人教A版高中必修二试题万州一中-高二上期中期.doc

万州一中2013-2014高二上期中期
（文科）数学测试卷
一、选择题: （每小题5分，共50分）.
1、已知点(314)A -，，，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ D ） Ａ．(134)--，， Ｂ．(413)--，， Ｃ．(413)-，， Ｄ．(314)--，
， 2. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ B ）
A.3
B.2-
C. 2
D. 不存在 3、ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ D ）
A 、2
2
B 、1
C 、
2 D 、2
4. 已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ； ②若a ⊥b ，a ⊥c 则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c . 其中正确的个数为( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5.下列说法正确的是（ C ）
A ．如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； B. 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； C. 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
D.如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台。

6. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ B ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 16．在矩形ABCD 中，1,,2,1=⊥==PA ABCD PA BC AB 面, 则PC 与面ABCD 所成的角是
（ A ）
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 8. 一几何体的三视图如下，则它的体积是（ A ）
O
x
y
12
()
C A
B
正视图
侧视图
俯视图
a
a a
a 2a
2a
2a
x y O x y O x y O x
y
O
A ．
333a π+ B. 3712a π C. 3
31612
a π+ D. 373a π
9. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ C ）
A ．
B ．
C ． D
10.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直
线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（B ）
二、填空题:（每小题5分，共25分）
11.经过点（-2，0），与32:1+=x y l 平行的直线方程是 42+=x y 。

12、已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的表面积为 π24 ．
13、在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(651)N ，
，的距离最小． 则M 点的空间坐标为 ()0,0,1 。

14.已知直线l 的倾斜角为α，且︒≤≤︒1350α，则直线l 斜率的取值范围是),0[]1,(+∞⋃--∞ 15．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α
内的无数条直线；④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β。

其中正确的命题序号是 ②④ ．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
三.解答题（共75分, 解答应写出必要的文字说明）
16．（本小题满分13分）有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ），求该几何体的表面积
和体积．
解：由图知：该几何体是一个圆锥，.................................2 它的底面半径为3cm ， (3)
母线长为5cm ，…………………………………………………4 高为4cm ，…………………………………………………6 则它的表面积为：2
2
24cm rl r S πππ=+=，…………………10 它的体积为：32
123
1cm h r V ππ==。

(13)
17．（本小题满分13分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、 C （4，3）， M 是BC 边上的中点．
（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求AB 边的高所在的直线方程；（直线方程均化为一般式方程） 解：（1）由两点式写方程得
1
21
515+-+=---x y 。

5
即0116=+-y x （或由61
6
)1(251=--=-----=
k ，得直线方程为
)1(65+=-x y 直线AB 的方程即 6x-y+11=0………………………………………7 （2）设k 为AB 边的高所在的直线方程的斜率，则由16-=⋅k 得
61
-
=k 由AB 边的高所在的直线过点C （4，3），得 ()46
1
3--=-x y ，即AB 边的高所在的直线为0226=-+y x (13)
18．（本小题满分13分）经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？ 请求出这些直线的方程。

解：当截距为0时，设y kx =，过点(1,2)A ，则得2k =，即2y x =；
当截距不为0时，设
1,x y a a +=或1,x y
a a
+=-过点(1,2)A ， 则得3a =，或1a =-，即30x y +-=，或10x y -+= 这样的直线有3条：2y x =，30x y +-=，或10x y -+=。

19.（本小题满分12分）如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 面⊥，
的中点，分别是PC PB F E BC BP AB AP ,,2,===。

（1） 求四棱锥ABCD P -的体积。

（2）证明：。

面PAD EF ⊥
解：(1)∵P A ⊥平面ABCD ， ABCD AB 面⊂∴AB PA ⊥
F
E
D
p
在PAB R t ∆中，,2,==BP AB AP 得,2==AB AP
又P A 为四棱锥ABCD P -的高 ∴3
2
422231=
⨯⨯⨯=-ABCD P V
(2)∵P A ⊥平面ABCD ，ABCD BC 面⊂ ∴BC PA ⊥ 又∴AB BC ⊥，AB PA ⊥ ∴BC ⊥平面P AD
又∴的中点，分别是PC PB F E , ∴EF ∥BC ，∴。

面PAD EF ⊥
20. （本小题满分12分） 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，
13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求 (Ⅰ)求证1AC BC ⊥;(Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;
(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，
1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =，
所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. （2）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，
11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位
线，1//OD AC ，
又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .
(3)由（2）知C O D ∠为异面直线1AC 与1B C 所成角或补角。

在COD ∆中，
222
1
,2521,252111======
CB OC AB CD AC OD , 由余弦定理得
()
522222
52252225c o s 2
22
=⋅⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠C
O D
21．（本小题满分12分）如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点C 1的最短路线与棱1AA 的交点记为M ，求： （Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长.
（Ⅱ）该最短路线的长及
AM
M
A 1的值. （Ⅲ）平面M
B
C 1与平面ABC 所成二面角（锐角）
A 1
C 1 B 1
A B C
D
A 1
C 1
B 1
A
B
C
D
O
1A 1
B 1
C M
解：（Ⅰ）正三棱柱A B C A B C -111
的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为62210
22
+= ………2分 （Ⅱ）如图，将侧面A A B B 11绕棱A A 1旋转120
使其与侧面A A C C 11在同一平面上，点B 运动到点D 的位置，连接D C 1交A A 1于M ，则D C 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点C 1的最短路线，其长为
D C C C 2
12
2
2
4225+=+= ……………………4分 DMA ∆ ≌11MA C ∆， ∴=A MA M 1 故A M
AM
11= ……………………6分
（Ⅲ）连接DB ，C B 1，则DB 就是平面CM B 1与平面ABC 的交线 在∆D C B
中 603090DBC CBA ABD CB DB ∠=∠+∠=+=∴⊥ …………8分
又C C C B D 1⊥平面 ∴CC 1⊥DB ∴DB ⊥面BCC 1∴C BD B 1
⊥ ∴∠C B C 1
就是平面CM B 1与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） ………10分 侧面C BB C 11是正方形 ∴∠=C B C 1
45
故平面CM B
1与平面ABC 所成的二面角（锐角）为45
…………12分 A
B
C A 1
B 1
C 1D
M。