湖北省襄阳市第五中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 文

B 襄阳五中高二年级三月月考
数学（文科） 试 题
一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1． 已知复数z 满足z ＝2i
1＋i
，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2． 已知命题,p q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3． 设123e ,e ,e 为单位向量，且1,(0)2k k =
+>312e e e ，若以向量12e ,e 为邻边的三角形的面积为12
，则k 的值是 ( )
A.
22 B. 32 C.5
2
D.72 4． 某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为 ( )
A ．82π-
B ．8π-
C ．82
π
-
D ．84
π
-
5． 若执行右边的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是 ( )
A ．9?k <
B ．8?k <
C ．7?k <
D ．6?k <
6． 已知双曲线221my x -=()m R ∈与抛物线2
8x y =有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为
( )
A.3y x =± B ．3
y x = C ．13y x =± D ．3y x =±
7． ABC ∆中，已知2B A =,ACB ∠的平分线CD 把三角形分成面积为4:3的两部分，则cos A 等于
( )
A.
23 B.13 C.12 D.3
4
8． 设()f x 是奇函数，对任意的实数,,x y 有()()(),f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,f x <则()
f x 在区间[],a b 2a b f +⎛⎫
⎪⎝⎭2a b f +⎛⎫
⎪⎝⎭
()f a ()f a 9． 如图，在ABC ∆中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设//CD AG ，若
1
()5
AD AB AC R λλ=+∈，则λ的值为 ( )
A．1
5
B．1
2
C．
6
5
D．2
10．若数列{}{}
,
n n
a b的通项公式分别是()()
2015
2016
1
1,2,
n
n
n n
a a b
n
+
+
-
=-=+且n n
a b
<对任意*
n N
∈恒成立，则实数a的取值X围是 ( )
A.
1
1,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ B.
1
2,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ C.
3
2,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭ D.
3
1,
2
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
11．直线y a
=分别与直线33
y x
=+，曲线2ln
y x x
=+交于A，B两点，则||
AB的最小值为 ( )
A.
4
3
B. 1
C.
5
10
2
D. 4
12．一个正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥）和一个正方体，它们有半径相同的内切球，记正四棱锥的体积为1V，正方体的体积为2V，且12
V kV
=，则实数k的最小值为( )
A. 2
B.
1
2
C.
4
3
D.
3
4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷
对应题号后的横线上．
13．在平面直角坐标系中，若不等式组
20
x y
x y
x k
+≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
（k为常数）表示的平面区域D的面积是16，若(,)
P x y为D中任意一点，则目标函数2
z x y
=-的最大值为___________.
14．在ABC
∆中，,,
a b c为,,
A B C的对边，若cos2cos cos()1,
B B A
C b
++-==22
a c
+的最
小值为______________.
15．已知函数
5
()sin(0)
2
f x x a x
π
=-≤≤的三个零点成等比数列，则
2
log a=_________.
16．已知圆22
:1
O x y
+=及()()
1,1
A B：①P是x轴上的动点，当APB
∠最大时，P点坐标为();②过A任作一条直线，与圆O交于,M N，则1
NA
NB
=;③过A任作一条直线，与圆O交于,
M N，则
NA MA
NB MB
=成立;④任作一条直线与圆O交于,
M N，则仍有
NA MA
NB MB
=.
上述说法正确的是____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70
17． (本小题满分为12分)已知等比数列{}
n
a的公比1
≠
q，首项，
3
2
1
3,
2,a
a
a成等差数列．（1）
求数列{}
n
a的通项公式；
（2，
n
P为数列的前n项和，求不超过
2016
P的最大的整数K．
18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCP中，//
CP AB，CP CB
⊥，
1
2
2
AB BC CP
===，D是CP中点，将PAD
∆沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.（1）求证：平面PAD⊥ 平面PCD；
（2）若E是PC的中点．求三棱锥A PEB
-的体积．
P C E
P
.
19．(本小题满分为12分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个
结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法取50名同学（男30，女20），给所有同学几何题和代数题各
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现在甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
()()()()()
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20．(本小题满分为12分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB 的长为1）求椭圆C 的方程；否存在点E ，使得
21．（本小题满分12分）已知函数()2ln p
f x px x x
=--若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值X 设函数2()e
g x x
=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得
00()()f x g x >成立，某某数p 的取值X 围.
22． (本小题满分为10分)已知()()2,0,1,0A B -，动点(),P x y 满足2PA PB =;（1）求动点P 的轨
迹方程E ；（2）过(M 作两条互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线E 于,,,A C B D 四点，求四边形ABCD 面积的最大值.
