二次根式第2课时二次根式的运算课件北师大版八年级数学上册
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一般地，二次根式相加减时，可以先将各个二次 根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式进行合并. 要点提醒
1. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根
式才能进行合并.
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8 + 18 = 2 2 + 3 2 =（2 + 3 ） 2 = 5 2
∴ a = 5.
∴ 4a 2x 20 2x .
xa
x5
∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0.
∴ 5＜x≤10.
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b， 5则，这c 几3个2非. 负式
练一练
1. 下列二次根式中，能与 3合并的是（ D ）
A. 2
B. 5
C. 8
D. 12
2. 8 与最简二次根式 m 1 能合并，则 m =__1__.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
归纳总结 二次根式的加减法法则
是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
1. 计算：
1 5 9 ; 2 12 6 ; 3 3 1 2 3 ；
20
3
2
4 2 3 1 ;
5
27
1 3
3.
1 3 ; 2 2 6 ; 3 3 1；
2
4 13 4 3 ; 5 10 .
2. 下列计算是否正确？
1 2 3= 5 ; 2 2 2=2 2 ; 3 8 = 4 .
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
xa
解：由题意得 3a - 8 = 17 - 2a，
3
解：(1) 3 5 15.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明 二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根 式相乘，即 a b ... k a b ... k（a≥0，b≥0，k≥0) .
为 S1，S2，由 S1 πR2，S2 πr 2 可知 R r S2 . 则
π
S1 ， π
d R r S1 S2 ππ
763.02 150.72
d
3.14
3.14
243 48
9 34 3
5 3 m . 答：圆环的宽度约为 5 3 m.
能力提升：
7. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b = a 3 b，求（2*3）-（27*32）的值． 解：∵ a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
(2)原式 = 5 5 5 5 4 5 .
25
55
(3)原式 = 4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2.
3
例6 若最简根式 2n1 3m 2n 与 3 可以合并，求 mn
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3，解得
m
4 3
,
n
1 2
,
即 mn 4 1 6 .
xy x2
xy
y
xy
x
xy(1 1 ) xy
xy( x y). xy
把 x + y = -4，xy = 2 代入上式，得原式= 2 4 2 2.
2
5. 计算：
(1) 5 8－2 27 18；
( 2 ) 2 18－ 50 13 45 ；
解：(1) 5 8－2 27 18
10 2－6 33 2 13 2－6 3.
(4)原式 = ( 13)2 32 13 9 4.
(5)
12
1 3
3；
(6) 8 18 . 2
解：(5)原式 = 12 3 1 3 36 1 6 1 5.
3
(6)原式 = 8 18 4 9 2 3 5.
22
对于化简运算的结果中，如果被开方数相同 的根式，应当将这些项合并。
第二章 实数
二次根式
第2课时 二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
8
2 2， 3 2， 4 5， 2， 2， 2 5.
2
4
2. 上述化简后的二次根式有什么特点? 你会怎么对它们
进行分类?
某些二次根式化简后被开方数相同.
( 2 ) 2 18－ 5013 45 6 2－5 2 5
2 5.
(3) 44 －(3 1111 2)； (4) ( 48－4 18)－(3 13－4 0.5).
解：(3)
44 （3
11+11
2） (4（)
48 4
1）（3 8
1 4 3
0.5）
=2 11 3 11 11 2 11 11 2.
例4 计算：
(1)3 2 2 3 ；
(2) 12 3 5 ；
(3)( 5 1)2 ；
(4)( 13 3)( 13 3) ；
解：(1)原式 = 3 2 2 3 6 6.
(2)原式 = 123 5 36 5 6 5 1.
(3)原式 = ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5.
48 4 1 3 1 4 1 83 2
4 3 4 2 3 3 4 2
4
3
2
4 3 2 32 2
3 3 2.
6. 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心 的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π 取）.
d
解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别
33
解： (1)原式 = (2 2)2 (3 3)2 8 27 19.
(2)原式 = 6 4 2 3 2 4 2 2.
(3)原式 =
22 3
3 32
43 2 3 1
32
3
32 3
3
3.
