巧用八种几何性质解决圆锥曲线问题

巧用几何性质求解圆锥曲线问题
一．圆锥曲线定义与几何意义结合
例题1 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线22
22:1(,0)x y a b a b
Γ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，
使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1::2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（ ）
A ．5
B 265
C ．2623
D ．263
【解析】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，即1||5PF x =，||3PA x =， 根据双曲线定义可知，12||||2BF BF a -=即21||||242BF BF a x a =-=-
21||||2AF F A a -=即21||2||22AF a F A a x =+=+，直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，∴21PF PF ⊥，在12Rt F PF ∆中22222222121||||||(2)(5)425PF F F PF c x c x =-=-=-①
在2Rt APF ∆中2222222
22||||||(22)(3)458PF AF PA a x x a x ax =-=+-=-+② 在2Rt BPF ∆中2222222
22|||B |||(42)()15416PF F PB x a x x a ax =-=--=+-③
②③联立得222245815416a x ax x a ax -+=+-，即65
x a =
①②联立得2222425458c x a x ax -=-+即22244208c a x ax =++④
将65x a =代入④，即2
22664420855c a a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
整理得2
2535c a =即2
25326555
c c e a a ====，选B
巩固1 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C ，415CP ∴=+=，()
min
514MA MF ∴+=-=，选B
二．余弦定理在圆锥曲线中的应用
例题2 如图，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C
上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且22
3
PO a =
，则椭圆C 的离心率是
A ．
22
B ．
32
C ．
63
D ．
23
【解析】设12,PF m PF n ==.由椭圆的定义，得2m n a +=，① 在12PF F △中，由余弦定理，得222
2cos60(2)m n mn c ︒+-=，②
2-①②得：()
22
34mn a c =-，③
将③代入②，得22
224833
m n a c +=
+ 在1POF 中，由余弦定理，得22
21||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④ 在2POF 中，由余弦定理，得222
2||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤
④+⑤，得22
2
2
2
22216482||22933
a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故6
e =
，选C 三．圆锥曲线定义的灵活应用
例题3 已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半
径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（ ）
A 31
B 3
C 2
D 21
【解析】如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c === 又∵12F F 是圆O 的直径，∴1290F AF ∠=︒，∴()
2
2123AF c c c =
-=
∴由双曲线的定义可得：122(31)AF AF a c -==-，∴
3131
e ==-，选A 巩固2 设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线22
22 1(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，且满足
120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2
2
2
4
a x y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
32
B 32
C 10
D 10【解析】如图所示
1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，
120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥
直线1PF 与圆22
2
4a x y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2
22
4
a x y +=相切，设切点为E
∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==
又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，2
2
2224
a PF PF c a a -=-=
解得10
c e a =
，选D 四．圆锥曲线几何意义与不等式练习
例题4 直线l 过抛物线2
4y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【解析】由抛物线标准方程可知p =2
因为直线l 过抛物线2
4y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p
+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭
因为AF BF 、
为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 444152BF AF BF AF
AF BF AF BF ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭522≥+⨯=9，此时2BF AF =，选B 巩固3 已知P 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，
M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）
A ．
26
2
+ B ．26+
C ．
42
6
+ D ．46+
【解析】21||||2MP PF MP PF a
+=++221222MF a b c a c +=++=
即22222c a a c -+=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+= 解得462e +=
或462e -=，所以46
2
e +=，选C 巩固4 已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ） A ．125+
B ．25
C ．17
D ．5
【解析】根据抛物线定义得PF PQ =，
1l FQ ⊥，则1l 为FQ 的垂直平分线
FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=,选D
五．向量几何意义与圆锥曲线 例题5
M 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且
120MF MF ⋅=，直线2MF 交y 轴于点N .若1NF M △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
【解析】如图所示：因为120MF MF ⋅=，所以三角形1
F MN 为直角三角形
故它的内切圆半径
111222MF MN NF MF MN NF r +-+-=
=1212
22
MF MN MN MF MF MF a b +---====
所以2e =,选A
巩固5 过双曲线()22
2210x y a b a b
-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O
为坐标原点，且OAB 内切圆半径为
31
a -，则该双曲线的离心率为( ) A ．
23
3
B ．3
C ．
43
3
D ．31+
【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示
设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ， 由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，
由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =， 所以OA a =，31
NA MN ==
- 所以3133
NO OA AN a =-=--=， 所以
tan 3
MN b AOF a NO =∠== 得2
231b e a ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭
选A
巩固6
如图，抛物线2
1:2(0)C y px p =>，圆2
22:12p C x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的
直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】由圆2C 与y 轴相切可知，
12
p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()2
22:11C x y -+= 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y 直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得2
1
4x my y x
=+⎧⎨
=⎩ ，即2440y my --= 由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()2
1212242x x m y y m +=++=+，()2
12
12
116
y y x x ==
因为||||AB BD =，则(
)
2
21,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得2212
m = 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为
