2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区众望中学九年级(上)期中数学试卷人(含解析)

2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区众望中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3、﹣1）D．（﹣3，1）2．（4分）3毫米精密零件画在图纸上是30厘米，图纸比例尺是（ ）A．1：10B．1：100C．10：1D．100：1
3．（4分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
4．（4分）下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
5．（4分）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法正确的是（ ）
A．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2B．若y1＝y2，则x1＝x2
C．若x1＜x2＜0，则y1＜y2D．若0＜x1＜x2，则y1＜y2
6．（4分）如图，在△ABC中点D在线段BC上，请添加一条件使△ABC∽△DBA（ ）
A．AB2＝AC•BD B．AB2＝BC•BD
C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AC•BD
7．（4分）在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，且，CD与AE交于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，则a值为（ ）
A．B．C．D．1
10．（4分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，已知AD＝AB，连接BE交AD于F；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，再向右平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为 ．
12．（5分）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37℃）之比等于黄金分割比0.618时，这个气温约为 ℃（精确到0.1）．
13．（5分）已知一个腰长为8，底边为6的三角形，请你以4为边画新的三角形，所画三角形的腰长为 ．
14．（5分）二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数）的图象如图所示，设关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝1的两个实数根分别为x1，x2，若x1•x2＞0，则实数m的取值范围为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；
（2）若该抛物线的顶点为C点，求△ABC的面积．
16．（8分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．
（1）求证：无论k取任何实数，该函数图象与x轴总有交点；
（2）若图象与x轴仅有一个交点，当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
18．（8分）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，并说明理由．
五、（本题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，反比例函数的图象交PM于点A
（1）求k的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，请直接写出不等式的解集．
20．（10分）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数；
（3）连接EC，若AB＝AC，BD＝5
六、（本题满分12分）
21．（12分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，点D在边AC上，连接BD交CE于点F （1）求证：BD⊥AC；
（2）求证：△AEC∽△FEB；
（3）连接AF，已知EF：BE＝3：5，求AF：BC．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）若点C是二次函数y＝x2+bx+c的图象上一点，且满足CA＝CB，求C点坐标；
（3）直线y＝（a﹣1）x+a﹣1的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜0＜x2，求y2﹣y1的最小值．
2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区众望中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3、﹣1）D．（﹣3，1）
【答案】B
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点的方法是解题的关键．
2．（4分）3毫米精密零件画在图纸上是30厘米，图纸比例尺是（ ）A．1：10B．1：100C．10：1D．100：1
【答案】D
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，把实际长度3毫米，图上长度是30厘米代入得出图纸比例尺．
【解答】解：30厘米＝300毫米，
300：3＝100：1．
答：图纸比例尺是100：2．
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离：实际距离＝比例尺是解题的关键．
3．（4分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
【答案】D
【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一，
∴a﹣2＞8，
∴a＞2．
故选：D．
【点评】本题运用了反比例函数y＝图象的性质，关键要知道k的决定性作用．4．（4分）下列图形中，不一定相似的是（ ）
A．两条对角线的比相等的两个平行四边形
B．邻边之比相等的两个矩形
C．有一组角对应相等的两个菱形
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形
【答案】A
【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可．【解答】解：A．两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，故此选项符合题意；
