Lecture 08 状态价格与风险中性定价

得。因此，总的价格为：
n
∑ =P = θiPi PT θ i =1
(8-1e)
第二节 投资组合选择定理与对数最优定价
一、投资组合选择定理
如果 x 是一个随机变量，以 x ≥ 0 表示变量 x 不小于零；以 x > 0 表示变
量对于某些正的概率具有严格的正收益。
假设投资者的效用函数 U 为严格的增函数，同时拥有初始财富 W。
从例 2 中可以计算最优投资组合的收益：
在非常成功的情况下， R* = 3θ1 + 1.2θ2 + 6θ3 = 3× (−1.0) + 1.2 ×1.5 + 6 × 0.5 = 1.8
W
在一般成功时
R* = θ1 + 1.2θ2 = −1.0 + 1.2 ×1.5 = 0.8 W
在失败时
R* = 1.2θ2 = 1.2 ×1.5 = 1.8 W
1.8
0.8
例 4：在例 2 基础上，现基于新能源项目又产生了一项新的投资：
在新能源项目十分成功时一单位新投资的回报为 3000 元，否则的话就
返回初始投资。这种有资金回收保证的投资的价格是多少？
根据例 3 得出的结果
P = 0.3× d1 + 0.4× d 2 + 0.3× d 3
1.8
0.8
1.8
（8-2d）中，得到：
Pi
=
E U ' (x*)di RE U ' (x*)
(8-2f)
例 1：投资者考虑投资一个风险投资——开发新能源项目，他估计
1 年后将有三种可能的收益，见表 8-1。无风险收益率为 20%。投资者
是否应该投资该项目；如果是的话，应该投资多少资金？假设投资者
的效用函数为U (x) = ln x ，每种资产的价格都为 1 元。
θ1 + 1.2θ2
1.2θ2
结合约束条件，解上述方程组得θ1 = −1.0W ,θ2 = 1.5W ,θ3 = 0.5W , λ = 1/W 。
二、对数最优定价
对于定价公式（8-2d）
E U ' (x*)di = λ Pi
选择对数效用函数U (x) = ln x ，则最终支付（财富）变量 x* 即为与投
s
(8-4b)
通过现存的普通证券（Composite Securities）构造出这些状态证券。
已知市场结构 D ，为了构造对应于 s 状态的状态证券的支付，有
Dθs = es
（8-4c）
当 D 是可逆时，只需选择
将三种状态下的支付代入，则有
P = 0.3× 3000 + 0.4 × P + 0.3× P
1.8
0.8
1.8
解得 P=1500 元。
例 3 和例 4 股份、中信信托、北京德恒律 师事务所，推出电影大众消费金融平台——百发有戏。
d1,
d2
,,
dn（每一只证券都可表示成一个向量），这
n
只证券的支付矩阵
为
D
=
(d1,
d2
,,
d
n
)
，且有
=D
d1,1 dn,1
= d1,s dn,s
d1,S dn,S
(d1,, dn )
这些证券的一个投资组合以一个
n
维向量
θ
=
(θ1,θ2
, ,θ
n
)T
来表示。向
量中的第i 个分量θi 代表投资组合中证券i 的数量。
假设存在
n
只证券
d1
,
d
2
,,
d
n
。投资者希望形成一个投资组合，该组合
最终财富的期望效用最大。以 θ = (θ1,θ2,,θn )T 定义该投资组合，θi 给出
了组合中不同证券的数量。投资者面临的问题是：
max E [U (x)]
n
s.t.
∑θidi = x
i =1
x ≥0
(8-2a)
n
∑θiPi ≤ W
p=0.3 p=0.4 p=0.3
投资者的组合选择问题即为：
max E= U [0.3ln(3θ1 + 1.2θ2 ) + 0.4 ln(θ1 + 1.2θ2 ) + 0.3ln(1.2θ2 )]
s.t.
θ1 + θ2 = W
将约束条件改写为θ=1 W −θ2 ，代入到目标函数中有
= EU 0.3ln[3(W − θ2 ) + 1.2θ2 )] + 0.4 ln[(W − θ2 ) + 1.2θ2 )] + 0.3ln(1.2θ2 ) = 0.3ln(3W − 1.8θ2 ) + 0.4 ln(W + 0.2θ2 ) + 0.3ln(1.2θ2 )
i =1
将约束条件中的 x = ∑θidi 代入目标函数中，同时忽略 x ≥ 0 ，再取
i
n
∑θiPi = W 。此时规划（8-2a）即变为：
i =1
∑ max
E
U
(
n i =1
θidi
)
n
∑ s.t.
