数学物理方程答案(全)

利用微分中值定理可得
T
(
x)ux
x
utt

将T (x) 的表达式代入可得
utt g(l x)uxx gux
2.长为 L,均匀细杆,x=0 端固定,另一端沿杆的轴线方向拉长 b 静止后（在弹性限 度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出振动方程的定解条件。
T(x,t) T(x+dx,t)
界条件之一：
（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L）保持常温 0
解:边界条件 ux x0 0, u xL u0
（2）两端分别有热流密度 q1 和 q2 进入
解:边界条件 ux
x0
g1 k
,ux
xL
g2 k

（3）一端（x=0）温度为 1(t) ，另一端（x=L）与温度为 (t) 的介质有热交换
F ( x,
t)dtdxS
u x
cSdtdx

k
2u x2
F (x,t)
u x
c

ut
k c
uxx
F ( x, t ) c

ut
k c
uxx
(
j)2 c

习题 2.3
1.半径为
r0
的球面，在的 0
2
半球面上电势为
0
，在
2
的半球面上
电势为 0 。求空间各点应满足的泛定方程与定解条件。
解:泛定方程

4.
由静电场
Gauss
定理
s
E
dS
1 0
V
dV
，求证：
E
0
，并由此导出
静电势 u 所满足的 Poisson 方程。
证明：因为
s
E
dS
V
divE
dV
1 0
V
dV

所以可以得到
divE 0
由 divE E 和 E u
可得静电势 u 所满足的 Poisson 方程： 2u 0
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0

2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
解:设导体置入前 u(0) 0 ,设 Z 轴沿 E0 方向.
泛定方程,除球面上有自由电荷外,球内外电势满足拉普拉斯方程
22uu12
0, r 0, r
r0 r0

定解条件,在无穷远处,电势与导体置入前相同,因为导体上的电荷对无穷远处的
电势可以忽略
当导体球不存在时
du ud l E0 cos dr
解:边界条件 u x0 u1,kux hu xL h (t)
试分别写出上述三种热传导过程中的定解问题.
5.一根匀质导线的横截面积为 S，电阻率为 ，通有均匀分布的直流电，电流密
度为 I。试导出这根导线内的热传导方程（Joule-Lenz 定律 Q = 0.24I 2Rt ）
解：当电流流过导线时，导线本身产生焦耳热，相当于导体内有热源
( dy )2 10( dy ) 9 0
dx
dx
解得
dy 9 和 dy 1
dx
dx
那么令：
9x y
x
y





Q
x x
y y
9 1
1 1

所以
a11 a12
a12 a 22
Q
a11 a12
a12 a22
QT
9 1
1 1
1
5
5 9
9
1
1 1
( jS)2 dx dt
其热源密度为 F (x,t)
S ( j)2
dtdxS
dQ (k u ) dtS
x
因为
x x

dQ (k u ) dtS
x dx
x xdx
所以
(k
u x
)
x dx
(k
u x
)
x
dtS
F
( x, t )dtdxS
u x
cSdtdx

k
2u x2
dxdtS
r
du
0
r 0
E0
cos
dr

u
r
u(0)
E0
cos
r 0
E0r
cos

u2 r E0r cos
界面上电势连续
u1(r0 ) u2 (r0 ) u0 3.有一接地的槽型导体，如图 2.10 所示，其上有电势为(x, y) 的金属盖，盖与
导体相接触处绝缘。试写出槽内电势分别的定解问题。
Q xx
y y
1 3
1 1

所以
a11 a12
a12 a 22
Q
a11 a12
a12 a22
QT
1 3
1 1 1 1
1 1
3
1
3 1
0 8
8 0

b1 L c 0，b2 L c 0 ， c f 0
可得： u 0
即u 1(x y) 2 (3x y)
Sdxutt
Y (ux (x
dx,
t
)
x
dx x
2
ux (x,t))S
YS
(ux
(x
dx,
t)
x2
2 x2
xdx
ux
(
x,
t))

YS
(ux
(
x
dx,
t
)
u
x
(
x,
t
)
2dx x
ux
(
x
dx,
t
))
即 Sdxutt
YS(uxx (x,t)
2 x
uxx
(
x
dx,
t
))

utt
Y P (uxx
dT g dx 对上式进行积分,并且利用在 x 0 处的张力为T x0 gl 可求得 T (x) g(l x)
对于(2)式 sin2 tan2 ux (x dx,t) sin 1 tan 1 ux (x,t)
将上述结果代入(2)式得出
T (x dx,t)ux (x dx,t) T (x)ux (x,t) uttdx
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社 2-3 章部分习题答案
习题 2.1 1.密度为 均匀柔软的细弦线在 x 0 端固定,在重力作用下,垂直悬挂,横向拉它 一下,使之做微小的横振动.试导出振动方程. 解：设弦长为 l ，建立如下坐标系
用 u(x,t) 表示在弦在时刻 t , x 处的横向位移,从弦上取位于 x 到 x dx 之间的线元, 分析其上的作用力.弦的张力方向总是弦的切线方向,又弦作微小振动,认为弦不 伸长且T 与时间无关. 纵向受到的力 T (x dx) cos2 T (x) cos1 gdx (1) 横向受到的力 T (x dx) sin2 T (x) sin1 uttdx (2) 对于(1)式,由于是微小振动,有 cos2 1, cos1 1 则有
22uu12
0, r 0, r
r0 r0