B．邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，一定相似；
C．有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，一定相似；
D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似；
故选：A．
【点评】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质．
5．（4分）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法正确的是（ ）
A．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2B．若y1＝y2，则x1＝x2
C．若x1＜x2＜0，则y1＜y2D．若0＜x1＜x2，则y1＜y2
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质即可一一判断；
【解答】解：A、若x1＝﹣x2，则y6＝y2，故本选项不符合题意；
B、若y1＝y7，则|x1|＝|x2|，故本选项不符合题意；
C、若x2＜x2＜0，则y4＞y2，故本选项不符合题意；
D、若0＜x5＜x2，则y1＜y2，本选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．
6．（4分）如图，在△ABC中点D在线段BC上，请添加一条件使△ABC∽△DBA（ ）
A．AB2＝AC•BD B．AB2＝BC•BD
C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AC•BD
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：若添加AB2＝AC•BD，不能判定△ABC∽△DBA，
若添加AB2＝BC•BD，能判定△ABC∽△DBA；
理由：∵AB7＝BC•BD，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABC∽△DBA．
故B选项符合题意，
若添加AB•AD＝BD•BC，不能判定△ABC∽△DBA，
若添加AB•AD＝AC•BD，不能判定△ABC∽△DBA，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7．（4分）在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx 的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，由直线可知，矛盾；
B、由抛物线可知，x＝﹣，得b＞0，a＜5，一致；
C、由抛物线可知，x＝﹣，得b＜0，a＞2，矛盾；
D、由y＝ax2+bx可知，抛物线经过原点；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
8．（4分）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，且，CD与AE交于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作DH∥BC交AE于H，可得DH为△ABE的中位线，可得DH＝BE，设BE＝3x，则CE＝2x，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H，
∵D是AB边的中点，
∴点H是AE的中点，
∴DH是△ABE的中位线，
∴DH＝BE，
设BE＝4x，则CE＝2x x，
∵DH∥BC，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点D作DH∥BC，构造三角形的中位线是解题的关键．
9．（4分）如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，则a值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据抛物线解析式求出对称轴为x＝3，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，
然后根据CD＝3列方程求解即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+k的对称轴为x＝6，△ABC为等边三角形，
∴AD＝3，CD＝3，k）
∵当x＝0时，y＝9a+k，
∴A（6，9a+k），
∴9a+k﹣k＝4，
∴a＝．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，已知AD＝AB，连接BE交AD于F；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE＝CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD＝∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF
＝FH＝HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF＝DF，S△ABF＝3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，
∴CE＝BE，故本答案正确；
∴∠C＝∠7，
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠4+∠7，
∵∠8＝∠C+∠2，
∴∠C+∠4＝∠6+∠8，
∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠3＝∠3，DG＝BG＝，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，∠EDA＝∠3，∴CD：CG＝DE：AG，HG＝，
设DG＝x，DE＝2y，CD＝2x，
∴8x：3x＝2y：AG，
解得：AG＝5y，HG＝y，
∴AH＝2y，
∴DE＝AH，且∠EDA＝∠3
∴△DEF≌△AHF
∴AF＝DF，故本答案正确；
EF＝HF＝EH，
∴EF：BF＝1：4，
∴S△ABF＝3S△AEF，
∵S△DEF＝S△AEF，
∴S△ABF＝3S△DEF，故本答案正确；
∵∠4＝∠2+∠6，且∠5＝∠6，
∴∠5＝∠5+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立．
综上所述：正确的答案有4个．
故选：B．
【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，再向右平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为　y＝（x﹣1）2﹣1　．