4. 已知 x + y = －4，xy = 2. 求 x y 的值.
yx
解： 原式=
xy y2
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
即 m a n b mn ab a≥0，b≥0.
同样，二次根式也可以进行加减运算，以前学 过的实数的运算法则、运算律仍然适用。
二次根式的加减运算
合作探究
1.（1）3x2 + 2x2 = 5x2 ；（2）x2 + 2x2 + 4y = 3x2 + 4y . 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 80 45. 解： 80 45 4 5 3 5 5. 3. 3 5 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为两个加数都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
2
1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （1）8 （ 2 ）＝ 4； （2）2 5 （ 5 ）＝10；
（3） 3
2＝
3
6.
2. 下列计算正确的是（ B ）
A. 4 3 3 3 1
B. 27 3 3
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
(1)(2 2 3 3)(3 3 2 2) ； (2)(2 2)(3 2 2) ； (3) 12 1 11.
(必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6. 归纳 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键
归纳 当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式
乘单项式的法则计算，即 m a n b mn ab a≥0，b≥0.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a b c n abc n a≥0，b≥0，c≥0，，n≥0.
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，
化为最简 二次根式
用分配 整式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
例5 计算：
(1) 48 3 ；
(2) 5 1 ； 5
(3)
4 3
3
6.
解：(1)原式 = 163 3 16 3 3 4 3 3 5 3.
典例精析 例1 计算：
(1) 6 2； (2) 6 3； (3) 2 .
3
2
5
解：(1) 6 2 6 2 4 2.
3
3
(2) 6 3 63 63 9 3.
2
2
2
(3) 2 2 2 5 10 . 5 5 55 5
例2 计算：(1) 3 5 ； (2) 1 27 ； (3) 2 3 5.
8 ，18 ，0.5 ，1 为一组；
8
80 ， 20 为一组.
二次根式的乘除运算
还记得吗?
二次根式的两个性质
现在把等号的左边与右 边交换，就可得到
二次根式的 乘法法则和
除法法则
a b a b（a≥0，b≥0），
a b
a b （a≥0，b＞0）．
a b a b（a≥0，b≥0），
a b
a b（a≥0，b＞0）．
1. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根
式才能进行合并.
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8 + 18 = 2 2 + 3 2 =（2 + 3 ） 2 = 5 2
∴ a = 5.
∴ 4a 2x 20 2x .
xa
x5
∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0.
∴ 5＜x≤10.
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b， 5则，这c 几3个2非. 负式
练一练
1. 下列二次根式中，能与 3合并的是（ D ）
A. 2
B. 5
C. 8
D. 12
2. 8 与最简二次根式 m 1 能合并，则 m =__1__.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
归纳总结 二次根式的加减法法则
是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
1. 计算：
1 5 9 ; 2 12 6 ; 3 3 1 2 3 ；
20
3
2
4 2 3 1 ;
5
27
1 3
3.
1 3 ; 2 2 6 ; 3 3 1；
2
4 13 4 3 ; 5 10 .
2. 下列计算是否正确？
1 2 3= 5 ; 2 2 2=2 2 ; 3 8 = 4 .
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
xa
解：由题意得 3a - 8 = 17 - 2a，
3
解：(1) 3 5 15.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明 二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根 式相乘，即 a b ... k a b ... k（a≥0，b≥0，k≥0) .
为 S1，S2，由 S1 πR2，S2 πr 2 可知 R r S2 . 则
π
S1 ， π
d R r S1 S2 ππ
763.02 150.72
d
3.14
3.14
243 48
9 34 3
5 3 m . 答：圆环的宽度约为 5 3 m.
能力提升：
7. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b = a 3 b，求（2*3）-（27*32）的值． 解：∵ a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
(2)原式 = 5 5 5 5 4 5 .
25
55
(3)原式 = 4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2.
3
例6 若最简根式 2n1 3m 2n 与 3 可以合并，求 mn
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3，解得
m
4 3
,
n
1 2
,
即 mn 4 1 6 .
xy x2
xy
y
xy
x
xy(1 1 ) xy
xy( x y). xy
把 x + y = -4，xy = 2 代入上式，得原式= 2 4 2 2.
