(复习指导)第5章第3节等比数列含解析

第3节 等比数列
一、教材概念·结论·性质重现 1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数q ，那么数列{a n }就称为等比数列，其中q 称为等比数列的公比，定义的递推公式为a n ＋1a n
＝q (常数)．
(2)等比中项：如果x ，G ，y 是等比数列，那么称G 为x 与y 的等比中项．因此G 2＝xy .
(1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0；
②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数．
(2)“G 2＝xy ”是“x ，G ，y 成等比数列”的必要不充分条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.
(2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：
S n ＝⎩⎨⎧
na 1，q ＝
1，
a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q ，q ≠1.
(1)等比数列通项公式与指数函数的关系
等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1还可以改写为a n ＝a 1q ·q n
，当q ≠1且a 1≠0时，y ＝q x 是指数函数，y ＝a 1q ·q x 是指数型函数，因此数列{a n }的图像是函数y ＝a 1q ·
q x
的图像上一些孤立的点．
(2)求等比数列前n 项和时要对公比q 是否等于1进行分类讨论． 3．等比数列的有关性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝
m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N *
.
对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….
(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{ba n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n ，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭
⎬⎫pa n qb n 仍然是等比数列(其中b ，p ，q 是非零常数)．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．
(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k .
(5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n
T 2n ，…成等比数列．
4．等比数列{a n }的单调性
5．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－a 1
S 偶
＝q .
(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n
S m ⇔q n
＝S n ＋m －S n
S m (q 为公比)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)任意两个实数都有等比中项．( × )
(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a
.( × )
2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4
D ．±4
C 解析：因为a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，所以a 5＝±4. 又因为a 5＝a 3q 2＞0，所以a 5＝4.
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63
D ．64
C 解析：根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.
4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27,81 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，所以q ＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)
39 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n ，
则2n ＝8×210＝213，所以n ＝13. 即病毒共复制了13次． 所以所需时间为13×3＝39(秒).
考点1 等比数列基本量的运算——基础性
1．已知公比大于0的等比数列{a n }满足a 1＝3，前三项和S 3＝21，则a 2＋a 3＋a 4＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
B 解析：S 3＝21＝a 1(1－q 3)
1－q ＝3(1＋q ＋q 2)，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或
q ＝－3(舍)，所以a 2＋a 3＋a 4＝qS 3＝2×21＝42.
2．在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 4或－4 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)， 则⎩⎨⎧
a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，
即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1
2. 所以⎩⎨⎧
a 1＝1，
q ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝－16，q ＝1
2.
故a 3＝4或a 3＝－4.
3．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1
3，a 24＝a 6，则S 5＝________.
1213
解析：由a 24＝a 6，得(a 1q 3)2＝a 1q 5
， 整理得q ＝1a 1
＝3，所以S 5＝13(1－35
)1－3＝121
3.
4．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝9
2，则a 2＝________.
－3或3
2 解析：(方法一：直接法)因为数列{a n }是等比数列， 所以当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，显然S 3＝3a 3＝9
2. 当q ≠1时，由题意可知 ⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1(1－q 3)1－q ＝92，
a 1q 2＝32，
解得q ＝－1
2或q ＝1(舍去)．
所以a 2＝a 3q ＝3
2×(－2)＝－3. 综上可知a 2＝－3或3
2.
(方法二：优解法)由a 3＝3
2得a 1＋a 2＝3. 所以a 3q 2＋a 3
q ＝3， 即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－1
2或q ＝1. 所以a 2＝a 3q ＝－3或3
2.
等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．
考点2 等比数列的性质及应用——应用性
(1)(2020·宝鸡二模)等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，则log 3a 1
＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )
A ．12
B ．15
C ．8
D ．2＋log 35
B 解析：因为等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，所以a 5a 6＝a 3a 8＝27，
所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1×a 2×a 3×…×a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 327＝15.
(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5
＝31
32，则公比q ＝
________.
－12 解析：由S 10S 5
＝31
32，a 1＝－1知公比q ≠±1，
则可得S 10－S 5S 5
＝－132.
