傅里叶变换

r x2 y2
无吸收、反射能量损耗
P′
透镜将平面波变成球面波
(x,y)
a( x, y ) A2 / A1 1 ~ TL ( x, y ) exp[ i L ( x, y )]
透镜相位 变换函数
t1
L
Q
t2 t
T ( x, y) e
L′ Q′
iL ( x , y )
e
长大的，衍射角大，谱线距0级较远；
同样对于二级光谱而言，也有同样的情况。但可 能造成二级光谱与一级光谱的重叠，而且具有最 大强度的光处于0级（为未分开的白光）！
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏
周期性 T ( x d ) T ( x)
2 2
远离中心的Q 点相位延迟
结论：在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有 纯二次型的相位因子。
例 设入射平面波振幅为A，并将L平面处相位取作零， 则经透镜后出射光波的复振幅为：
ik ( x y ) ~ ~ EL AT ( x, y) A exp[ ] 2f'
2 2
讨 论 (1) 会聚透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜为 f 处会聚球面波 (2) 发散透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜 f 处的发散球面波
频谱分析:周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。 非周期函数的频谱分析与付里叶变换
任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：
F (t ) A( ) costd B( ) sintd
0


F (t )
1 2


0

f ( )ei t d
i
2

[ QQ ']
r1
x y2
2
[QQ '] t1 n0t t2 t1 t2 n0 (t0 t1 t2 )
z
r2
n0t0 (n0 1)(t1 t2 )
t0 导出透镜位相变换函数
O
L ( x, y )
2

[n0t0 (n0 1)(t1 t 2 )]
结论：棱镜的相位变换函数是线性的。
相因子判断法





知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完 全确定接收场。 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完 全确定屏函数几乎是不可能的。 只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改变来 确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。 一般都是在傍轴近似下进行判断。
1 1 2 2 L ( x, y ) (n0 1)( )( x y ) 1 (n0 1)( 1 1 ) r1 r2 f' r1 r2
k ( x 2 y 2 ) 入射光波通过薄透镜后，原波面上的各 L 点都发生相位延迟 2f
ik ( x y ) ~ T ( x, y) exp[ ] 2f'
F (t ) A0 Ak cos k 0t Bk sin k 0t
k 1



k 1
A0 Ak cos[(k 0t k )]
k 1
称为周期函数 F (t ) 的付里叶级数, 而 A0 , Ak , Bk 和 Ak , k 称为付里叶系数
1 A0 T
§5.1 衍射系统的屏函数


能使波前的复振 幅发生改变的物， 统称为衍射屏。 衍射屏将波的空 间分为前场和后 场两部分。前场 为照明空间，后 场为衍射空间。

衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或反射 场） 。用函数表示，就是透过率或反射率函数， 统称屏函数。
~ U 2 ( x, y ) ~ 衍射屏函数 t ( x, y) ~ U 1 ( x, y)
注意：频谱取一系列分立的值。
光栅 制作：以特殊的工具（如钻石），在硬质、磨光的光 学平面上刻出大量紧密而平行的刻槽。以此为
母板，可用液态树脂在其上复制出光栅。制作
的光栅有平面透射光栅、平面反射光栅及凹面 反射光栅。。 通常的刻线数为300-2000刻槽/mm。最常用的是 1200-1400刻槽/mm（紫外可见）及100-200刻槽/mm（ 红外）。
平面透射光栅：
P0（0级） d 相 对 强 度 P2 P1 P2
P1
P0
P1
距离
入射光为单色光，那么
当入射线垂直于光栅时，=0，n= d sin
当入射线不垂直于光栅时，n= d（sin + sin） 在零级光谱有最大的光强！
入射光为复合光，那么 0 级光P0处是未经色散的白光； 其它波长的光因波长不同，产生的一级光谱位置 不同：波长小的则衍射角小，谱线靠近0级；波
n0
1 ~ i n 傅里叶系数由 Tn Tn e (an ibn ) 2 积分直接给出 1 d ~ Tn 2d T ( x) exp( i 2f n x)dx d 2
Tn
原函数 T ( x) 中各种空间频率的成分所占比例
余弦光栅的衍射场
余弦光栅的屏函数
典型表达式：（特殊走向）t(x,y)=t0 t1 cos(2 fx 0 ) 空间周期为d 一般表达式：t(x,y)=t0 t1 cos(2 f x x 2 f y y 0 ) 空间周期 为d x , d y . 1 光栅的空间频率f f x 2 f y 2 d 1 1 光栅间距：d 2 2 f fx f y fy 栅条正交方向角满足tan = fx
上式称为非周期函数的付里叶积分。 或是 f ( ) 的付里叶逆变换。
f ( )
1 2