定解条件
u2 r 0
u1 r0 有限
u1
r r0
u0, 0
u0
,
2
2

u1 rr0 u2 rr0
2.在均匀外电场中，至于半径为 r0 的导体球，若导体球接有电池，使球与地保持
电势差 0 。试写出电势满足的泛定方程与定解条件。
Q1 (kux (x dx,t) kux (x,t)) r2dt
从侧面流入热量，有牛顿冷却定律
Q2 k1(u u1) 2 rdxdt
温度升高 du 所需要的热量
Q3 c r2dxdu
又 Q3 Q1 Q2 c r2dxdu kux r2dxdt k1(u u1) 2 rdxdt crdu kuxrdt 2k1(u uutt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0

u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt

即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )

3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
0
x
x+dx
x

解:细杆做纵振动时，杆的伸缩引起各点细杆粗细的改变，即相同截面上质点位
移 u(x,t) 有改变，质点位移的相对伸长量为 u ，截面的应力 P 与相对伸长成正 x
比 P Y u ，Y 是杨氏模量，截面 S 的张力T SP x
取细杆的一段微元，受力如上图表示
T (x dx,t) T (x,t) Sdxutt
S S`
x 0
x
x+dx

解：取微元 dx （ SS 之间的一段）
微元的质量 dm (1 (x dx)S 1 xS)
3
3
而
S S
x
dx x
2
x2
2xdx x2

故
dm
1 3
((x
dx)3 x2
x)S
Sdx

在纵向上利用牛顿定律可得
dm utt (x dx,t)S (x,t)S
习题 2.2
1.一根半径为 r，密度为 ，比热为 c，热传导系数为 k 的匀质圆杆，如同截面
上的温度相同，其侧面与温度为 1 的介质发生热交换，且热交换的系数为 k1 。
试导出杆上温度 u 满足的方程。 解：
0
x
x+dx
取微元在 (x, x dx) 之间，在时间 t 内
x

从左右两截面流入的热量，有热传导方程可得
x 0, 椭圆型 x , x 0,抛物型
x 0,双曲型 2.求下列方程的通解： (1) uxx 10uxy 9uyy 0 (2) uxx 2uxy 3uyy 0 (3) 4uxx 8uxy 3uyy 0 (4) 3uxx 4uxy uyy 0 (5)16uxx 16uxy 3uyy 0 (6) 12uxx 8uxy uyy 0 解： (1)特征方程为
量为 d x l
即 u(x, 0) d x l
由此得出定解问题
uut(t0, tY)u0xx, ux (l,t) 0

u(x, 0)
d l
x, ut (x, 0)
0
3.长为 L、密度为 的底半径为 R 的均匀圆锥杆（轴线水平）做纵运动，锥的顶
点固定在 x=0 处。导出此杆的振动方程。
2 x ux)

Y P
x
(x2
u x
)
1 x2
4.一根长为 L、截面面积为 1 的均匀细杆，其 x=0 端固定，以槌水平击其 x=L
端，使之获得冲量 I。试写出定解问题。
解：由 Newton 定律： SYux (x dx,t) YSux (x,t) Sdxutt ，其中，Y 为杨
氏模量， S 为均匀细杆的横截面积， ux 为相对伸长率。
0 32
32 0

b1 L c 0，b2 L c 0 ， c f 0
可得： u 0
即 u 1(9x y) 2 (x y)
(2)特征方程为
(dy )2 2(dy ) 3 0
dx
dx
解得
dy 1和 dy 3
dx
dx
x y 那么令： 3x y
(3)特征方程为
4( dy )2 8( dy ) 3 0
dx
dx
解得
dy 3 和 dy 1 dx 2 dx 2
导，周围介质的绝对温度为已知函数(x, y, z,t) ，。试写出边界条件。
解：由
Fourier
热传导实验定律 dQ
k1
u n
dSdt ，其中 k1 称为热传导系数。
可得
k1
u n
dSdt
k (u 4
4
)dSdt
，
u
即可得边界条件：
n
s
k (u4 k1
4 ) 。
4.设有一根具有绝热侧表面的均匀细杆，它的初始温度为(x) ，两端满足下列边
SY (ux (x dx,t) ux (x,t)) Sdxutt
utt
Y P
uxx
杆的一端固定，有 u(0,t) 0 ，另一端为自由端有 ux (x,l) 0
由于弦在出事时刻处于静止状态，即初速度为零，故 ut (0,t) 0
在 t 0 时刻，整个杆被纵向拉长 d ，则单位杆长的伸长量为 d ，故 x 点处的伸长 l