交大大物答案第二篇

习题
2-1. 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时刻转变的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dt dv m kv f =-=， 分离变量，可得：vdt
dv m k =- 两边同时积分，因此：t m k e v v -=0 （2）子弹进入沙土的最大深度也确实是v=0的时候子弹的位移，那么：
由vdt dv m k =-
可推出：dv k
m vdt -=，而那个式子两边积分就能够够取得位移：00max 0v m m x vdt dv v k k ==-=⎰⎰ 。

2-2. 一条质量散布均匀的绳索，质量为M 、长度为L ，
一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上
旋转．设转动进程中绳索始终伸直不打弯，且忽略重力，求
距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．
解：在绳索中距离转轴为r 处取一小段绳索，假设其质量为dm ，可知：L
Md dm =，分析这dm 的绳索的受力情形，因为它做的是圆周运动，因此咱
们可列出： L Mdr r rdm r dT 22ωω==）（。

距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 之外的绳索转动的向心力，因此
两边积分：）（）（）
（2222r L L
M r dT r T L r -==⎰ω
2-3. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2
/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。

解：由题意和牛顿第二定律可得：dx dv mv dt dx dx dv m dt dv m x k f ===-
=2 再采取分离变量法可得：mvdv dx x
k =-2 ， 两边同时取积分，那么：mvdv dx x
k v A A ⎰⎰=-024/ 因此：mA k v 6=
2-4. 一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力j i F 2244t -=(SI)的作用，0=t 时，它的初速度为j i v 430+=(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F .
解：由题意和牛顿第二定律可得：dt d m m v a f ==，代入f 与v ，并两边积分，v j i md dt t v
v ⎰⎰=-0)244(21
0， )]43([284j i v j i +-⨯=- i v 5=
速度是i 方向，也确实是切向的，因此法向的力是j 方向的，那么24=-F j
2-5. 如图，用质量为1m 的板车运载一质量为
2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路
面间的转动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动
解：依照题意，要使木箱不致于滑动，必需使板车与木箱具有相同的加速度，因此列式：21222
msx F m g f a m m m m μ'===+ 可得：g m m F )(21+μ
2-6. 如下图一倾角为θ的斜面放在水平
面上，斜面上放一木块，二者间摩擦系数为
)(θμtg <。

为使木块相对斜面静止，求斜面
加速度a 的范围。

解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将
别离具有向上和向下滑动的趋势，这确实是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：mg N N =+θθμcos sin ma N N =-θμθcos sin 可计算取得：现在的θμμθtan 1tan 1+-=a g （2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：θθμcos sin N mg N =+ ma N N =+θμθcos sin 可计算取得：现在的θ
μμθtan 1tan 2-+=a g 因此 tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ
-+≤≤+-
2-7. 一质量为M 、顶角为α的三
角形滑腻物体上。

放有一质量为m 的
物块，如下图。

设各面间的摩擦力都
可忽略不计。

试按以下三种方式：（1）
用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿
定律及运动叠加原理；（3）用非惯性
系中力学定律；求解三角形物块的加
速度M a .
解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发觉方程完备性不够，即未知数例如程数多，关键在于，M 与m 的运动有联系的，M 沿地面运动，m 沿斜面运动，这确实是约束条件。

取地面作为参考系，那么m 的运动为： sin x N ma α-= （1）
cos y N mg ma α-= （2）
M 的运动方程为：sin M N Ma α= （3）
下面列出约束条件的方程：取M 作为参考系，设m 在其中的相对加速度为
a '，在x,y 方向的分量别离为'x a 与'y a ，那么：tan y x
a a α'=' 利用相对运动的公式，a a a M m '+=
因此：M x x a a a -='
y y a a ='
于是：tan y y x x M
a a a a a α'=='- 即：sin cos sin x y M a a a ααα-= （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
2sin cos sin M m a g M m ααα
=+
2-8. 圆柱形容器内装有必然量的
液体，假设它们一路绕圆柱轴以角速度
ω匀速转动，试问稳固旋转时液面的形
状如何
解：受力分析如图
y m sin N 2
ωΔα= （1） mg cos N Δα= （2）
两式相较 dy dz g y tan 2==ωα dy g y dz 2⎰⎰=ω C y g
ωz +=22
2 当 0=y 时 0z z = 因此 0z C =
022
2z y g
ωz += 稳固旋转时液面是一个抛物面 由于旋转后成为立体，故方程变成【2
220()2z x y z g ω=++】
2-9. 质量为2m 的物体能够在劈形物体的斜面上无摩擦
滑动，劈形物质量为1m ，放置在滑腻的水平面上，斜面倾角
为θ，求释放后两物体的加速度及它们的彼此作使
劲。

