中值定理

中值定理
条件函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，
在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导的理由, 在闭区间[a,b]上连续的函数都有最大或最小值,而在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大或最小值.这是因为如果函数f(x) 在开区间(a,b)内连续在端点x=a处左连续,端点x=b处右连续不一定是在(a,b)内每一点连续,就是每一点处都连续也不代表左右极限都相等.
中值定理“中值”指的是什么？
指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导，那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。

事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。

1.罗尔中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f′(ξ)=0
几何意义：在闭区间[a,b]上有一条连续曲线f(x),且除端点外每一点都可以作一条切线,当曲线两端点的纵坐标相等时候,那么曲线上至少能找到一点( ξ , f (ξ) ) ξ在(a,b)内.使得曲线在该点的切线平行于x轴.
证明:1令f(a)=f(b)=K,在闭区间[a,b]上,恒有f(x)=K的情况,这时f(x)是[a,b]上的常数函数,所以f′(x)=0,因此罗尔定理对开区间(a,b)内任何点都成立.
在[a,b]上有点x, 使f(x)>K的情况，因f(x)为[a,b]上的连续函数，根据连续性质得知在[a,b]上存在点( ξ1 , f (ξ1) )为f(x)在[a,b]上的最大值，即当a<=x<=b时f(x)<=f (ξ1)，（1）又因为在上[a,b]有点x，使f(x)>K，（2）由（1）（2）式得f (ξ1)>K，这说明ξ1不可能是[a,b]的端点，从而a< ξ1<b。

2现证明f′(ξ)=0 当a<=ξ1 +∆x<=b时，对于∆x>0(或∆x<0)由（1）式总有∆y=f (ξ1+∆x) -f (ξ1)<=0,设∆x>0,则∆y/∆x<=0,于是Lim(∆x->0+)∆y/∆x<=0,若∆x<0则∆y/∆x>=0，于是Lim(∆x->0+)∆y/∆x>=0又因a< ξ1<b根据定理条件可知f′(ξ1)存在，所以f′(ξ1)=0取ξ=ξ1，定理得证。

3在[a,b]上有点x, 使f(x)<K的情况，由连续函数性质得知在[a,b]上存在点ξ2，f(ξ2)为f(x)在[a,b]上的最小值，与情况2类似，证明f′(ξ2)=0，再取ξ=ξ2，定理证完。

这个定理告诉我们，如果定理所要求的条件皆满足，那么方程f′(X)=0，在(a,b)内至少有一个实数根。

2拉格朗日中值定理；如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

其几何意义也是明显的，因为已知导数f′(ξ)的几何意义是曲线f(x)在点( ξ , f (ξ) )处切线的斜率，而f(b)-f(a)/(b-a)表示f(b)与f(a)的连线的斜率，如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，这就告诉我们，在闭区间[a,b]上有一连续曲线，且除端点外过曲线f(x)上每一点都可以作一条切线，在M( ξ , f (ξ) ) ξ在(a,b)内，使得过M的切线与f(b)与f(a)的连线平行。

2. 根据直线方程我们可以作出辅助函数g(x)=f(x)-kx,kg(x)f(x)kx在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导，g(x)=f(x)-kx闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,为了使g(a)=g(b)就必须使f(b)-kb=f(a)-ka整理得k=f(b)-f(a)/(b-a),代入辅助函数g(x)=f(x)-[f(b)-f(a)/(b-a)]x,由于满足罗尔定理那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式g′(ξ)=0由g′(ξ)=0得 f `(x)=f(b)-f(a)/(b-a)当X=ξ时，等式f '(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)
也就是说方程f '(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)在(a,b)内至少有一个实数根。

3 柯西中值定理；若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点拉格朗日中值定理也具有，但是柯西中中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。

证明；
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)] ∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)] 由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0. 又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)] 故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0 即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)] 命题得证。

