2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-8圆内接正多边形》同步达标训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步达标训练（附答案）1．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）
A．30°B．36°C．45°D．72°
2．一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（）A．2B．4C．4D．8
3．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（）
A．4B．4C．2D．2
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（）
A．B．C．2D．
5．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）
A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：3
6．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
7．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
8．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）
A．S变化，l不变B．S不变，l变化
C．S变化，l变化D．S与l均不变
9．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（）
A．36°B．45°C．54°D．60°
10．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2B．1C．D．
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）
A．2B．4C．6D．4
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）
A．B．C．D．2
13．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝，边长＝，边心距＝．
14．如图，圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，圆O从A点出发，沿A →B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，当回到出发点时，则圆O共滚动了周．
15．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．
16．如图拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．
17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．
18．如图，边长为a的正六边形内有斜边为a、锐角为60°两个直角三角形，则＝
19．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A，B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值为；最小值为．
20．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
21．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
22．如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
参考答案1．解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
2．解：∵圆内接正六边形的边长是4，
∴圆的半径为4．
那么直径为8．
圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8．∴圆的内接正方形的边长是4．
故选：B．
3．解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝4，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故选：B．
4．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
5．解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD＝OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°，
则OD：OC＝1：2，
因而OD：OC：AD＝1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D．
6．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，
∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN＝×2×﹣＝﹣．
故选：A．
7．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
8．解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOB＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，故选：D．
9．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵P A+PB＝P A+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，P A+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
10．解：如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OBD中，
BO＝2DO，
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，
∴BC•AD＝，
∴×2x•x＝，
∴x＝1．
即BD＝1，则AD＝，
∵OD：OA：AD＝1：2：3，
∴AO＝cm．
即这个圆的半径为cm．
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，
故选：B．
11．解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC•sin∠OCM，
∴OC＝＝．
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝OC＝，CN＝2，
∴CE＝2CN＝4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选：D．
12．解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OF A＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r•sin60°＝，
∴EF＝，
∵AO＝2OI，
∴OI＝，CI＝r﹣＝，
∴，
∴，
∴＝，
即则的值是．
故选：C．
13．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝2，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝2，
故答案为：60°，4，2．
14．解：圆O从A点出发，沿A→B→C→D→E→A顺时针在正五边形的边上滚动，∵圆O的周长是1cm，正五边形ABCDE的边长是4cm，
∴圆在边上转了4×5＝20圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕五边形的一个顶点旋转了五边形的一个外角的度数，∴圆绕五个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴圆回到原出发位置时，共转了21圈．
故答案为：21．
15．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
而360°÷40°＝9，
∴这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
16．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝10×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
17．解：如图，∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝6××12＝，
故答案为：．
18．解：∵S正六边形＝6וa2＝a2，S空白＝2ו•a••a＝a2，∴S阴＝a2，
∴＝，
故答案为：．
19．解：当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，
如图，BD＝4，BK＝2，
∴DK＝＝＝2，OK＝BK＝2，
∴OD的最大值为：2+2，
同理，当O、D、AB中点共线时，将正六边形绕AB中点K旋转180°取得最小值为：2﹣2，
故答案为：2+2，2﹣2．
20．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°．
21．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CF A＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
22．解：分别连接OB、OC，
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OC＝OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，
∵BM＝CN，OC＝OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM＝∠NOC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°；
∴∠MON＝∠BOC＝120°；
（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，∠MON＝＝120°；在（2）中，∠MON＝＝90°；在（3）中∠MON＝＝72°…，
故当n时，∠MON＝．。