初中数学平行四边形知识点-+典型题及解析

初中数学平行四边形知识点-+典型题及解析
一、解答题
1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，
①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．
3．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．
（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522
CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =
； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最
小值．
4．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．
（1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
5．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．
①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．
6．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，
16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．
7．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ；
（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
8．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.
（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；
（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）
（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.
9．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，
求证：DM =ME ，DM ⊥.ME
简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.
（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

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一、解答题
1．（1）见解析；（2）11
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由AB=AD 可得平行四边形ABCD 是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA 的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12
AC ，在Rt ACE ∆应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵AB CD ∥，
∴OAB DCA ∠=∠，
∵AC 为DAB ∠的平分线，
∴OAB DAC ∠=∠，
∴DCA DAC ∠=∠，
∴CD AD AB ==，
∵AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AD AB =，
∴ABCD 是菱形；
（2）
∵四边形ABCD 是菱形
∴AO CO =
∵CE AB ⊥
∴90AEC ∠=︒
∴26AC OE ==
在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
2．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）410DE =
． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；
②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得
EM=2DE ，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．
【详解】
（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，
∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒
∴四边形DGHM 为平行四边形，
∴DM=GH ，GD HM =，
∵90GOD ∠=︒，
∴90EDM EOH ∠=∠=︒，
∴290EDC ∠+∠=︒，
∵90ADC ∠=︒，
∴190EDC ∠+∠=︒，
∴12∠=∠，
在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ADE CDM ∆∆≌，
∴DE DM =，
∴DE GH =．
②在DEM ∆中，∠EDM=90°，
∴222DE DM EM +=，
∵DE DM =，
∴222DE EM =，
∴EM =，
在EHM ∆中，HM EH EM +>，
∵GD HM =，
∴GD EH +≥．
（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，
∵90C ∠=︒，4CD AB ==
，HG DN ==
∴2CN ==，
∴422BN BC CN =-=-=，
作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，
在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADM CDN ∆∆≌，
∴AM NC =，DM DN =，
∵45GOD EOH ∠=∠=︒，
∴45EDN ∠=︒，
∴45ADE CDN ∠+∠=︒，
∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，
在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴MDE NDE ∆∆≌，
∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，
设AE x =，则BE=4-x ，
在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+， 解得：43
x =，
∴DE ===．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．
3．（1）①7；②证明见解析；（2）93
，理由见解析
【分析】
（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．证明△BDT是等腰直角三角形，四边形ACTE是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可；
②如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF，进而利用全等三角形的性质证明
△CEF是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x，则∠BAC=2x．证明△ABC是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∵CA=CB，EA=ED，
∴∠B=∠D=45°，
∴∠BTD=90°，
∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，
∴四边形ACTE是矩形，
∴
52 EC AT
==
∵TH ⊥BD ，
∴BH=HD=x ，
∴TH=HB=HD=x ，
∵AB=3，
∴AH=x-3，
在Rt △ATH 中，则有22252(
())3x x =-+， 解得：72x =或12
-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．
②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．
∵∠B=∠D=45°，
∴TB=TD ，
∵∠BTD=90°，BF=DF ，
∴TF ⊥BD ，∠FTE=∠BTF=45°，
∴TF=BF ，∠BFT=90°，
∵四边形ACTE 是矩形，
∴TE=AC ，
∴AC=BC ，
∴BC=TE ，
∵∠B=∠FTE=45°，
∴△FBC ≌△FTE （SAS ），
∴FC=EF ，∠BFC=∠TFE ，
∴∠CFE=∠BFT=90°，
∴△CFE 是等腰直角三角形，
∴2EF ．
（2）如图3中，设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．
∵EA=ED ，
∴∠EAD=∠EDA=x ，
∴2x+∠AED=180°，
∵∠ACB+∠AED=180°，
∴∠ACB=2x ，
∵CB=CA ，
∴∠B=∠CAB=2x ，
∴∠C=∠B=∠CAB ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，
当AD ⊥BC 时，△ADE 的面积最小，
∵AB=BC=AC=3， ∴322
AD =， ∴S △ADE 的最小值13239324=
=． 【点睛】
本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）见解析；（2）
928；（3）4或6 【分析】
（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出
CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；
（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，3==CD AB 6AD BC ==OA OC x ==，则6OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出36OA =，
由三角形面积公式即可得出答案；
（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．
【详解】
解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，
ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，
四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∴=，//AD BC ．
EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，
ACE CAD ∴∠=∠，
OA OC ∴=，
OD OE ∴=，
ODE OED ∴∠=∠，
AOC DOE ∠=∠，
CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，
//AC DE ∴；
（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，
∴四边形ABCD 是矩形，
90CDO ∴∠=︒
，==CD AB AD BC ==
由（1）得：OA OC =，
设OA OC x ==，则OD x =，
在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，
解得：4x =
，
OA ∴=，
OAC ∴∆
的面积1
122OA CD =⨯=； （3）分两种情况：
①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
//AD BC ，90EAD ∠=︒，
90EGC ∴∠=︒，
30B ∠=︒
，AB =
30AEC ∴∠=︒，
1122
GC EC BC ∴==，
G ∴是BC 的中点，
在Rt ABG ∆中，3
3BG AB =
=， 26BC BG ∴==；
②如图4，当90AED ∠=︒时
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
由折叠的性质得：AE AB =，
AE CD ∴=，
在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，
ECA DAC ∴∠=∠，
OA OC ∴=，
OE OD ∴=，
OED ODE ∴∠=∠，
AED CDE ∴∠=∠，
90AED ∠=︒，
90CDE ，
//AE CD ∴，
又//AB CD ，
B ∴，A ，E 在同一直线上，
90BAC EAC ∴∠=∠=︒，
Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =
32AC AB ∴==，24BC AC ==； 综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
5．（1）证明过程见解析；（2）①边长为5
3
cm，②22
5
cm S9cm
3
≤≤．
【分析】
（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD-DE＝