【答案】y＝（x﹣1）2﹣1．
【分析】根据二次函数图象上点的平移规律（左减右加，上加下减）进行解答即可．【解答】解：原抛物线y＝x2的顶点为（0，5），再向右平移1个单位，﹣1）．
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）6+k，代入得：y＝（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣7．
【点评】此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12．（5分）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37℃）之比等于黄金分割比0.618时，这个气温约为　22.9　℃（精确到0.1）．
【答案】22.9．
【分析】根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为37℃的0.618倍．
【解答】解：根据黄金比的值得：37×0.618≈22.9（℃）．
故本题答案为：22.8．
【点评】本题考查了黄金分割在实际生活中的应用，根据黄金分割比的意义得出身体感到特别舒适的温度应为37℃的0.618倍是解题的关键．
13．（5分）已知一个腰长为8，底边为6的三角形，请你以4为边画新的三角形，所画三角
形的腰长为　或4　．
【答案】或3．
【分析】新的三角形中以4为底边时，设新的三角形中腰为x时，根据题意得，，新的三角形中以4为腰时，设新的三角形中底边为y时，根据题意得，，进行计算即可得．
【解答】解：如图所示，新的三角形中以4为底边时，
设新的三角形中腰为x时，根据题意得，＝，
如图所示，新的三角形中以4为腰时，
设新的三角形中底边为y时，根据题意得，，
综上，所画三角形的腰长为，
故答案为：或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
14．（5分）二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数）的图象如图所示，设关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝1的两个实数根分别为x1，x2，若x1•x2＞0，则实数m的取值范围为　1＜m ≤4　．
【答案】1＜m≤4．
【分析】根据题意得出方程ax2+bx+m＝1的根即为二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y ＝1﹣m的交点横坐标，结合函数图象得出当直线y＝1﹣m与二次函数y＝ax2+bx在x轴下方图象相交时，满足x1，x2均小于0，x1⋅x2＞0，再考虑临界条件1﹣m＝﹣3，然后求解即可．
【解答】解：由ax2+bx+m＝1可得，ax5+bx＝1﹣m，
∴方程ax2+bx+m＝8的根即为二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝1﹣m的交点横坐标，当直线y＝7﹣m与二次函数y＝ax2+bx在x轴下方图象相交时，满足x1，x2均小于0，则x1•x3＞0，
特殊的，当1﹣m＝﹣8时，x1＝x2＜5，
∴﹣3≤1﹣m＜2，
∴1＜m≤4，
故答案为：4＜m≤4．
【点评】题目主要考查利用图象法求解未知数的取值范围，理解题意，将方程变形为两个函数的交点问题是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若该抛物线的顶点为C点，求△ABC的面积．
【答案】（1）A（0，0），B（4，0）；
（2）8．
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，令y＝0解一元二次方程即可；
（2）根据函数解析式确定点C的坐标为（2，4），然后结合（1）中结论得出AB＝4，求三角形面积即可．
【解答】解：（1）令y＝0得﹣x2+6x＝0，
解得：x1＝4，x2＝4，
∴点A（8，0），0）；
（2）∵A（3，0），0），
∴AB＝4，
由y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣5）2+4得C点坐标为（8，4），
∴△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查二次函数的基本性质及与坐标轴的交点问题，三角形面积问题等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
16．（8分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）12，8；
（2）4．
【分析】（1）利用a：b＝3：2，可设a＝3k，b＝2k，则3k+4k＝28，然后解出k的值即可得到a、b的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝96，然后根据算术平方根的定义求解．【解答】解：（1）∵a：b＝3：2
∴设a＝5k，b＝2k，
∵a+2b＝28，
∴8k+4k＝28，
∴k＝4，
∴a＝12，b＝4；
（2）∵x是a：b的比例中项，
∴x2＝ab＝96，
∵x是线段，x＞0，
∴x＝3．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．
（1）求证：无论k取任何实数，该函数图象与x轴总有交点；
（2）若图象与x轴仅有一个交点，当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）0≤y≤4．
【分析】（1）令y＝0，则kx2+（k+1）x+1＝0，说明此方程的Δ≥0即可；
（2）利用该函数的图象与x轴只有一个交点，得到Δ＝0，解关于k的方程求得k值，再利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx2+（k+2）x+1＝0，
∵Δ＝（k+4）2﹣4k＝k7+2k+1﹣7k＝k2﹣2k+8＝（k﹣1）2≥2，
∴无论k取任何实数，方程kx2+（k+1）x+3＝0总有实数根，
∴无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；
（2）∵该函数的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（k﹣1）5＝0．
解：k＝1，
∴y＝x6+2x+1＝（x+8）2．
∴该二次函数开口向上，对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣7，函数取得最小值0，函数取得最大值4，
∴y的取值范围为4≤y≤4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数解析式是解题的关键．
18．（8分）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．
