江西省南昌市2018届高三数学第二轮复习测试题五 理(含解析)

2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
理科数学(五)
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定集合A,B，然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.
【详解】求解分式不等式可得，
求解二次不等式可得，
则，
韦恩图中阴影部分表示的集合为，即.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定复数z，然后求解的共轭复数即可.
【详解】由题意可得：，
则，其共轭复数为.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查复数的坐标表示，复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.函数关于直线对称，则函数关于（）
A. 原点对称
B. 直线对称
C. 直线对称
D. 直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
结合函数关于直线对称，可知函数关于直线对称.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.已知实数、，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式得范围，再根据绝对值定义得结果.
【详解】由，知，故选D.
【点睛】本题考查基本不等式应用，考查基本求解能力.
5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合流程图运行程序确定输出结果即可.
【详解】结合流程图可知流程图运行过程如下：
首先初始化数据：，
第一次循环，满足，执行，
此时不满足为奇数，执行；
第二次循环，满足，执行，
此时满足为奇数，执行；
第三次循环，满足，执行，
此时不满足为奇数，执行；
第四次循环，满足，执行，
此时满足为奇数，执行；
第五次循环，不满足，跳出循环，
输出的值为.
本题选择C选项.
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
6.已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】满足约束条件，如图所示：
可知范围扩大，实际只有，其平面区域
表示阴影部分一个三角形，其面积为
故选B．
【点睛】本题考查平面区域含义，考查基本求解能力.
7.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意考查充分性和必要性即可确定“”与“”的关系.
【详解】当时，，满足，此时不存在，则充分性不成立；若，则，据此可得：，
此时，满足，即必要性成立，
综上可得：“”是“”的必要不充分条件.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将转化为，再根据离心率求比值.
【详解】由，得
而，所以，故选B．
【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本求解能力.
9.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合排列组合问题的解法整理计算即可求得最终结果.
【详解】解法一：不对号入座的递推公式为：，，
，据此可得：，
即五个人不对号入座的方法为种，
由排列组合的对称性可知：若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则坐车不同的搭配方式有
种.
本题选择B选项.
解法二：设五位妈妈为，五个小孩为，对五个小孩进行排练后坐五位妈妈的车即可，
由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，故排列的第五个位置一定是，
对其余的四个小孩进行排列：
；
；
；
.
共有24中排列方法，其中满足题意的排列方法为：
，，，，
共有11种.
本题选择B选项.
【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；
②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
10.已知数列中第项，数列满足，且
，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数加法法则得，根据关系式得，联立方程解得.
【详解】由，得，
又，即，有，故．选
C.
【点睛】本题考查对数四则运算法则，考查基本求解能力.
11.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。

帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.
【详解】考查每行第二个数组成的数列：，归纳推理可知其通项公式为，
其前项和；
每行第三个数组成的数列：，
归纳推理可知其通项公式为，
其前项和，
据此可得题中数列前16项和为.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知的一内角，为所在平面上一点，满足，设
，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合三点共线的充分必要条件讨论的最大值即可.
【详解】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆中，所对的圆心角为，，点A,B为定点，点为优弧上的动点，则点满足题中的已知条件，
延长交于点，设，
由题意可知：，
由于三点共线，据此可得：，则，
则的最大值即的最大值，
由于为定值，故最小时，取得最大值，
由几何关系易知当是，取得最小值，此时.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知函数，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.
【详解】．
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
14.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线焦点弦性质得，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.
【详解】由知，由焦点弦性质，而
．
【点睛】本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.
15.网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.
【详解】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，所以．
【点睛】先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积.
16.数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意
有恒成立，则的值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分类讨论和两种情况即可求得的值.
【详解】当时，恒成立，当时：
当数列的公差时，即，
据此可得，则，
当数列的公差时，由题意有：，，
两式作差可得：，
整理可得：，即：，①
则，②
②-①整理可得：恒成立，
由于，故，据此可得：，
综上可得：的值为或.
【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列的前n项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（），其图象的对称轴方程为（）．
（1）求函数的解析式；
（2）当，且，求值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，结合对称轴方程可知，据此可得，则.
（2）由题意可得，，利用两角和的正弦公式可得.
【详解】（1）
，
由题意其对称轴方程为（），知是其一条对称轴，
，得，即，
.
（2）由，，又，
，得，，
，
.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解，三角函数在给定区间上求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.如图：直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，
，，，，，，、分别是与的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，由题意可证得平面平面，利用面面平行的性质定理可得平面；
（2）过作，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量为，平面的法向量为，据此计算可得二面角
的平面角的余弦.
【详解】（1）连接，底面为平行四边形，
是的中点，是的中点，，
是的中点，是的中点，，
，，平面平面，
平面，平面；
（2）由平面，平行四边形，
平面底面，，，
四边形为矩形，且底面，，过作，
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图），
由，，，知，
、、、、、，
、、，
设平面的法向量为，
则,
取，，，即，
设平面的法向量为
则,
取，，，即，
二面角的平面角的余弦.
【点睛】本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。