()2
2
12121221442422DA OF x x x x x x OF ⎛⎫⋅-=-=+-=⨯+-= ⎪⎝⎭
，故选A
巩固7 已知F 1，F 2分别为椭圆22
221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，
且（OP ＋2OF ）·2F P ＝0，｜1PF ｜＝2｜2PF ｜，则该椭圆的离心率为
A ．
55
B ．
54
C ．
53
D ．
52
【解析】如图，取P F 2的中点A ，连接OA ，
∴2OA =2OF +OP ，且OA =
11
2
F P ，1 O A F P ，又∵（OP ＋2OF ）·2F P ＝0， ∴OA ⊥2F P ，又1OA F P ，∴1PF ⊥2F P ，∵122PF PF =，不妨设|P F 2|=m ，则|P F 1|=2m ∵|P F 2|+|P F 1|=2a =3m ，∴|F 1F 2|=4c 2=m 2+(2m )2=5m 2，∴a c =5，∴e =5
，故选C 六．三角形的心在圆锥曲线中
例题6 已知14m <<，12,F F 为曲线22
:144x y C m
+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线
2
2
:11
E y x m -=-，在第一象限的交点,直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若12
F PF △的内心为点M ，直线
1F M 与直线l 交于N 点，则点N 横坐标为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】如图
由椭圆的性质可知，PN 为12F PF ∠外角的角平分线，以N 为圆心作圆与12,PF PF ，x 轴分别相切于,,Q R E
所以1
1121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF =⇒+=+⇒+=+ ()1222222222F P PR RF c RF a c RF RF a c ⇒++=+⇒=+⇒=-
所以2EF a c =-，E x a =，2E N a x x ===，选B
巩固8 .平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛
物线
()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为______
【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =
，则OB 所在的直线方程为b
y x a
=- 解方程组2{2b
y x a x py ==得：2
2
2{2pb
x a
pb y a
==，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 抛物线的焦点F 的坐标为:0,
2p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，因为F 是ABC ∆的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- 所以2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫
- ⎪
-=-⇒=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以222
2293142c b e e a a ==+=⇒= 巩固9 已知椭圆C ：22
162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则
2ABF 的内切圆半径是________
【解析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22
162
x y +=
其中6a =
2b =222c a b -，1224F F c ==
因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦
则有22
2116AF AF -=，122AF AF a +==1AF =
，2AF =
2ABF 的周长22l AF BF AB =++==
面积121142233S AB F F =
⨯⨯=⨯=
，由内切圆的性质可知，有123
r ⨯=，解得23r = 故2ABF 内切圆的半径为2
3
七．斜率的几何意义问题
例题7 若实数x ，y 满足2
2
2210x y x y +--+=，则
4
2y x --的取值范围为（ ）． A ．40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．4,3
⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
D ．4,03⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
【解析】令4
2y t x -=-，则24y tx t =-+，联立22
242210y tx t x y x y =-+⎧⎨+--+=⎩
消失y 得2
2
2
2
(1)(642)41290t x t t x t t ++--+-+=
由题意该方程有解∴2222
(642)4(1)(4129)0t t t t t ---+-+≥，解得4
3
≥
t ，选B 巩固10 已知在平面直角坐标系中，椭圆22
1:195
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ．直线l ：
()()()2121m y m x y m R -+-=+∈交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，
则点R 的轨迹方程为_______________．
【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=
由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1
x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0 设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y
联立椭圆方程，得22
(59)10400t y ty ++-=
则>0∆，1212224010,,5959t
y y y y t t --=
+=++，()1212
4y y y y t
+=
由1,,A P R 三点共线可得
1133
y y x x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2
233y y x x =-- 两式相除可得
121222213(3)(2)3(3)(4)x y x y ty x y x y ty ---===+++12121224ty y y ty y y -+()
()121
122
42142
4y y t y t y y t y t
+⋅-==+⋅+，解得9x = 所以点R 在定直线9x =上，故点R 的轨迹方程为9x = 八．阿波罗尼斯圆的应用
例题8 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >，
1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P
满足PA PB =22
2
PA PB +的最大值为（ ） A
．3+B
．7+C
．8+D
．16+【解析】以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，则()1,0A -，()10
B , 设(),P x y
，所以由PA
PB
=
=()2
223x y -+=
()22
22
22212
PB
P PA B x y +⎡⎤==-+⎣⎦
其中()2
21x y -+看作是圆()2
223x y -+=上的点()
,x y 到点()
1,0的距离的平方， 所以其最大值为(2
14=+
，所以
22
2
PA PB
+的最大值为(248+=+ C
巩固11 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比
||
||
MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为2
2
1x y +=，定点Q 为x 轴上一点，
1,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．10 D
．11
【解析】C 设(),0Q a ，(),M x y ，根据
||
||
MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值 由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ 根据坐标求出BQ 即【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()
2
2=
-+MQ x a y
由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2
212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ，因为||||MQ MP λ=且2λ=，所以()
2
2
22212-+=⎛⎫++ ⎪⎝
⎭x a y x y
整理可得2
2242133+-++=
a a x y x ，又动点M 的轨迹是22
1x y +=，所以2420311
3
a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB
因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为()()
22
121010=
++-=BQ
巩固12 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知
()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（ ）
A ．()7,13-
B ．[]7,13-
C ．()11,9-
D ．[]11,9-
【解析】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫
⎪⎝
⎭
由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2
22
2333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫
⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
整理可得()2
2
25632480x c x c +++-=
()()2
2632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤
所以实数c 的取值范围为[]7,13-，选B。