【解答】解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，DE＝4，
∵＝，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（SSS）
五、（本题2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，反比例函数的图象交PM于点A
（1）求k的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）k＝6；
（2）0＜x≤2或x≥6．
【分析】（1）根据题意及反比例函数得出，，结合图象得S矩形OMPN﹣S△
OAM﹣S△NBO＝12，代入求解即可；
（2）根据（1）中结论确定A（6，1），B（2，3），结合函数图象即可得出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵点P（6，3），点B的纵坐标为3，
代入反比例函数得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即，，
∵S四边形OAPB＝12，即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO＝12，
，
解得：k＝2；
（2）由（1）得k＝6，
∴反比例函数的解析式为，
∴A（2，1），3），
连接AB并双向延长，
根据图象得不等式的解集为6＜x≤2或x≥6．
【点评】题目主要考查反比例函数的几何意义，确定反比例函数的解析式及与一次函数的交点与不等式问题，理解题意，确定反比例函数的解析式是解题关键．
20．（10分）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数；
（3）连接EC，若AB＝AC，BD＝5
【答案】（1）见解析；
（2）∠EBC＝21°；
（3）CE＝5．
【分析】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵，
∴△ABC∽△ADE；
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC＝∠BAD＝21°；
（3）解：连接CE，
∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∵AB＝AC，BD＝5，
∴CE＝BD＝5．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（Ⅱ）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+2（a≠0），
将（8，7）代入y＝a（x﹣3）2+8，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+2（0＜x＜8）．（Ⅱ）当y＝8.8时，有﹣2+5＝5.8，
解得：x1＝﹣5，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高3.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知，在锐角△ABC中，点D在边AC上，连接BD交CE于点F （1）求证：BD⊥AC；
（2）求证：△AEC∽△FEB；
（3）连接AF，已知EF：BE＝3：5，求AF：BC．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）证明过程见解析；
（3）AF：BC＝3：5．
【分析】（1）根据已知条件证明△EFB∽△DFC，得到∠FEB＝∠FDC，根据CE⊥AB，即可得到∠FDC＝90°，即可得解；
（2）由△EFB∽△DFC得到∠ABD＝∠ACE，根据CE⊥AB，得到∠FEB＝∠AEC＝90°，即可得证；
（3）由（2）得，证明△AEF∽△CEB，即可得到结果；
【解答】（1）证明：∵EF⋅FC＝FB⋅DF，
∴，
∵∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴∠FEB＝∠FDC，
∵CE⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）证明：∵△EFB∽△DFC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵CE⊥AB，
∴∠FEB＝∠AEC＝90°，
∴△AEC∽△FEB；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∵∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴△AEF∽△CEB，
∴，
∴EF：BE＝3：5，
∴AF：BC＝4：5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确证明三角形相似是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）若点C是二次函数y＝x2+bx+c的图象上一点，且满足CA＝CB，求C点坐标；
（3）直线y＝（a﹣1）x+a﹣1的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜0＜x2，求y2﹣y1的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）或；
（3）当时，y2﹣y1取得最小值，理由见解析．
【分析】（1）待定系数法直接求出二次函数解析式；
（2）由CA＝CB，得出OA＝OB，AB的垂直平分线对应的一次函数解析式为y＝﹣x，联立方程即可得出答案；
（3）直线和二次函数联立，得出[x﹣（a+1）]（x+1）＝0，解得x＝a+1或﹣1，由于x1＜0＜x2，所以x1＝﹣1，将x1，x2代入解析式得y1＝0，，得出
，从而得出答案．
【解答】解：（1）将A（0，﹣2），8）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得c＝﹣2，
解得b＝﹣7．
所以二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵CA＝CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴OA＝OB，
∴O点在线段AB的垂直平分线上，
∵∠AOB＝90°，
∴AB的垂直平分线对应的一次函数解析式为y＝﹣x，
联立，
解得或；
（3）联立，
得（a﹣1）x+a﹣1＝x2﹣x﹣2，
化简，得x2﹣ax﹣（a+2）＝0，
则[x﹣（a+1）]（x+4）＝0，
解得，x＝a+1或﹣3（也可利用公式法），
由于x1＜0＜x5，
所以x1＝﹣1，
将x2，x2代入解析式得y1＝3，，
所以，，
当时，y3﹣y1取得最小值．
【点评】本题考查二次函数，一次函数，线段的垂直平分线，正确得出二次函数解析式是解题的关键，难度适中．。