由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，
故q 5＝－132，q ＝－1
2.
1．本例(1)条件不变， 则
a 1＋
a 2＋…＋
a 10＝________.
30 解析：因为等比数列{a n }，a n ＞0且a 5a 6＋a 3a 8＝54，所以a 5a 6＝a 3a 8＝27,
所以a 1＋
a 2＋…＋
a 10 ＝ (a 1·a 2·…·a 10)＝ (a 1a 10)5
＝
(a 5a 6)5＝
315＝2log 3315＝30.
2．本例(1)把条件变为“在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 017－a 22 018＋2a 2
019＝0，数列{b n }是等比数列，且
b 2 018＝a 2 018”，试求log 2(b 2 017·b 2 019)的值．
解：因为等差数列{a n }中a 2 017＋a 2 019＝2a 2 018，所以2a 2 017－a 2
2 018＋2a 2 019
＝4a 2 018－a 22 018＝0.
因为各项不为零，所以a 2 018＝4. 因为数列{b n }是等比数列，
所以b 2 017·b 2 019＝a 22 018＝16，
所以log 2(b 2 017·b 2 019)＝log 216＝4.
等比数列性质应用的要点
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．
(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．
设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 5＝8，S 10＝7，求a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15的值．
解：因为a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝S 15－S 10，且S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等比数列，即8，－1，S 15－S 10成等比数列，所以8(S 15－S 10)＝1，即S 15－S 10＝18，所以a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝1
8.
考点3 等比数列的判定和证明——综合性
考向1 用等比数列的定义证明
已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋3n －1，b n ＝a n ＋n . (1)证明：数列{b n }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．
(1)证明：因为b n ＝a n ＋n ，所以b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1. 又因为a n ＋1＝4a n ＋3n －1， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n
＝(4a n ＋3n －1)＋n ＋1
a n ＋n
＝4(a n ＋n )a n ＋n
＝4.
又因为b 1＝a 1＋1＝1＋1＝2，
所以数列{b n }是首项为2，公比为4的等比数列． (2)解：由(1)求解知，b n ＝2×4n －1， 所以a n ＝b n －n ＝2×4n －1－n ，
所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(1＋4＋42＋…＋4n －1)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－4n )1－4－n (n ＋1)2
＝23(4n －1)－12n 2－12n .
判断或证明一个数列为等比数列时应注意的问题
(1)判断或者证明数列为等比数列最基本的方法是用定义判断，其他方法最后都要回到定义．
(2)判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n 项和公式法，但在解答题中不作为证明方法．
(3)若要判断一个数列不是等比数列，只需判断存在连续三项不成等比数列． 考向2 用等比中项法证明等比数列
在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
(1)证明：因为a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)， 即
a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1
a n ＋1＋1
. 因为a 1＝2，a 2＝5，所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝6， 所以
a 2＋1
a 1＋1
＝2， 所以数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1， 所以S n ＝3(1－2n )1－2
－n ＝3·2n －n －3.
