海南中学数学轴对称解答题单元测试卷 (word版,含解析)

海南中学数学轴对称解答题单元测试卷（word版，含解析）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在ABC
△中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC
=，延长BE交AC于点F，求证：AF EF
=．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD到点G，使得AD DG
=，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和
△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】
如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG
=，连接BG ．
∵AD是BC边上的中线，
∴DC DB
=．
在ADC和GDB
△中，
AD DG
ADC GDB
DC DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
（对顶角相等），
∴ADC≌GDB
△（SAS）．
∴CAD G
∠=∠，BG AC
=．
又BE AC
=，
∴BE BG
=．
∴BED G ∠=∠．
∵BED AEF ∠=∠
∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠
∴AF EF =．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
2．（1）如图①，D 是等边△ABC 的边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边，在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ，你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；
（3）Ⅰ.如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF ，BF ′，探究AF ，BF ′与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论；
Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 的边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【答案】（1）AF =BD ，理由见解析；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF +BF ′=AB ，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得BC =AC ，∠BCA =60°，DC =CF ，∠DCF =60°，从而得∠BCD =∠ACF ，根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；
（2）根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论；
（3）Ⅰ．易证△BCD ≌△ACF （SAS ），△BCF ′≌△ACD （SAS ），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF ′≌△ACD ，结合AF =BD ，即可得到结论．
【详解】
（1）结论：AF =BD ，理由如下：
如图1中，∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC ，∠BCA =60°，
同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，
在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ），
∴BD =AF ；
（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：
如图2中，∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC ，∠BCA =60°，
同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，
在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ），
∴BD =AF ；
（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：
由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；
同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，
∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：
同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，
在△BCF ′和△ACD 中，
BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩
′
′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），
∴BF ′=AD ，
又由（2）知，AF =BD ，
∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
3．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．
（1）如图①，若35B C ∠=∠=︒，80BAD ∠=︒，求CDE ∠的度数；
（2）如图②，若75
ABC ACB
∠=∠=︒，18
CDE
∠=︒，求BAD
∠的度数；
（3）当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究BAD
∠与CDE
∠的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，
∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°−18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴
y x a
y x aβ
⎧=+
⎨
=-+
⎩
①
②
，①-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②
如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α
∴y x a y a x β⎧=+⎨+=+⎩
①②，②-①得，α=β﹣α， ∴2α=β；
③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴180180y a x x y a β︒︒⎧-++=⎨++=⎩
①②，②-①得，2α﹣β=0， ∴2α=β．
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【点睛】
考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．
4．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度
（2）若2ACB B ∠=∠，
①求证：2AB CF =
②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD
= （用含 ,a b 的式子表示）
【答案】（1）34；（2）①见详解；②
2b a b
- 【解析】
【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；
（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，
由等腰三角形的性质可得出HF=CF
，即可得出结论；
②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出
AH AE a b BC BE a b
-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，
∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，
∵CE 为三角形的角平分线，
∴1282
ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，
∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，
∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．
故答案为：34；
（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠
∴B BCE ∠=∠
∴BE CE =
过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：
则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠
∴AH=AC ，H EAH ∠=∠
∴AE=HE
∵AD CE ⊥
∴HF=CF
∴AB=HC=2CF ；
②在AHF △和DCF 中，
H DCF HF CF
AFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AHF DCF ≅
∴AH=DC
∵ ,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+
∵ //AH BC
∴
AH AE a b BC BE a b -==+ ∴
CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b
=-． 故答案为：
2b a b -． 【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．
5．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．
（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；
（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．
【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；
（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；
（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可.