解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发觉
方程完备性不够，即未知数例如程数多，关键在于，m 1与m 2的运动有联系的，m 1沿地面运动，m 2沿斜面运动，这确实是约束条件。

取地面作为参考系，那么m 2的运动为： x a m N 2sin =-θ （1）
y a m g m N 22cos =-θ （2）
m 1的运动方程为：11sin N m a θ= （3）
下面列出约束条件的方程：取m 1作为参考系，设m 2在其中的相对加速度为a '，在x,y 方向的分量别离为'x a 与'y a ，那么：x y a a ''=
θtan
利用相对运动的公式，21a a a '=+
因此：1x x a a a '=-
y y a a ='
于是：1
tan y y x x a a a a a θ'=='- 即：1sin cos sin x y a a a θθθ-= （4）
由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：
21212sin cos sin m a g m m θθθ=+；12212sin cos sin m a g m m θθθ=-+；12212()sin sin m m a g m m θθ
+'=+ 彼此作使劲N=
g m m m m θθ22121sin cos + 2-10. 一小环套在滑腻细杆上，细杆以倾角θ绕竖直轴作匀角速
度转动，角速度为ω，求：小环平稳时距杆端点O 的距离r .
解：依照题意，当小环能平稳时，其运动为绕Z 轴的圆周运动，
因此可列式：
mg N =θsin
θωθsin cos 2r m N =
因此，可得：θθωsin tan 2g r =
2-11. 设质量为m 的带电微粒受到沿x 方向的电力i F )(cx b +=，计算粒子在任一时刻t 的速度和位置，假定0=t 时，0,000==x v .其中c b 、为与时刻无关的常数，m 、F 、x 、t 的单位别离为kg 、N 、m 、s .
解：依照题意和牛顿第二定律，可列式：22)(dt d m cx b x =+=i F ， 整理可得二阶微分方程：022=--b cx dt
d m x 。

令m
c =2ω 下面分c 为正负再做进一步讨论。

当00222=-+m b x dt
d c ωx 时， ，可得：c
b t
c b x -=ωcos 一次求导，取得：t c
b
v ωωsin -= 当00222=--m b x dt d c ωx 时， ，可得：c
b e e
c b x t t -+=-)(2ωω 一次求导，取得：)(2t t e e c
b v ωωω--=
2-12. 在滑腻的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R ，一
小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为μ，在0=t 时，球的速度
为0v ，求任一时刻球的速度和运动路程。

解：在法向上有 R
v m N 2
= 而 N μf = 在切向上有 dt
dv m f =- 由上面三个式子可得 R
v μdt dv 2
-=
dt R μdv v t v
v ⎰⎰=-0201 t μv R R v v 00+= )1ln(00000R
t μv μR t μv R dt R v vdt S t t +=+==
⎰⎰
试探题
2-1. 质量为m 的小球，放在滑腻的木板和滑腻的墙壁之间，并
维持平稳，如下图．设木板和墙壁之间的夹角为，当慢慢增大时，小球对木板的压力将如何转变
解：假设墙壁对小球的压力为N 1，木板对小球的压力为N 2。

由受力分析图可知：
mg N =αsin 2
因此当因此α增大，小球对木板的压力为N 2将减小；
同时：12cos N N =α
αmgctg N =1 因此α增大，小球对墙壁的压力1N 也减小。