例题：
设f(x)在[a,b]开区间连续闭区间可导，且ab均大于0，证明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)= [f'(η)/2η]*(a+b)
证明；作辅助函数f(x)=x^2,由拉格朗日中值定理的：f'(ξ)=b^2-a^2/b-a=a+b,再作辅助函数F（X）=f(x)由柯西中值定理的：f'(η)/2η=f'(ξ)/(a+b)
x>1时，e^x>ex
记f(x)=e^x-ex,x∈(1,+∞)
任意x>1,存在m∈(1,x)有[f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(m)=e^m>0
于是e^x-ex>0即e^x>ex
设f(x)在[a,b]开区间连续闭区间可导，证明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得
f '(ξ)[f (a)+f (b)/a+b]=f (η)/η
证明：
令作辅助函数F(x)=[f(x)]^2,G(x)=x^2
由柯西中值定理:2f(x)/2x=f(x)/x=[f(b)-f(a)/(b-a)][f(a)+f(b)/a+b]
=f '(ξ)[f (a)+f (b)/a+b]
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数，且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0，证明：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!，其中β∈(0,1)
∵β∈(0,1) ∴βx∈(0,x)
∵f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0
根据柯西中值定理，有
f（x）/x^n＝［f（x）－f（0）］/（x^n－0^n）＝f '（βx）/nβ^(n-1)
又根据柯西中值定理，有
[f '（βx）－f '（0）］/[nβ^(n-1)－n*0^(n-1)]＝f ''（βx）/n(n-1)β^(n-2)
再根据柯西中值定理，有
[f ''（βx）－f ''（0）］/[n(n-1)β^(n-2)－n(n-1)*0^(n-2)]＝f '''（βx）/n(n-1)(n-2)β^(n-3) .。

循环反复使用柯西中值定理，有
.f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!
设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，证明：a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2=2ξf(ξ)-ξ^2f`(ξ) F(x)=f(x)/x^2,G(x)=1/x^2,根据柯西中值定理，有
2ξf( ξ)- ξ^2f `( ξ) / ξ^4/1/ ξ^4=a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2,原结论成立。

设g(x)在[x1,x2]上可导，且x1 x2>0，试证至少存在一点m∈（x1,x2）,使得
[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
证明：
记f(x)=g(x)/x,h(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
可知至少存在一点m∈(x1,x2)使得
[f(x1)-f(x2)]/[(h(x1)-h(2)]=f'(m)/h'(m)
即[g(x1)/x1-g(x2)/x2]/[1/x1-1/x2]=[(mg'(m)-g(m))/m^2]/(-1/m^2)
整理即有[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
命题得证。

L练习
1.设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，证明：至少存在一点η, ξ∈(a,b)
a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2=2ξf( ξ)- ξ^2[(e^b-e^a/b-a)*f `(η)/e^η]
2.设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，f( 0)=0，f `(x)>0证明：至少存在一点ξ∈(a,b) nf `( ξ)/f( ξ)=f`(1- ξ)/f(1- ξ)
3.设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，f( b)=f( a)=1,证明：至少存在一点η, ξ∈(a,b) e^(η-ξ)[f(η )+f `(η )]=1
4.设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，,证明：至少存在一点ξ∈(a,b)
f(b)-f(a)/(b-a)=(a^2+ab+b^2)f '(ξ)/3ξ^2
5.设f(x)在[a,b]开区间连续，在开区间(a,b)内可导，f( b)=f( a)=1,证明：至少存在一点η, ξ∈(a,b) [ae^b-be^a/a-b]e^η[f( η )+f `( η )]=(1- ξ)(e^ξ)^2
提示：
1.先证明：f `( ξ)/f `(η)=(e^b-e^a/b-a)e^(-η), 再证明：a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2=2ξf(ξ)-ξ^2f`(ξ) 即可F(x)=f(x) G(x)=e^x
由拉格朗日中值定理的:F`(ξ)=f(b)-f(a)/b-a 再根据柯西中值定理，有
f`(η)/e^η=f(b)-f(a)/e^b-e^a 两式相除f `( ξ)/f `(η)=(e^b-e^a/b-a)e^(-η) (1)
u(x)=f(x) /x^2 v(x)=1/x^2
根据柯西中值定理，有
2ξf( ξ)- ξ^2f `( ξ) / ξ^4/1/ ξ^4=a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2,
即：a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2=2ξf(ξ)-ξ^2f`(ξ) (2)
因为f `( ξ)=f `(η)/e^η(e^b-e^a/b-a)
所以a^2f(b)-b^2f(a)/a^2-b^2=2ξf( ξ)- ξ^2[(e^b-e^a/b-a)*f `(η)/e^η]
2,作辅助函数F(x)=[f( x)]^n*f(1-x)
3.作辅助函数F(x)=e^x*f(x)
4.作辅助函数F(x)=f( x),G(x)=x^3,可根据公式b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)证明
5.作辅助函数F(x)=e^x*f(x),证明;e^η[f( η )+f `( η )]=e^ξ (1)
g(x)=(e^x)/x G(x)=1/x,
证明;ae^b-be^a/a-b=(1- ξ)e^ξ (2)
等式左右两边相乘，得[ae^b-be^a/a-b]e^η[f( η )+f `( η )]=(1- ξ)(e^ξ)^2。