【详解】
（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC，
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD与△BCD为等腰三角形，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案为：72；
（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，
∴△EAC为等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴△EAB为等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条特异线；
（3）
如图3，当BD 是特异线时，
如果AB=BD=DC ，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；
如果AD=AC ，DB=DC ，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；
如果AD=DB ，DC=DB ，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；
如图4，当AD 是特异线时，AB=BD ，AD=DC ，
则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；
当CD 为特异线时，不符合题意；
综上所述，∠B 度数为：135°、112.5°或140°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
6．已知：等边ABC ∆中．
（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求
AN BN
的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．
（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满
足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC
-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32
． 【解析】
【分析】
（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的
数量关系即得；
（2）过点M作ME∥BC交AC于E，先证明AM=ME，再证明MEC
∆与NBM
∆全等，最后转化边即得；
（3）过点P作PM∥BC交AB于M，先证明M是AB的中点，再证明EMP
∆与FCP
∆全等，最后转化边即得．
【详解】
（1）∵ABC
∆为等边三角形，点M是BC的中点
∴AM平分∠BAC，AM BC
⊥，60
B BAC
∠=∠=︒
∴30
BAM
∠=︒，90
AMB
∠=︒
∵60
AMN
∠=︒
∴90
AMN
BAM∠
+=︒
∠，30
∠=︒
BMN
∴90
ANM
∠=︒
∴18090
BNM ANM
=︒-=︒
∠∠
∴在Rt BNM
∆中，2
BM BN
=
在Rt ABM
∆中，2
AB BM
=
∴24
AB AN BN BM BN
=+==
∴3
AN BN
=即3
AN
BN
=．
（2）如下图：
过点M作ME∥BC交AC于E
∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB
∵ABC
∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒
∴60
AEM ACB
∠=∠=︒，120
MBN=︒
∠
∴120
CEM MBN
∠==︒
∠，60
AEM A
∠=∠=︒
∴AM=ME
∵MNB MCB
∠=∠
∴∠CME=∠MNB，MN=MC
∴在MEC
∆与NBM
∆中
CME MNB
CEM MBN
MC MN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
MEC NBM AAS
∆∆
≌
∴ME BN
=
∴AM BN
=
（3）如下图：
过点P作PM∥BC交AB于M
∴AMP ABC
=
∠∠
∵ABC
∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC
==
∴60
AMP A
==︒
∠∠
∴AP MP
=，180120
EMP AMP
=︒-=︒
∠∠，180120
FCP ACB
=︒-=︒
∠∠
∴AMP
∆是等边三角形，120
EMP FCP
==︒
∠∠
∴AP MP AM
==
∵P点是AC的中点
∴
111
222
AP PC MP AM AC AB BC
======
∴
1
2
AM MB AB
==
在EMP
∆与FCP
∆中
EMP FCP
AEP PFC
MP PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
EMP FCP AAS
∆∆
≌
∴ME FC
=
∴
13
22
BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=
∴
3
3
2
2
BC
BF BE
BC BC
-
==．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．
7．已知如图1，在ABC
∆中，AC BC
=，90
ACB
∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.
（1）求证：AE CG
=.
（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM
=.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出
△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【详解】
（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，∵
CAE BCG
AC BC
ACE CBG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC．
在△BCE和△CAM中，
BEC CMA
ACM CBE
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当
的判定条件．
8．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．
叫做这个三角形的三分线. （1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.
（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.
【解析】
【分析】
(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；
(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.
(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）①当AD=AE 时，如图4，
∵DE CE =，c x ∠=︒，
∴∠EDB=x °，
∴∠ADE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30=2x+x ，
解得：x=20；
②当AD=DE 时，如图5，
∵DE CE =，c x ∠=︒，
∴∠EDB=x °，
∴∠DAE=∠AED=2x °，
∵AD BD =，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴30+30+2x+x=180，
解得：x=40.
③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2
x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°
又∵∠ADC=30+30=60°，
∴这种情况不存在.
∴x 所有可能的值为20或40.
故答案是：20或40
图4 图5
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.
9．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．
（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．
①当t＝2时，求∠AQP的度数．
②当t为何值时△PBQ是直角三角形？
（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝4
3
秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；（2）
AC＝AP+CQ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．
（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．
【详解】
解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，
∴AQ⊥BC，∠B＝60°，
∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝4
3
；
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝8
3
；
∴当t＝4
3秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）AC＝AP+CQ，理由如下：
如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，
则△BQF是等边三角形，
∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，
∴∠QFP＝∠PAC＝120°，
∵PQ＝PC，
∴∠QCP＝∠PQC，
∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∴∠BPQ＝∠ACP，
在△PQF和△CPA中，
∵
BPQ ACP
QFP PAC
PQ PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PQF≌△CPA（AAS），
∴AP＝QF，
∴AP＝BQ，
∴BQ+CQ＝BC＝AC，
∴AP+CQ＝AC．
【点睛】
考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.
10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；
（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．
【详解】
解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，
∴PC＝1cm，
∴AB＝PC，
∵DP⊥AP，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
在△ABP和△PCD中，
B C
BAP CPD
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABP≌△PCD，
∴BP＝CD＝4cm；
（2）PB＝PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
在△DPA和△DPE中，
ADP EDP
DP DP
DPA DPE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．
在△APB和△EPC中，
ABP ECP
APB EPC
PA PE
∠=∠
⎧
⎪
∠=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB＝PC；
（3）∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，
又∵DP⊥AP，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝AB＝1cm，
∴PC＝BC﹣BP＝4cm，
∴CD＝CP＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.。