θi Pi = W
i =1
（8-2b）
引入拉格朗日乘子 λ ，建立拉格朗日方程
∑ ∑ = = L E U ( in1= θidi ) − λ in1
收益为 d1, d 2, d 3 的证券的价格为 E(d / R*) ，即
P = 0.3× d1 + 0.4× d 2 + 0.3× d 3
1.8
0.8
1.8
(8-3e)
可以使用以前用过的三种证券对上式进行计算；它们价格的计算
结果应该都等于 1。例如，对于初始的风险投资：
P = 0.3× 3 + 0.4× 1 = 1
T
,0 +
d1 (1,0, ,0)T +
( ) ( ) ∑ =d
= d 1, , d S T
0,
d
2
T
= ,0,,0 +
d 2 (0,1= ,0,,0)T +
+
+
esd s
s
( ) 0, ,0, d S T
d S (0, ,0,1)T
（8-4a）
由定价的线性特征可知， d 的价格必然为
∑ P = Ψsd s = ΨT d
求解一阶条件，可得
∂EU = 0.3× −1.8 + 0.4 × 0.2 + 0.3× 1 = 0
∂θ2
3W − 1.8θ2
W + 0.2θ2
θ2
解= 得，θ2 0= .911W ,θ1 0.089W
或者直接由式(8-2d)可得
0.3× 1 × 3 + 0.4 × 1 ×1 + 0.3× 1 × 0 =λ
首期产品结合电影《黄金时代》，是一款“消费+金融”的双重信 托设计模式产品。消费者在此平台通过为电影投资至少 10 元之后，可 以获得与电影制作及后期相关各个环节的产品及参与权，还可根据《黄 金时代》的票房情况获得 8%至 16%的权益回报。
根据《黄金时代》电影票房情况，分为低于 2 亿元、3 亿元、4 亿 元、5 亿元、6 亿元共六个票房档，分别对应预期权益回报为 8%、9%、 10%、11%、12%、16%。
第三节 有限状态模型与风险中性定价
一、有限状态模型
（一）状态证券
一种特殊证券是只在一种状态下有支付、在其他状态下的支付为
零，这样的证券被称为状态或有证券（State Contingent Claim）、基本
证券或阿罗-德布鲁证券（Arrow-Debreu Security），表示成
es
=
(0, ,0,1,0, ,0)T
其中，1 为可能的状态 s, s = 1, 2,, S 下的收益。如果这样的证券存在，将
它的价格表示为 Ψs ，称之为状态证券价格，简称为状态价格（State
Price）。
如果一组完整的状态证券存在，则很容易确定其他证券的价格。证
券
d
=
(d
1, ,
d
S
)T
可以通过状态证券的一个组合表示为
( ) d1,0,
θi Pi
−
W
（8-2c）
对于最优的投资组合，令 x* = ∑θi*di ，则式（8-2c）的一阶条件为：
E [U '(x*)di ] = λPi
（8-2d）
如果存在收益为 R= 1+ rf 的一项无风险资产，则其在现在的价格为
1。由式（8-2d）可得
λ = E[U ' (x*)]R
（8-2e）
需要注意的是U '(x*) ，不是U '(∑θi*di ) 、即不是复合函数，带入到式
p=0.3 p=0.4 p=0.3
投资者的问题即为：
max E= U 0.3ln(3θ1 + 1.2θ2 + 6θ3) + 0.4 ln(θ1 + 1.2θ2 ) + 0.3ln(1.2θ2 )
s.t. θ1 +θ2＋θ3 = W
由式(8-2d)，或是通过直接计算，可以得到：
0.3 ×
1
× 3 + 0.4 × 1 ×1 + 0.3× 1 × 0 =λ
资组合相关的、而且使最终财富的期望效用最大的财富量。由于
R* = x* / W 是对数效用函数下的最优（总）收益率，称为对数最优收益。
由于 d ln(x) / dx = 1/ x ，因此，定价方程式(8-2d)变为：
E
di x*
=
λ
Pi
(8-3a)
式(8-3a)对于所有 i 成立，因而对于对数最优投资组合本身它也是
表82三种资产的收益率分布收益率概率新能源项目十分成功30003一般成功10004失败03新能源项目剩余权十分成功60003一般成功04失败03无风险资产120设在新能源项目无风险资产和新能源项目剩余权上的投资的数量分别为126p0312p0412p03max03ln31204ln12121203120412031212121212二对数最优定价对于定价公式82d即为与投资组合相关的而且使最终财富的期望效用最大的财富量
