2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：2.7 函数与方程

则 f(f(-2))= .
;若存在互不
答案 3;(2,+∞) 一、选择题
B 组 2016—2018 年模拟·提升题组
1.(2017 浙江名校(杭州二中))定义函数 f(x)=[x],x∈[0,+∞),这里[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 f(x)-log2x=0 的根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个 答案 A 2.(2017 浙江杭州二模(4 月),5)设方程 x=ln(ax)(a≠0,e 为自然对数的底数),则( ) A.当 a<0 时,方程没有实数根 B.当 0<a<e 时,方程有一个实数根 C.当 a=e 时,方程有三个实数根 D.当 a>e 时,方程有两个实数根 答案 D 3.(2017 浙江镇海中学模拟卷(五),6)已知函数 f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sinx+x 的零点依次为 x1,x2,x3,则以下排列正确的是( ) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x1<x2 D.x2<x3<x1 答案 B
解析 (1)因为 a=2,b= ,
所以 f(x)=2x+2-x. ①方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0. ②由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. 因为 f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,且 f(x)>0,
.
答案 2
14.(2015 湖南,15,5 分)已知函数 f(x)=
范围是
.
答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值
15.(2014 江苏,13,5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=
A.
B.
函数 g(x)=b-f(2-x),其中 b∈R.若函数 y=f(x)-g(x)恰有
C.
D.
答案 D 5.(2013 重庆,6,5 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区 间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A
所以 g'(x)=0 有唯一解 x0=lo
.
令 h(x)=g'(x),则 h'(x)=(axlna+bxlnb)'=ax(lna)2+bx(lnb)2,
从而对任意 x∈R,h'(x)>0,所以 g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当 x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当 x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0. 因而函数 g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数. 下证 x0=0.
y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是
.
.若函数
答案 16.(2016 江苏,19,16 分)已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= . ①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.
若 x0>0,同理可得,在 和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾. 因此,x0=0.
于是- =1,故 lna+lnb=0,所以 ab=1.
考点 函数的零点与方程的根
三年模拟 A 组 2016—2018 年模拟·基础题组
1.(2018 浙江重点中学 12 月联考,5)已知点 A 在曲线 y=ax+ (a,b∈R)上,且该曲线在点 A 处的切线与直
二、填空题
4.(2018 浙江镇海中学期中,17)设函数 f(x)=|x-a|- +a,a∈R,若关于 x 的方程 f(x)=2 有且仅有三个不同
的实数根,且它们成等差数列,则实数 a 的取值构成的集合为
.
答案
5.(2017 浙江名校协作体,17)设函数 f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为 x1,x2,且在区间
B.
C.
D.
答案 A
4.(2018 浙江名校协作体期初,16)已知函数 f(x)=
则关于 x 的方程 f(x2-4x)=6 的不同实根的
个数为
.
答案 4 5.(2017 浙江名校(衢州二中)交流卷五,11)设函数 f(x)=x2-x-1,若方程 f(f(x))=t 恰有三个根,则
t=
.
答案
6.(2016 浙江名校(衢州二中)交流卷五,12)设函数 f(x)= 相等的实数 x1,x2,x3,使得 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 a 的取值范围是
线 4x+3y-1=0 垂直,则方程 x2+ax+b=0 的实数根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案 A
2.(2017 浙江名校(诸暨中学)交流卷四,10)已知函数 f(x)满足 f(x+1)= 数 h(x)=f(x)-ax-a 在区间(-1,1]内有两个零点,则实数 a 的取值范围是(
1.(2017 浙江镇海中学模拟卷三,9)已知 x1,x2为函数 f(x)=(x2+ax+b)·ex+c 的极值点(其中 a,b,c 为实常数). 若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 f2(x)+(a+2)f(x)+a+b=0 的不同实根的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
所以 m≤
对于 x∈R 恒成立.
而
=f(x)+ ≥2
=4,且
=4,
所以 m≤4,故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点,而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以 0 是函数 g(x)的唯一零点. 因为 g'(x)=axlna+bxlnb,又由 0<a<1,b>1 知 lna<0,lnb>0,
当 a>0 时,y= 令 h(x)=2x2-ax-a.由 h(0)=-a<0 知,方程 h(x)=0 在(0,+∞)上只有一解, 又 x=1 是方程-ax+a=0 的解,所以要满足题意,则
即 解得 1<a< .
综上所述,a 的取值范围为 1<a< .
