2019-2020学年人教A版数学选修4-4课件：第2讲 2 圆锥曲线的参数方程

[解析] 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是 y2＝ 2px，所以 y2M＝6p，所以 E－p2，± 6p，Fp2，0，所以p2＋3＝ p2＋6p， 所以 p2＋4p－12＝0，解得 p＝2(负值舍去)．
[答案] 2
第三十一页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
4．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xy＝ ＝t1＋－12，t (t 为参数)
与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ， θ
(θ 为参数，a>0)有一个公共点在 x 轴上，
则 a＝________.
[解析] ∵xy＝ ＝t1＋－12，t， 消去参数 t 得 2x＋y－3＝0.
又xy＝ ＝a3csions
第十九页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程 非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适 用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
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2．如图，设 P 为等轴双曲线 x2－y2＝1 上的一点，F1、F2 是两 个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
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y＝1t x
y＝－2tx－p2
确定，
两式相乘，消去 t，
得 y2＝－2xx－p2， ∴点 M 的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0(x≠0)．
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
当 t＝0 时，M(0,0)满足题意， 且适合方程 2x2－px＋y2＝0. 故所求的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0.
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教材整理 1 椭圆的参数方程
阅读教材 P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．
普通方程
参数方程
ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝acos φ y＝bsin φ x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数) (φ 为参数)
[答案] B
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教材整理 3 抛物线的参数方程 阅读教材 P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．
x＝2pt2 1．抛物线 y2＝2px 的参数方程是__y_＝__2_p_t_ (t 为参数)． 2．参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点_连_线__的__斜__率__ 的倒数．
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椭圆xy＝ ＝45csions
φ φ
(φ 为参数)的离心率为(
)
4
3
A.5
B.5
C.34 [解析] [答案]
D.15 由椭圆方程知 a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35. B
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教材整理 2 双曲线的参数方程
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
x＝2pt2， 3．已知抛物线的参数方程为y＝2pt (t 为参数)，其中 p>0， 焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E，若|EF| ＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________.
第三十页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
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|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
θ， θ，
(θ 为参数，a，b 为常数，且 a>b>0)
中，常数 a，b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
第十四页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
1．若本例的参数方程为xy＝ ＝35csions
θ， θ，
(θ 为参数)，则如何求椭圆
的普通方程和焦点坐标？
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[答案] A
第三十四页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
2．方程xyc＝osbcθo＝s aθ， (θ 为参数，ab≠0)表示的曲线是(
)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．双曲线的一部分
第三十五页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
[解析] 由 xcos θ＝a，∴cos θ＝ax， 代入 y＝bcos θ，得 xy＝ab， 又由 y＝bcos θ 知，y∈[－|b|，|b|]， ∴曲线应为双曲线的一部分．
[思路探究] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到 交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
[自主解答] 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时， 直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2tx－p2， 它们的交点 M(x，y)由方程组
[解]
x＝3cos θ， 将y＝5sin θ，
化为3x＝cos θ， 5y＝sin θ，
两式平方相加，得3x22＋5y22＝1.
其中 a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(0，－
4)与 F2(0,4).
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双曲线参数方程的应用
[答案] D
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3．圆锥曲线xy＝ ＝t22t， (t 为参数)的焦点坐标是________． [解析] 将参数方程化为普通方程为 y2＝4x，表示开口向右，焦 点在 x 轴正半轴上的抛物线，由 2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1,0)．
第三十七页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程
第一页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
学习目标：1.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)2.了解双曲 线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有 关点的轨迹问题．(难点、易错点)
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自主预习 探新知
【例 2】 求证：双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐 近线的距离的乘积是一个定值．
[思路探究] 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数 方程简化运算．
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[自主解答] 由双曲线ax22－by22＝1，得
两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，
B.y32－x92＝－1 D.y32－x2＝－1
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[解析] 由 x＝ 3sec θ 得， x2＝co3s2θ＝3sin2cθo＋s2θcos2θ＝3tan2θ＋3， 又∵y＝tan θ， ∴x2＝3y2＋3，即x32－y2＝1. 经验证可知，选项 B 合适．
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
[证明] 设 P(sec φ，tan φ)， ∵F1(－ 2，0)，F2( 2，0)， ∴|PF1|＝ sec φ＋ 22＋tan2φ ＝ 2sec2φ＋2 2secφ＋1， |PF2|＝ sec φ－ 22＋tan2φ ＝ 2sec2φ－2 2sec φ＋1，
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
1．抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝ ＝22pptt2， (t 为参数)，参 数 t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
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2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数 作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数 方程，然后再消去参数，化为普通方程．
阅读教材 P29～P32，完成下列问题．
普通方程
参数方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
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下列双曲线中，与双曲线xy＝ ＝ta3nsθec θ， (θ 为参数)的离心率和
渐近线都相同的是( ) A.y32－x92＝1 C.y32－x2＝1
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若点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线xy＝＝44tt2 (t 为参数)上，则 |PF|＝________.
[解析] 抛物线为 y2＝4x，准线为 x＝－1， |PF|等于点 P(3，m)到准线 x＝－1 的距离， 即为 4. [答案] 4
第十页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
[自主解答]
x＝5cos θ 由y＝3sin θ
得cos θ＝5x， sin θ＝3y，
两式平方相加，得5x22＋3y22＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)和 F2(－
4,0)．
第十三页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
椭圆的参数方程xy＝ ＝abcsions
当堂达标 固双基
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
1．参数方程xy＝＝c2osisnθθ， (θ 为参数)化为普通方程为(
)
A．x2＋y42＝1
B．x2＋y22＝1
C．y2＋x42＝1
D．y2＋x42＝1
[解析] 易知 cos θ＝x，sin θ＝2y，
∴x2＋y42＝1，故选 A.
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
|PF1|·|PF2|＝ 2sec2φ＋12－8sec2φ＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
抛物线的参数方程
【例 3】 设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点为 O， P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交点 M 的轨迹方 程．
θ， θ，
消去参数 θ 得ax22＋y92＝1.
第三十八页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
方程 2x＋y－3＝0 中，令 y＝0 得 x＝32，将32，0代入ax22＋y92＝1， 得49a2＝1.
又 a>0，∴a＝32.
[答案]
3 2
第三十九页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
5
．
已
∴t＝2 5 5(y＝t≥0)，x＝54t2＝54×45＝1，
∴交点坐标为1，2
5Leabharlann 5. 第四十一页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
课时分层 作 业
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第四十三页，编辑于星期六：二十三点 三十二 分。
知
两
曲
线
参
数
方
程
分
别
为
x＝ 5cos y＝sin θ
θ，
(0≤θ ＜ π) 和
x＝45t2， (t∈R)，求它们的交点坐标． y＝t
第四十页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。
[解]
将
x＝ 5cos y＝sin θ
θ，
(0≤θ
＜
π)
化
为
普
通
方
程
得
：
x2 5
＋
y2
＝
1(0≤y≤1，x≠－ 5)，
将 x＝54t2，y＝t 代入得：156t4＋t2－1＝0，解得 t2＝45，
合作探究 提素养
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椭圆的参数方程及应用
【例 1】
将参数方程xy＝ ＝53csions
θ， θ
(θ 为参数)化为普通方程，
并判断方程表示曲线的焦点坐标．
[思路探究] 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普 通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 三十二分。