3θ1 + 1.2θ2 + 6θ3
θ1 + 1.2θ2
1.2θ2
0.3 ×
1
×1.2 + 0.4 × 1 ×1.2 + 0.3× 1 ×1.2 = λ
3θ1 + 1.2θ2 + 6θ3
θ1 + 1.2θ2
1.2θ2
0.3 ×
1
× 6 + 0.4 × 1 × 0 + 0.3× 1 × 0 =λ
3θ1 + 1.2θ2 + 6θ3
0.4
失败
0
0.3
十分成功 600
0.3
新能源项目
一般成功
0
0.4
剩余权
失败
0
0.3
无风险资产
120
1
设在新能源项目、无风险资产和新能源项目剩余权上的投资的数量
分别为 q1, q2, q3 ，则投资组合在期末时的支付为
x = ìïïïïïíïïïïïî31qq1.21+q+211.2.2qq22+6q3
n 只证券构造的投资组合的支付 x 为随机变量：
n
∑ =x = θidi Dθ i =1
(8-1a)
A 类套利可以表示为：
Dθ ≥ 0 PTθ < 0
(8-1b)
B 类套利。可以表示为： Dθ > 0
PTθ ≤ 0
(8-1c)
通常所提的套利组合，是指
Dθ > 0 PTθ = 0
(8-1d)
在假设不存在 A 类套利的条件下，投资组合 θ 的价格以线性定价获
三、线性定价
一项证券定义为在有限可能状态下的一组支付——每一个支付对
应一种可能状态。因此，一项证券由一个向量
d
=
(
d
1
,,
d
S
)T
来代表，该
向量的组成部分为各状态下的支付。这种情况下，d s(s = 1,2, , S) 代表如
果状态 s 发生会获得的支付。证券的价格为 P。现在假设存在 n 只证券
例 2：在考虑投资开发新能源项目时，投资者发现，投资于新能源项目
剩余权也是可行的。这种投资在新能源项目十分成功时收益颇丰，每元的
投资会产生 6 元的收益、在其他两种情况下收益为零。
现在投资者应该如何进行投资呢?
表 8-2 三种资产的收益率分布
收益率/% 概率
十分成功 300
0.3
新能源项目 一般成功 100
Lecture 8
状态价格定价与风险中性定价
一、无套利定价的思想 二、无套利定价机制的主要特征
第一，无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。 第二，无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券 来复制另外一组证券。 第三，无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时 套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本。
成立的。这一投资组合的价格为 W，因此，有：
E
x* x*
=
λW ⇒ λ=
1 W
(8-3b)
因此，在这种情况下得到了 λ 的值，代入到式（8-3a）中，得到
E
di x*ຫໍສະໝຸດ = λPi = W1 Pi ⇒
E
di x* / W
= Pi ⇒ E
di R*
= Pi
(8-3c)
如果存在一项无风险资产，定价公式(8-3c)也同样有效。无风险资
表 8-1 两种资产的收益率分布
总收益率/%
概率
十分成功
300
0.3
开发新能源 一般成功
100
0.4
失败
0
0.3
无风险资产
120
1
设在风险投资和无风险资产上的投资数量分别为 q1, q2 ，则投资组合 在期末时的支付为
x = ìïïïïïíïïïïïî31q1q.21+q+211.2.2qq2 2
3θ1 + 1.2θ2
θ1 + 1.2θ2
1.2θ2
0.3× 1 ×1.2 + 0.4 × 1 ×1.2 + 0.3× 1 ×1.2 = λ
3θ1 + 1.2θ2
θ1 + 1.2θ2
1.2θ2
结合约束条件θ1 + θ2 = W ，也可以= 得到θ1 0.= 089W ,θ2 0= .911W , λ 1/W 。
产的价格为 1，收益为 R。因此，有
E(1 / R*) = 1 / R
(8-3d)
例 3：在例 2 基础上考虑依赖新能源项目的剩余权发行一项新的证
券，该债券即使在新能源项目失败时也会获得一些收益。这种类型的
证券其一般收益情况为 d1,d 2,d 3 ，分别与新能源项目非常成功、一般成
功及失败相对应。请为这一证券定价。