1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝5
3
cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．【详解】
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在Rt△CDE中，DE22
CE-CD4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm-4cm＝1cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3-PB＝3﹣PE，
∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53
cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53
cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3
⋅四边形，
当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ， 2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，
∴菱形的面积范围：22
5
cm S 9cm 3≤≤．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．
6．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）
685
【分析】
（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；
（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．
【详解】
（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，
∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，
在△BCE 和△DCF 中，
BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△DCF (SAS )，
∴CE=CF ；
（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：
由（1）得△BCE ≌△DCF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，
即∠ECF =∠BCD =90°，
又∵∠GCE =45°，
∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，
在△GEC 和△GFC 中，
CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GEC ≌△GFC (SAS )，
∴EG=GF ，
∴GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，
∴∠CGA=90°，
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，
∴四边形ABCG 为矩形，
又∵AB=BC ，
∴四边形ABCG 为正方形，
∴AG =BC=AB =16，
∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，
设DE=x ，
∵4BE ＝，
∴AE =12，DG=x −4，
∴AD =AG −DG =20−x
在Rt △AED 中，
由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，
即x 2=(20−x )2+122 解得：685=
x ， 即685
=DE ． 【点睛】
本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．
7．（1）见解析；（2）4.8；（3）
1282x x
- 【分析】
（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；
（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；
（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°
∴∠BAP +∠APB ＝90°
∵BQ ⊥AP
∴∠APB +∠QBC ＝90°，
∴∠QBC ＝∠BAP ，
在△ABP 于△BCQ 中， ABP BCQ AB BC
BAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ），
∴BP ＝CQ ，
（2）由翻折可知，AB ＝BC '，
连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，
∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，
∵BP＝1
3
PC，AB＝8，
∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2
解得：a＝4．8，
即AN＝4．8．
（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．
设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴
32
2
x
y
x
=+．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝11
22
BM QG BC QC
''
⋅-⋅,
＝1321
()88 222
x
x
x
+⨯-⨯，
＝128
2x x
-．
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.
8．（1）35；（2）41；（3）53101或
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出
ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：
则FM=AH ，AM=FH
∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3
∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2
∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5
在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=
（3）分两种情况：
①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：
同（2）得：ENF DEC ∆≅∆
∴EN=CD=3，FN=ED=7
∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1
∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10
∆中
在Rt FMB
由勾股定理得：2222
FB FM MB
=+=+=
101101
②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：
∆≅∆
同理得：CDE EFN
∴NF=DE=1，EN=CD=3
∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4
∴BM=CB+CM=3+4=7
∆中
在Rt FMB
由勾股定理得：2222
FB FM MB
=+=+=
2753
或
故BF53101
【点睛】
本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.
9．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（32或4217.
【分析】
（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】
解：（1）△AMN ≌△FME ,等腰直角.
如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，
∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，
∴//AD EF ，
∴MAH MFE ∠=∠，
∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，
∴△AMH ≌△FME ，
∴MH ME =，AH EF EC ==，
∴DH DE =，
∵0EDH 90∠=，
∴DM ⊥EM ，DM=ME ．
（2）结论仍成立.
如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,
∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,
∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,
∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.
∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,
∴△AMF ≌△FME(ASA), …
∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.
在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,
∴=DM EM ，DM ⊥EM.
（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM 的长为2DE 2
,此时DE EC DC 532=-=-=,所以2DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角
三角形，则DM的长为
2
DE
2
，此时DE DC
CE538
=+=+=，所以42
DM=；
③当E点在BC上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME为等腰直角三角形，
证明如下：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, 且点E在BC上
∴AB//EF，∴HAM EFM
∠=∠，
∵M为AF中点，∴AM=MF
∵在三角形AHM与三角形EFM中：
HAM EFM
AM MF
AMH EMF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
,
∴△AMH≌△FME(ASA),
∴MH ME
=，AH FE=CE
=,∴DH DE
=.
∵在三角形AHD与三角形DCE中：
90
AD DC
DAH DCE
AH EF
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AHD≌△DCE(SAS),
∴ADH CDE
∠=∠,
∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，
∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,
∵在△DHE中，DH DE
=，0
EDH90
∠=,MH ME
=,
∴三角形DME为等腰直角三角形，则DM的长为
2
DE
2
，此时在直角三角形DCE中2222
DE DC CE5334
=+=+=，所以DM=17
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3130
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可
DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到
△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG ，∠BGE=∠DGC ，
∴∠BGD=∠CGE ，
∵CG=GE=CE ，
∴△CEG 是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG ，
∴△BDG 是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）连接BM ，MC ，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG 为正方形．
∵∠BAF=∠DAF ，
∴BE=AB=DC ，
∵M 为EF 中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME 和△DMC 中，
BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BME ≌△DMC （SAS ），
∴MB=MD ，
∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴65
12
302DM BD ∴==
【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。