2
5. 计算：
(1) 5 8－2 27 18；
( 2 ) 2 18－ 50 13 45 ；
解：(1) 5 8－2 27 18
10 2－6 33 2 13 2－6 3.
(4)原式 = ( 13)2 32 13 9 4.
(5)
12
1 3
3；
(6) 8 18 . 2
解：(5)原式 = 12 3 1 3 36 1 6 1 5.
3
(6)原式 = 8 18 4 9 2 3 5.
22
对于化简运算的结果中，如果被开方数相同 的根式，应当将这些项合并。
第二章 实数
二次根式
第2课时 二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
8
2 2， 3 2， 4 5， 2， 2， 2 5.
2
4
2. 上述化简后的二次根式有什么特点? 你会怎么对它们
进行分类?
某些二次根式化简后被开方数相同.
( 2 ) 2 18－ 5013 45 6 2－5 2 5
2 5.
(3) 44 －(3 1111 2)； (4) ( 48－4 18)－(3 13－4 0.5).
解：(3)
44 （3
11+11
2） (4（)
48 4
1）（3 8
1 4 3
0.5）
=2 11 3 11 11 2 11 11 2.
例4 计算：
(1)3 2 2 3 ；
(2) 12 3 5 ；
(3)( 5 1)2 ；
(4)( 13 3)( 13 3) ；
解：(1)原式 = 3 2 2 3 6 6.
(2)原式 = 123 5 36 5 6 5 1.
(3)原式 = ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5.
48 4 1 3 1 4 1 83 2
4 3 4 2 3 3 4 2
4
3
2
4 3 2 32 2
3 3 2.
6. 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心 的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π 取）.
d
解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别
33
解： (1)原式 = (2 2)2 (3 3)2 8 27 19.
(2)原式 = 6 4 2 3 2 4 2 2.
(3)原式 =
22 3
3 32
43 2 3 1
32
3
32 3
3
3.
4. 已知 x + y = －4，xy = 2. 求 x y 的值.
yx
解： 原式=
xy y2
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
即 m a n b mn ab a≥0，b≥0.
同样，二次根式也可以进行加减运算，以前学 过的实数的运算法则、运算律仍然适用。
二次根式的加减运算
合作探究
1.（1）3x2 + 2x2 = 5x2 ；（2）x2 + 2x2 + 4y = 3x2 + 4y . 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 80 45. 解： 80 45 4 5 3 5 5. 3. 3 5 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为两个加数都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
2
1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （1）8 （ 2 ）＝ 4； （2）2 5 （ 5 ）＝10；
（3） 3
2＝
3
6.
2. 下列计算正确的是（ B ）
A. 4 3 3 3 1
B. 27 3 3
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
(1)(2 2 3 3)(3 3 2 2) ； (2)(2 2)(3 2 2) ； (3) 12 1 11.
(必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6. 归纳 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键
归纳 当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式
乘单项式的法则计算，即 m a n b mn ab a≥0，b≥0.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a b c n abc n a≥0，b≥0，c≥0，，n≥0.
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，
化为最简 二次根式
用分配 整式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
例5 计算：
(1) 48 3 ；
(2) 5 1 ； 5
(3)
4 3
3
6.
解：(1)原式 = 163 3 16 3 3 4 3 3 5 3.
典例精析 例1 计算：
(1) 6 2； (2) 6 3； (3) 2 .
3
2
5
解：(1) 6 2 6 2 4 2.
3
3
(2) 6 3 63 63 9 3.
2
2
2
(3) 2 2 2 5 10 . 5 5 55 5
例2 计算：(1) 3 5 ； (2) 1 27 ； (3) 2 3 5.
8 ，18 ，0.5 ，1 为一组；
8
80 ， 20 为一组.
二次根式的乘除运算
还记得吗?
二次根式的两个性质
现在把等号的左边与右 边交换，就可得到
二次根式的 乘法法则和
除法法则
a b a b（a≥0，b≥0），
a b
a b （a≥0，b＞0）．
a b a b（a≥0，b≥0），
a b
a b（a≥0，b＞0）．