綈 p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题． 答案 D
有
(
)．
A．0个 C．2个 解析
B．1个 D．3个
命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则 p∨q 为真命
题，p∧q为假命题，¬ p为假命题．
答案 B
考向二 全称命题、特称命题的真假判断 【例2】►(2012· 安徽皖南八校三联)下列命题中，真命题是 ( 1 A．存在x∈R，sin 2＋cos 2＝2 B．任意x∈(0，π)，sin x＞cos x C．任意x∈(0，＋∞)，ex＞1＋x D．存在x∈R，x2＋x＝－1
2x 2x
)．
解析 对于A选项：∀x∈R，sin 2 ＋cos 2 ＝1，故A为假 π 1 3 命题；对于B选项：存在x＝ ，sin x＝ ，cos x＝ ，sin 6 2 2 x＜cos x，故B为假命题；对于C选项：构造函数g(x)＝ex －1－x，g′(x)＝ex－1，当∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，则g(x)＞g(0)＝0，得ex＞ 1＋x在(0，＋∞)上恒成立，故C为真命题；对于D选项： x
綈p 假
真
假 假
假
真 假
假
假 假
真
真 假
假
真 真
2.全称量词与存在量样的词语，一般在指定
的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用 全称 符 号 “ ∀ ” 表 示 ， 含 有 全 称量 词 的 命题 ， 叫 做 _______ 命题 ．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用 ______ 符号简记为： ∀x∈M，p(x) ．
②短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表
示事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”
表示．含有存在量词的命题叫做 特称命题 ∃x0∈M，p(x0) ． ．特称命题 “存在M中的一个 x0 ，使p(x0) 成立”可以用符号简记为：
(2)含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
由于 ∀ x∈R 都有 x2≥0 ，因而有 x2 ＋ 3≥3 ，所以命题
“∀x∈R，x2＋3<0”为假命题； 由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N， x2≥1”是假命题；
由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z， 使x5<1”为真命题； 由于使x2＝3成立的数只有± 3 ，而它们都不是有理数， 因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃ x∈Q，x2＝3”为假命题．
∃x0∈M，p(x0)
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
【助学·微博】 一个逆用
p∧q为真，可知p，q都为真．p∨q为真，可知p，q至少有
一个为真．p∨q为假，两个一定都假． 正确区分命题的否定与否命题 命题的否定与否命题不同，否命题是既否定命题的条件， 又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论，
所以p∧q是假命题，所以条件是必要的．
答案 B
5．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的 取值范围是________．
解析
“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R
有 x2 － mx － m≥0” 是 真 命 题 ． 即 Δ ＝ m2 ＋ 4m≤0 ， ∴ － 4≤m≤0. 答案 [－4,0]
[方法锦囊] 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，
需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据 “或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假 相对，做出判断即可．
【训练1】 已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成 的“ p∨q”，“ p∧q”，“ 綈 p”形式的命题中，真命题
第3讲 简单的逻辑联结词
【2014年高考浙江会这样考】
1 ．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用
“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容． 2 ．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数 学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考点梳理
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p 真 q 真 p∧q 真 p∨q 真
答案 C
4 ． 若 p ， q 是 两 个 简 单 命 题 ， 那 么 “ p∧q 是 假 命 题 ” 是 “p∨q是假命题”的 ( )．
A．充分不必要条件
C．充要条件 解析
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
若p∧q是假命题，则p，q可能都是假命题，也可能
一真一假，所以p∨q可能是假命题，也可能是真命题，故 条件不是充分的；若p∨q是假命题，则p，q都是假命题，
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 解析 按命题否定格式的要求：“存在”改成“任意”， 对x>1否定，变成x≤1，书写即可．故选C.
答案 C
3．下列四个命题中，其中为真命题的是 A．∀x∈R，x2＋3<0 B．∀x∈N，x2≥1
(
)．
C．∃x∈Z，使x5<1
解析
D．∃x∈Q，x2＝3
而不否定条件．
考点自测 1．若p是真命题，q是假命题，则 ( )．
A．p∧q是真命题
C．綈p是真命题 答案 D
B．p∨q是假命题
D．綈q是真命题
解析 q是假命题，故綈q是真命题，故选D.
2．(2012·安徽)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( A．对任意实数x，都有x>1
)．
B．不存在实数x，使x≤1
考向一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例 1】►(2012· 杭州学军中学模拟 ) 已知命题 p ： ∃ x∈R ，使
tan x ＝1，命题q ：x2 －3x ＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，给出
下列结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题； 题．其中正确的是 ( )． ③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命
A．②③
C．①③④
B．①②④
D．①②③④
[审题视点 ] 先判断命题p， q的真假，然后对用逻辑联结 词构成的复合命题进行真假判断．
解析 命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－
3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q” 是 真 命 题 ； ② 命 题 “ p∧ 綈 q” 是 假 命 题 ； ③ 命 题 “ 綈 p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题． 答案 D
有
(
)．
A．0个 C．2个 解析
B．1个 D．3个
命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则 p∨q 为真命
题，p∧q为假命题，¬ p为假命题．
答案 B
考向二 全称命题、特称命题的真假判断 【例2】►(2012· 安徽皖南八校三联)下列命题中，真命题是 ( 1 A．存在x∈R，sin 2＋cos 2＝2 B．任意x∈(0，π)，sin x＞cos x C．任意x∈(0，＋∞)，ex＞1＋x D．存在x∈R，x2＋x＝－1