①若 a=1,则 f(x)的最小值为
;
②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是
.
答案 ①-1 ② ∪[2,+∞)
9.(2014 天津,14,5 分)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实
数 a 的取值范围为
.
答案 (0,1)∪(9,+∞)
A.
B.
答案 B
C.(1,2) D.(2,+∞)
12.(2015 江苏,13,5 分)已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)= 为. 答案 4
则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数
13.(2015 湖北,12,5 分)函数 f(x)=4cos2 cos -2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为
教师用书专用(10—16) 10.(2015 安徽,2,5 分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1 答案 A 11.(2014 山东,8,5 分)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 ( )
(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数 a 的取值范围为
.
答案
6.(2016 浙江镇海中学期初考试,15)已知函数 f(x)=-x2-x+a,g(x)=
个不同的零点,则实数 a 的取值范围为
.
答案 (2 -3,0)
C 组 2016—2018 年模拟·方法题组
方法 1 判断函数零点个数的解题策略
且函数 y=g(x)-ax 恰有三
2.预计函数与方程的有关问题可能在 2019 年的高考中出现,复习时应引起重视.
五年高考
考点 函数的零点与方程的根
1.(2017 课标全国Ⅲ理,11,5 分)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( )
A.- B. C. D.1
答案 C 2.(2017 山东理,10,5 分)已知当 x∈[0,1]时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y= 则正实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2 ,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0, ]∪[2 ,+∞) D.(0, ]∪[3,+∞) 答案 B
方法 2 利用函数零点的个数研究参变量的取值范围的解题策略
2.(2017 浙江衢州质量检测 1 月,22)已知函数 f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[-1,1]上的最大值; (2)求 f(x)在区间[-1,1]上的最大值 M(a)的最小值; (3)若关于 x 的方程 f(x)+g(x)=0 在(0,2)上有两个解,求 a 的取值范围.
若 x0<0,则 x0< <0,于是 g <g(0)=0.又 g(loga2)= + -2> -2=0,且函数 g(x)在以 和 loga2 为
端点的闭区间上的图象不间断,所以在 和 loga2 之间存在 g(x)的零点,记为 x1.因为 0<a<1,所以 loga2<0.
又 <0,所以 x1<0,与“0 是函数 g(x)的唯一零点”矛盾.
解析 (1)当 a=1 时,f(x)=|x2-1|,f(x)在区间[-1,1]上的最大值为 1. (2)由于 f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上是偶函数,故只需考虑 f(x)在区间[0,1]上的最大值即可. 若 a≤0,则 f(x)=x2-a,它在[0,1]上是增函数,故 M(a)=1-a.
,当 x∈[0,1]时,f(x)=x.若函 )
A.
B.
C.
D.
答案 D
3.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知函数 f(x)满足 f(x)=3f ,当 x∈[1,4]时,f(x)=lnx,若在区
间 内,函数 g(x)=f(x)-mx 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( )
A.
若 0<a< ,则 M(a)=1-a,若 a≥ ,则 M(a)=a,
故当 a= 时,M(a)取得最小值,且最小值为 . (3)令 y=f(x)+g(x)=|x2-a|+x2-ax. 当 a=0 时,y=2x2.令 y=0,得 x=0,不符合题意.
当 a<0 时,y=2x2-ax-a 的图象的对称轴方程为 x= <0,故函数在(0,2)上单调递增,当 x=0 时,y=-a>0,故方程 f(x)+g(x)=0 在(0,2)上无解.
§2.7 函数与方程 考纲解读
考点
考纲内容
函数的零点 理解函数零点的概念.
与方程的根
要求 理解
2013 21(文), 约3分
浙江省五年高考统计
ห้องสมุดไป่ตู้
2014
2015
2016
8(文), 12(文),
5分
6分
2017 20,约 2
分
分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题. 也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.
+m 的图象有且只有一个交点,
3.(2016 天津,8,5 分)已知函数 f(x)=
(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程
|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( )
A.
B.
C. ∪ D. ∪ 答案 C
4.(2015 天津,8,5 分)已知函数 f(x)= 4 个零点,则 b 的取值范围是( )
6.(2017 江苏,14,5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上,f(x)=
其中集合
D=
,则方程 f(x)-lgx=0 的解的个数是
.
答案 8
7.(2015 湖北,13,5 分)函数 f(x)=2sinxsin
-x2 的零点个数为
.
答案 2
8.(2015 北京,14,5 分)设函数 f(x)=