在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。

为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。

2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员。

培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示：
（1）从海航班学员中任选2名学员，他们10月参加活动次数恰好相等的概率；
（2）从海航班学员中任选2名学员，用表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值，求
随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人，参加活动2次有25人，
参加活动3次有15人，从中任选2名学员，则
.
（2）依题意，随机变量的取值有0、1、2，计算可得；，
，据此可得数列的分布列，然后求解其数学期望可得.
【详解】（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人，参加活动2次有25人，参加活动3次有15人，据此计算可得.
（2）依题意，随机变量的取值有0、1、2，求解相应的概率值可得
从海航班中任选2名学员，
记事件:“这两人中一人参加1次活动，一人参加2次活动，
事件:“这两人中一人参加2次活动，一人参加3次活动”，
事件:“这两人中一人参加1次活动，一人参加3次活动”，
；，
，
随机变量的分布列为：
随机变量的期望.
【点睛】本题主要考查等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意结合椭圆的离心率可得，，则椭圆方程为；
（2）设直线方程：，、，联立直线方程与椭圆方程可得
，由两点之间距离公式可得，由直线与椭圆相交可得
，且，故，结合二次函数的性质可得四边形面积的取值范围．
【详解】（1）由椭圆焦距为，设，，连结，设，
则，又，得，
，
解得，，所以椭圆方程为；
（2）设直线方程：，、，
由，得，所以，
由（1）知直线：，代入椭圆得，得，
由直线与线段相交于点，得，
，
而与，知，，
由，得，所以，
四边形面积的取值范围．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得（），分类讨论可得当时，在上单调递减；当时，在上，单调递增；在上，单调递减.
（2）由题意可得（），切线放缩可得，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围．
【详解】（1）由题知（），
①当时，恒有，得在上单调递减；
②当时，由，得，在上，有，单调递增；
在上，有，单调递减.
（2）由题知（），
由时，恒有，知，
①当，即时，恒成立，即在上单调递增，
（合题意）；
②当时，即时，此时导函数有正有负，且有，
由，得，且在上单调递增，
当时，，，，，
故在上存在唯一的零点，当时，，
即在上递减，此时，知在上递减，
此时与已知矛盾（不合题意）；
综合上述：满足条件的实数的取值范围．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）经过点作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的普通方程.
【答案】（1）曲线的普通方程为；（2）直线的普通方程为
或.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程；（2）先设直线的参数方程，代入圆方程，根据参数几何意义，列方程解得，最后根据点斜式得结果.
【详解】（Ⅰ）由曲线的参数方程，得（为参数）
所以曲线的普通方程为.
（Ⅱ）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）
代入曲线的直角坐标方程，得，即
所以，由题意可知，得
所以，即或. 即或.
所以直线的普通方程为或
【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
23.已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若存在,使得成立, 求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先求、
两个函数值域，再根据它们交集非空列不等式，解得实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）由
①当时，，得,即；
②当时，，得,即；
③当时，，得,即；
综上：不等式解集是；
（Ⅱ）存在,使得成立，即、两个函数值域有交集
由，知，
由，知
所以，即为所求.
【点睛】含绝对值不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。