某某省襄阳五中高二年级三月月考数学（文科）试题答案 1---6 DABBBA 7---12 ACCCAC 13. 9 14. 14 15.1
2
- 16. ②③④ 17.解：（Ⅰ） 3213,2,a a a 成等差数列，∴31234a a a +=
01432=+-∴q q 1≠q ∴31=
q ， ∴1111
()()333
n n n a -=⨯=--------4分 （Ⅱ）由1213
log n n c a -=，得21n c n =---------6分
2
22
441111
11()(21)(21)(21)(21)22121
n n n n c c n n n n n n ==+=+-+-+-+-+-------8分 2016111111111111
1()1()1()1()213235257240314033
P =+
-++-++-+++- 2016
20164033
=+
∴不超过2016P 的最大的整数k 是2016．…………12分 又由于CP∥ AB，CP⊥ CB，AB=BC∴ 四边形ABCD 是正方形，∴ AD⊥ CD， 又PD∩CD=D，故AD⊥ 底面PCD ，∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD⊥ 平面PCD ……5分 （Ⅱ）解：∵ AD∥ BC，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴ AD∥ 平面PBC ∴ 点A 到平面PBC 的距离即为点D 到平面PBC 的距离 ……………6分
又∵ PD=DC，E 是PC 的中点∴ PC⊥ DE 由（Ⅰ）知有AD⊥ 底面PCD ，∴ AD⊥ DE． 由题意得AD//BC ，故BC⊥ DE．又∵ PC∩BC=C∴ DE⊥ 面PBC ． ……9分 ∴ 2,22DE PC ==PCD ，∴ AD⊥ CP， ∵ AD∥ BC，∴ AD⊥ BC ∴ 1112222PEB PBC S S BC PC ∆∆⎛⎫
=
=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
12
33
A PE
B D PEB PEB V V DE S --∆==⨯⨯=…………12分
19．解：（1）由表中数据，得2
K 的观测值，()25022128850 5.556 5.024*********
K ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯ ∴根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．………6分
（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为,x y 分钟，则基本事件满足的区域为57
68
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，如图所示
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x y >
∴由几何概型，得()1
11
12228
P A ⨯⨯==
⨯，即乙比甲先解答完的概率为18……… 12分 20、（1）由6
3
c a =
，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为22
22193x y k k
+=，因直线垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代
入椭圆方程，解得y k =±，于是2623k =即6
3
k =，所以椭圆C 的方程为22162x y += (4)
分
（3）假设存在点E ，使得
22
11
EA EB
+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有20222222
0001221111
(6)(6)(6)
x EA EB x x x ++==-+-， 当直线AB 与x 轴垂直时，2
22
2
00
112662(1)
6
x EA EB x +==
--， 由20222001226(6)6x x x +=--，解得0
3x =，2
0626x =-，
所以若存在点E
，此时(E ，
22
11
EA EB
+为定值2．……………6分 根据对称性，只需考虑直线AB 过点E ，设11(,)A x y ，2
2(,)B x y ，
又设直线AB
的方程为x my =C 联立方程组， 化简得22(3)
30m y ++-=，所以12y y +=，12
2
33y y m -=+， 又
222222111111
(1)EA m y y m y ===++， 所以21212222222222
1212
()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++，…………9分 将上述关系代入，化简可得
22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得22
11
EA EB +为定值. ……12分
21．已知函数()2ln p f x px x x =--.（1）2
()22ln f x x x x
=--，(1)0f =， '222
()2f x x x
=+-，'(1)2f =， 故切线方程为：22y x =-. …………4分
（2）2'
22
22()p px x p f x p x x x
-+=+-=，由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，∴220px x p -+≥即221x p x ≥+，对0x ∀>恒成立，设2
2()(0)1
x
h x x x =>+，222'
222
2
22422()(1)(1)x x x h x x x +--==++，
易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞. …………8分
（3）设函数2()()()2ln p e
x f x g x px x x
ϕ+=-=-
-，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>.…………9分
2'
22
222(2)
()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=，
01当0p =时，'2
22()0x e
x x
ϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍； 02当0p <时，12()()2ln e
x p x x x x
ϕ=---，
∵[1,]x e ∈，∴10x x
-≥，20e
x >，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍；03当0p >时，2'
2
(1)2()()0p x e x x x ϕ++-=>，
则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p
x e pe e
ϕϕ==-->，整理得241e p e >-，
综上，2
4(,)1
e
p e ∈+∞-. …………12分 22.解：（
1）设点P 坐标为(,)
P x y =()2
224x y -+=………
4分
（2）过圆心E 向弦,AC BD 引垂线，垂足分别是,G H ，记12,EG d EH d ==，则22
123d d +=
由均值不等式可得123
2
d d ≤
…………6分
11522ABCD S AC BD =⋅=⋅=≤
等号成立的条件是12d d = 所以max 5S =…………10分
23．。