2-2. 质量别离为m 1和m 2的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如下图．如突然撤消拉力，那么刚撤消后刹时，二者的加速度a A 和a B 别离
为多少
解：别离对A ，B 进行受力分析，由受力分析图可知： g m m F )(21+=μ
g m kx F 1μ+=
g m kx 2μ= 因此.0,121=+=B A a g m m m a μ 2-3. 如下图，用一斜向上的力F (与水平成30°角)，将一重为
G 的木块压靠在竖直壁面上，若是不论用如何大的力F ，都不能使
木块向上滑动，那么说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小为多
少
解：假设墙壁对木块的压力为N ，由受力分析图可知：
N G F μα+=sin
αcos F N =
整理上式，而且依照题意，若是不论用如何大的力F ，都不能使木块向上滑动，那么说明：F G F 2
321μ+≤ 即当F F 2321μ 此式中F 不管为多大，
总成立，那么可得：33 μ 2-4. 质量别离为m 和M 的滑块A 和B ，叠放在滑腻水
平桌面上，如下图．A 、B 间静摩擦系数为s μ，滑动摩擦系
数为k μ，系统原处于静止．今有一水平力作用于A 上，要使A 、B 不发生相对滑动，那么F 应取什么范围
解：依照题意，别离对A ，B 进行受力分析，要使A ，B 不发生相对滑动，必需使二者具有相同的加速度，因此列式：M mg M m F a s msx μ=+=
可得：g M
M m m F s
）（+μ
2-5. 如图，物体A 、B 质量相同，B 在滑腻水平桌面
上．滑轮与绳的质量和空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的
摩擦也不计．系统无初速地释放，那么物体A 下落的加速
度是多少
解：别离对A ，B 进行受力分析，由受力分析图可知： 111a m T g m =-
222a m T =
122
1a a =
那么可计算取得：g a 5
41= 2-6. 如下图，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨
道是滑腻的，在从A 至C 的下滑进程中，下面哪个说法是
正确的
(A) 它的加速度大小不变，方向永久指向圆心。

(B) 它的速度均匀增加。

(C) 它的合外力大小转变，方向永久指向圆心。

(D) 它的合外力大小不变。

(E) 轨道支持力的大小不断增加。

在下滑进程中，物体做圆周运动。

而且v 在增大，因此它既有法向加速度，又有切向加速度，A 的说法不对；
速度的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，因此速度增加不均匀；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在转变，因此合力的大小方向也在转变。

C ，D 的说法都不对。

下滑进程中的θ和v 都在增大，因此N 也在增大，R v m mg N 2
sin +=θ 则E 的说法正确。

2-7. 一小珠可在半径为R 的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度ω转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大
解：依照题意，当小珠能相关于圆环平稳时，其运动为绕Z 轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：
mg N =θcos
θωθsin sin 2R m N = 因此，可得：R g 2cos ωθ=
2-8. 几个不同倾角的滑腻斜面，有一起的底边，极点也在同一
竖直面上（如下图）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑
到下端的时刻最短，那么斜面的倾角应选
(A) 60°． (B) 45°．
(C) 30°． (D) 15°．
解：依照题意，假设底边长为s ，斜面的倾角为θ，可列式：
θ
θcos sin 212s t g = θ
2sin 42g s t =
当θ=45。

时，时刻最短。

2-9. 如下图，小球A 用轻弹簧A O 1与轻绳A O 2系住；小球B 用轻绳B O 1
'与B O 2'系住，今剪断A O 2绳和B O 2'绳，在刚剪断的刹时，A 、B 球的加速气
宇值和方向是不是相同
解：不同。

关于a 图，在剪断绳索的刹时，弹簧的伸长没
有转变，因此弹簧的拉力F 不变，A 的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T ，因此：
ma T F ==αsin
mg F =αcos
因此加速度大小为：αtan g a =，方向为水平方向。

关于b 图，在剪断绳索的刹时，绳索拉力F 转变，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。

因此：
t ma mg =αsin
0cos 2===-R
v m ma mg T n α 因此加速度大小为：αsin g a =，方向为与绳垂直的切线方向。

2-10. 两质量均为m 的小球穿在一滑腻圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放刹时绳上张力为多少
解：在释放刹时上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，二者加速度大小相等，方向相互垂直。

ma 45sin T 0= （1）
m a 45sin T m g 0=-
（2） 两式联立消去a
2mg
245sin 2mg T 0==。