证明等比数列问题的注意点
(1)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *
)是{a n }为等比数列的必要而不充分条件，也就
是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明q ≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．
1．设{a n }为等比数列，给出四个数列：①{2a n }；②{a 2n }；③{2a n }；④{log 2|a n |}，其中一定为等比数列的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②④
A 解析：{a n }为等比数列，设其公比为q ，则通项公式为a 1q n －1， 所以对于①，数列{2a n }是以2a 1为首项，以q 为公比的等比数列； 对于②，a 2n
a 2n －1＝q 2为常数，又因为a 21≠0，故②为等比数列； 对于③，
2a n
2a n －1
＝2a n －(a n －1)，不一定为常数； 对于④，log 2|a n |log 2|a n －1|＝log 2|a 1q n －
1|
log 2|a 1q n －2|
，不一定为常数．
2．(2021·八省联考)已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝3
2，求{a n }的通项公式．
解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n 可得a n ＋2＋a n ＋1＝3a n ＋1＋3a n ＝3(a n ＋1＋a n )． 因为各项都为正数，所以a 1＋a 2>0.所以{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)构造a n ＋2－3a n ＋1＝k (a n ＋1－3a n )，整理得a n ＋2＝(k ＋3)a n ＋1－3ka n . 所以k ＝－1，即a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )．所以a n ＋1－3a n ＝－(a n －3a n －1)＝(－1)2×(a n －1－3a n －2)＝…＝(a 2－3a 1)×(－1)n －1＝0.所以a n ＋1＝3a n .所以{a n }是以a 1＝1
2为首项，3为公比的等比数列．所以a n ＝3n －
12(n ∈N ＋)．
3．在数列{a n }中，已知a n ＋1a n ＝2a n －a n ＋1，且a 1＝2(n ∈N *)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是等比数列；
(2)设b n ＝a 2n －a n ，且S n 为{b n }的前n 项和，试证：2≤S n ＜3. 证明：(1)由a n ＋1a n ＝2a n －a n ＋1，得2a n ＋1－1a n ＝1，
即
1
a n ＋1－12a n ＝12，所以1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.
因为a 1＝2，所以1a 1
－1＝12－1＝－1
2≠0， 所以1
a n ＋1－11a n －1
＝12，
即数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n
－1是等比数列．
(2)因为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是等比数列，且首项为－12，公比为12， 所以1a n －1＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n ， 则a n ＝2n
2n －1
.
所以b n ＝a 2
n －a n ＝a n (a n －1)
＝2n 2n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫
2n 2n －1－1＝2n (2n －1)2.
因为b 1＝2，b n ＝2n
(2n －1)2>0，
所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ≥2.
又b n ＝2n (2n －1)2＝2n 22n －2·2n ＋1<2n 22n －2·2n ＝12n －2≤1
2n －1
(n ≥2)，
所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <2＋12＋122＋…＋12n －1＝2＋12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－12n －11－12＝3－12
n －1<3.
所以2≤S n ＜3.
已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝60，则S 30＝________.
[四字程序] 读
想
算
思
求S 30
1.求和公式；
2．如何确定首项与公比？
等比数列的基本运算
转化与化归
等比数列， S 10＝20， S 20＝60
1.基本量法； 2．性质法
1.列方程组求基本
量；
2．利用性质直接求解
1.求和公式； 2．通项公式； 3．和的性质
思路参考：用a 1，q 表示S 10，S 20，求q 10.
140 解析：设数列{a n }的公比为q ，因为S 20≠2S 10，故q ≠1. 又S 10＝20，S 20＝60，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q 10)
1－q ＝20，
a 1(1－q 20)1－q ＝60.
两式相比得q 10＝2，
所以S 30＝S 10＋q 10S 20＝20＋2×60＝140.
思路参考：利用性质S 2n S n
＝1－q 2n 1－q n .
140 解析：由S 10＝20，S 20＝60，易得公比q ≠±1，
根据等比数列前n 项和的性质，可得S 20S 10＝1－q 201－q 10，即6020＝1－q 201－q 10＝1＋q 10
，解得q 10＝2.
又S 30S 10＝1－q 301－q
10，所以S 3020＝1－231－2＝7，S 30＝140.
思路参考：利用性质S n ＋m ＝S n ＋q n S m .
140 解析：根据等比数列前n 项和的性质，可得S 20＝S 10＋q 10S 10，即60＝20＋20q 10，解得q 10＝2，
所以S 30＝S 10＋q 10S 20＝20＋2×60＝140.
思路参考：利用性质S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比．
140 解析：根据等比数列前n 项和的性质，可知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，
则(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，
即(60－20)2＝20(S 30－60)，解得S 30＝140.
1．本题考查等比数列的求和问题，解法灵活多变，要注意认真计算或转化． 2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握运算求解能力、推理能力和转化能力．
3．本题可以从不同的角度解答，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．
3 解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1， 得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， 所以a 4＝3a 3，所以q ＝a 4
a 3
＝3.。