2020年广东省东莞市名校中考模拟数学试题含答案

2020年广东省东莞市名校中考模拟数学试题时间120分钟满分120分
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．﹣2的绝对值是（）
A． 2 B．﹣2 C． 0 D．
2．下列计算正确的是（）
A． a3+a2=a5 B． a3•a2=a6 C．（a2）3=a6 D．
3．人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（） A． 7.7×10﹣5m B． 77×10﹣6m C． 77×10﹣5m D． 7.7×10﹣6m
4．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是（）
A． B． C． D．
5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（） A． 5 B． 6 C． 11 D． 16
6．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这五个数据的众数和中位数分别是（）
A． 9，8 B． 9，7 C． 8，9 D． 9，9
7．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．
如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）
A． 15° B． 20° C． 25° D． 30°
8．一元二次方程x2=2x的解是（）
A． x=2 B． x
1=0，x
2
=2 C． x
1
=0，x
2
=﹣2 D．此方程无解
9．如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的面积为（）
A． 10 B． 20 C． 48 D． 24
10．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A． B． C． D．
二．填空题（每题4分，共24分）
11．函数：中，自变量x的取值范围是．
12．化简：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2= ．
13．五边形的内角和为．
14．因式分解：x3﹣x= ．
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．16．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．
三、解答题：（每题6分，共18分）
17．计算：（﹣1）2015+（）0+÷tan45°．
18．解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出解集中的整数解．
19．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．
（1）作AC的垂直平分线与AB交于点O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）以点O为圆心，AO为半径作⊙O，判断BC与⊙O的位置关系（不用证明）
四．解答题：（每题7分，共21分）
20．2014年5月，我市某中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，n= ；C等级对应扇形的圆心角为
度；
（3）学校欲从获A等级的学生（用甲、乙、丙、丁表示）中随机选取2人参加演讲比赛，请用列表法或树形图法，求抽到甲参加市比赛的概率．
21．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次的数量多450千克．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克16元的价格把第二批干
果卖完，请预算超市可以盈利多少元？
22．如图，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
五、解答题：（每题9分，共27分）
23．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣9x+18=0
的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=
（1）求点A，C的坐标；
（2）求AB的长；
（3）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值．
24．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形PQMN，使点Q落在线段AE上，点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？并求出其最大值．
25．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，
0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点
出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，
其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴
上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰
三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理
由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
参考答案
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．故选：A．2．故选C．3．故选D．4．故选：D．5．故选：C．6．故选A．7．故选：C．8．故选B
9．故选D．10．故选：C．
二．填空题（每题4分，共24分）
11．故答案为x≠﹣1．12．故答案是：2a2﹣2ab．13．故答案为：540°．14．故答案为：x（x+1）（x﹣1）15．故答案为：6．16．4﹣．
三、解答题：（每题6分，共18分）
17．解：原式=﹣1+1+2÷1=2．
18．解：
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
不等式组的整数解为﹣1，0．
19．解：（1）如图，直线l为所求；
（2）⊙O为所求．
BC与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵直线l垂直平分AC，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=50°，
∵∠B=40°，
∴∠BCO=180°﹣∠BOC﹣∠B=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线．
四．解答题：（每题7分，共21分）
20．解：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40（人），则B等级的人数是：40﹣4﹣16﹣12=8（人），
故答案为40，如图所示：
（2）C所占的百分比：×100%=40%．
C等级对应扇形的圆心角是：360×40%=144°，
故答案为40，144；
（3）设A等级的用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．
共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）==．
21．解：（1）设第一次的进价为x元，由题意得：
﹣=450，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
答：该种干果的第一次进价是每千克10元；
（2）第二批进的干果数量：9000÷[（1+20%）×10]=75（千克），
[16﹣（1+20%）×10]×75=300（元），
答：超市可以盈利300元．
22．解：如图，延长BC交AN于点D，则BC⊥AN于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，
∴CD=AC=10，AD=CD=10．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°，
∴∠B=22°，
∴AB=≈≈46.81，
BD=AB•cos∠B≈46.81×0.93=43.53，
∴BC=BD﹣CD=43.53﹣10=33.53，
∴救生船到达B处大约需要：33.53÷20≈1.7（小时）．答：救生船到达B处大约需要1.7小时．
五、解答题：（每题9分，共27分）
23．解：（1）方程x2﹣9x+18=0，
变形得：（x﹣3）（x﹣6）=0，
解得：x=3或x=6，
∴OA=6，OC=3，
则A（6，0），C（﹣3，0）；
（2）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，
∴=，
∴OB=8，
根据勾股定理得：AB==10；
（3）过E作EF⊥x轴，交x轴于点F，
∵∠EAF=∠BAO，∠EFA=∠BOA=90°，
∴△AEF∽△ABO，
∵OB=8，AB=10，AE=AB﹣BE=10﹣5=5，
∴=，即=，
∴EF=4，即E纵坐标为4，
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（6，0），B（0，8）代入得：，解得：，
∴直线AB解析式为y=﹣x+8，
把y=4代入得：x=3，即E（3，4），
把E坐标代入反比例解析式得：k=12，
则k的值为12．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC．
由折叠可得：EC=BC，AE=AB，
∴AD=EC，AE=DC．
在△DEC和△EDA中，
，
∴△DEC≌△EDA．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCA=∠BAC．
由折叠可得∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF．
设DF=x，则AF=CF=DC﹣DF=AB﹣DF=4﹣x．在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2=AF2，
∴32+x2=（4﹣x）2，
解得：x=．
∴DF的值为．
（3）解：过点E作EH⊥AC于点H，交QP于点G，设EP=x，如图2，
则有EG⊥PQ．
在Rt△AEC中，
∵AE=AB=4，EC=BC=AD=3，
∴AC=5．
∵S△AEC=AE•EC=AC•EH，
∴EH===．
∵四边形PQMN是矩形，
∴PQ∥MN，
∴△EPQ∽△ECA，
∴==，
∴==，
∴EG=x，PQ=x，
∴GH=EH﹣EG=﹣x，
∴S矩形PQMN=PQ•GH
=x•（﹣x）
=﹣
=﹣（x2﹣3x）
=﹣[（x﹣）2﹣]
=﹣（x﹣）2+3．
∵﹣＜0，
∴当x=时，S矩形PQMN最大，最大值为3．
∴当线段PE的长为时，矩形PQMN的面积最大，最大值为3．
25．解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得，
∴y=x2﹣x﹣4．
∴C（0，﹣4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC==5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴，
∴，
∴QD=，AD=．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，
∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣，
∴E（﹣，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，∵ED=AD=，
∴AE=，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣，
∴E（﹣，0）．
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，
∴E（﹣1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴，
∴，
∴AF=，FQ=，
∴Q（3﹣，﹣），
∵DQ=AP=t，
∴D（3﹣﹣t，﹣），
∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴D（﹣，﹣）．。