F (t )e
i t
dt
称为非周期函数的 付里叶变换。
f ( )
1 2



F (t )ei t dt
称为非周期函数 的付里叶变换
非周期振动的频谱是连续谱。波形和频谱互为 付里叶变换，它具有鲜明的物理背景，频谱分 析是研究振动的重要方法之一。
T 2 F (t )dt
2 T2 Ak F (t ) cos k 0tdt T T 2
T 2
2 Bk T
T 2 F (t ) sink0tdt
T 2
这些分振动中频率最低的称为基频振动，它 的频率就是原周期函数的频率，称为基频。
其它分振动的频率都是基频的整数倍，称为谐频。 频谱：以频率为横坐标，以相应的振幅为纵坐标 所作的图解，称为该振动的频谱。
理想平面单色波可写成： U x ) Aeikx （ 而非单色波可写成 dU x ) dA ikx （ e 其中，振幅系数可写成：dA a ( k ) dk , a ( k )为振幅谱密度函数。 U x) （ （ dU x)


0
a ( k ) ikx dk e
透镜后
U 2 ( x, y ) A2 ( x, y) exp[i2 ( x, y)] A 透过率函数 TL ( x, y) 2 exp[i L ( x, y)] A1
L ( x, y) 2 ( x, y)-1( x, y)
D－透镜直径
D a( x, y ) exp[i L ( x, y)] r 2 D 0 r 2

以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相 因子 ( x, y )
x2 y2 ik ] 2z
Q
o z
z

以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相 因子 x2 y 2 exp[ikz ik ] 2z

以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相 因子 ( x, y )
D D 尺寸D 有限 x , or N 1 2 d
正弦光栅 黑白光栅 其他屏函数
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数 (1) 正弦余弦式
T ( x) T0 an cos 2f n x bn sin 2f n x
n 0 n 0
f1 1 / d 基频 f n nf1 n / d n次波频率
n 0 2
cn
bn cn a n b n , n tan an
2 1
n
an
bn
屏函数为实函数 (3) 指数式
Tn T n , T n Tn
i ( 2f n x n ) n0
T ( x) T0 Tn e
~ i 2f n T0 Tn e
一、光学图像的傅里叶频谱分析
1. 空间频率
在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是 随空间变化的函数。
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum） 简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
傅立叶变换光学
变换光学



处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的 相干叠加。这是传统光学的一般方法。 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到 障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍 物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相 干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，它 们的作用都可以应用变换的方法处理。
二. 棱镜的相位变换函数
d

平行光
平行光

P ( x, y ) 0
2
2

( nd ) 0
2

(n 1)
x
O
d0
~ ~ U1 U 2
n

nd 0 , x
略去
p ( x, y) k (n 1)x
~ tP ( x, y) exp[ ik (n 1)x]
Q ( x0 , y0 )
2 2
x y xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z

r0
z
o z
以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相 因子
xx0 yy0 x y exp[ikr0 ik ( ] 2z z
2 2
谐振分析
周期函数的频谱分析与付里叶级数
任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。 也就是说，任何一个复杂的周期振动都可以 分解为一系列简谐振动之和。
~( x, y) t ( x, y) exp[i ( x, y)] t t
t ( x, y) 屏函数的模。模为常数的衍射屏称为位相型
的 ，如透镜、棱镜等。
t ( x, y) 屏函数的幅角即位相。幅角为常数的衍射屏称
为振幅型的 ，如单缝、圆孔等。
6.3 理想薄透镜的傅里叶变换作用
一. 透镜 透镜主要作用有两种：成像（光瞳） 相位变换 ~ ~ 透镜 —— 相位变换作用 U 1 ( x, y ) U 2 ( x, y ) 傅里叶变换的条件 ~ 透镜前 U1 ( x, y ) A1 ( x, y) exp[i1 ( x, y)] T ( x, y )
傍轴近似条件下透镜前后两段空气隙厚度
x2 y2 t1 r1 r1 ( x 2 y 2 ) 2r1
2
x2 y2 t 2 ( r2 ) r2 ( x 2 y 2 ) 2r2
2
第一项 2 n0t0 / 不随坐标 ( x, y )而变化－－常相位项－ －可略去
的一 傅维 里周 叶期 级函 数数
1 d T0 2d T ( x)dx, d 2 2 an T ( x) cos 2f n xdx, d 2 d bn 2d T ( x) sin 2f n xdx d 2
d 2 d 2
(2) 余弦相移式
T ( x) T0 cn cos( 2f n n )
波前的相因子
exp[ik (sin1x sin 2 y)]
x y exp[ik ] 2z
2 2
x2 y 2 exp[ik ] 2z
x 2 y 2 xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z
x 2 y 2 xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z