高考数学总复习 63 等比数列课件 新人教B版

(10)等比数列{an}的单调性
当 a1>0 q>1
， 或 a1<0 0<q<1
时 ， {an} 为 递 增 数 列 ， 当
a1>0 0<q<1
，或a1<0 q>1
时，{an}为递减数列．
误区警示 1．命题 A：G 是 a、b 的等比中项，B：G＝ ab， A 既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要条件． 2．在应用等比数列的前 n 项和公式时，一定要对 q ＝1 与 q≠1 进行分类讨论．
(文)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1＝1，S6 ＝4S3，则 a4＝________.
解析：设等比数列的公比为 q. 当 q＝1 时，6a1＝4×3a1⇒a1＝0(舍)． 当 q≠1 时，由 S6＝4S3⇒a111－－qq6＝4·a111－－qq3⇒1 ＋q3＝4⇒q3＝3⇒a4＝a1q3＝3.
(文)(2011·日照二模)在等比数列{an}中，若 a9＋a10 ＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则 a99＋a100＝________.
分析：由条件式中下标的构成规律可知，可利用等 比数列的性质求解．
解析：因 为{an}是等比数列，所以 a9＋ a10， a19＋
a20，…，a99＋a100 成等比数列，从而得 a99＋a100＝ba89. 答案：ba89
答案：C 点评：等比数列{an}中，a1≠0，q≠0 在解方程过程 中常要用到．
(文)(2011·广东文，11)已知{an}是递增等比数列， a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比 q＝________.
解析：∵a4＝a2q2＝2q2，a3＝a2q＝2q，a4－a3＝4， ∴2q2－2q＝4， ∴q2－q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1. ∵{an}为递增数列，∴q＝2.
(2)因为 Sn＝a111－－33n＝12a1·3n－12a1，bn＝1－Sn＝1 ＋12a1－12a1·3n.
要使{bn}为等比数列，当且仅当 1＋12a1＝0，即 a1＝ －2.
答案：B
点评：由等比数列的性质可知，P＝a1a4a7…a28，Q ＝a2a5a8…a29，R＝a3a6a9…a30，构成等比数列，∴Q2＝ PR，PQR＝Q3，抓住规律思路就开阔了.
等比数列的判断与证明
[例 4] 已知数列{an}的首项 a1＝23，an＋1＝an2＋an1，n ＝1，2，….
(1)证明：数列{a1n－1}是等比数列； (2)求数列{ann}的前 n 项和 Sn.
(1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝1－Sn，问：是否存在 a1，使数列{bn}为 等比数列？若存在，求出 a1 的值；若不存在，请说明 理由．
解析：(1)依题意，得 2Sn＝an＋1－a1. 当 n≥2 时，有 2Sn－1＝an－a1. 两式相减，得 an＋1＝3an(n≥2)． 又因为 a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0， 所以数列{an}是首项为 a1，公比为 3 的等比数列． 因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．
(3)a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (4)Sn＝A·qn－A(A、q 为常数且 A≠0，q≠0,1)⇔{an} 是公比不为 1 的等比数列．
2．一般地，{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公差 d≠0，公比 q≠1)，cn＝anbn，求数列{cn}前 n 项的和用“乘 公比、错位相减法”．
答案：2
(理)(2010·吉林一模)已知数列{an}是公比为 q 的等比 数列，且 a1，a3，a2 成等差数列，则公比 q 的值为( )
A．1 或－12
B．1
C．－12
D．－2
解析：由数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3， a2 成等差数列，得 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得 q＝1 或－12. 答案：A
解析：设{an}的公比为 q，q>0. 由已知得 a4＋3a3＝2×5a2＝10a2， 即 a2q2＋3a2q＝10a2，∵a2＝2，∴q2＋3q－10＝0， 解得 q＝2 或 q＝－5(舍去)， 则 a1＝1，∴S5＝a111－－qq5＝1×1－1－225＝31.
答案：B 点评：在数列问题中，列方程时可以列出首项和公 比(公差)的方程求解(这是一般方法)，更要能够结合题目 特点灵活掌握．
4．等比中项 如果三个数 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 和 b an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{bann}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝qm－n.
(2)由(1)知a1n－1＝12·2n1－1＝21n，
即a1n＝21n＋1，∴ann＝2nn＋n.
设 Tn＝12＋222＋233＋…＋2nn，
①
则12Tn＝212＋223＋…＋n－2n 1＋2nn＋1，
②
①－②得12Tn＝12＋212＋…＋21n－2nn＋1
＝1211－－1221n－2nn＋1＝1－21n－2nn＋1 ∴Tn＝2－2n1－1－2nn. 又 1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1. ∴数列{ann}的前 n 项和 Sn＝2－2＋2nn＋nn2＋1＝n2＋2n＋4－n＋2n 2.
log2(a2a98)＝4，则 a40a60 等于( )
A．－16
B．10
C．16
D．256
分析：观察条件与待求项中的下标可以发现 2＋98 ＝40＋60，故可利用等比数列的性质求解．
解析：由 log2(a2a98)＝4，得 a2a98＝24＝16，则 a40a60 ＝a2a98＝16.
答案：C
点评：在解决有关等差(比)数列的几项的和(或积)的 问题时，一般先观察一下其下标的构成是否有规律，如 果存在某种规律，大多可用性质简化解题过程．
答案：3
(理)在等比数列{an}中，已知 a6－a4＝24，a3a5＝64. 则{an}前 8 项的和 S8＝________.
解析：因为{an}是等比数列，所以依题设条件得 a42＝a3·a5＝64.∴a4＝±8 ∵{an}是等比数列，∴q2＝aa46>0， 故 a4＝－8 舍去，得 a4＝8，∴a6＝a4＋24＝32，
(6)a2n＝an－k·an＋k (1≤k<n，n、k∈N*)． (7){an}是等比数列，则{a2n}、{ an}(an>0)、{a1n}、{|an|} 均为等比数列． (8)非零常数列既是等差数列，也是等比数列． (9)若{an}是等差数列，b>0，则{ban}是等比数列． 若{an}是正项等比数列，则{lgan}是等差数列．
3．等比数列的设项技巧 (1)对于连续奇数项的等比数列，通常可设为…，qa2， qa，a，aq，aq2，…； (2)对于连续偶数项的等比数列，若公比大于 0，则 通常可设为…，qa3，qa，aq，aq3，….
等比数列的概念与通项公式
[例 1] (2011·龙岩质检)已知数列{an}是首项为 a1 的 等比数列，则能使 4a1，a5，－2a3 成等差数列的公比 q 的
( 理 )(2011·福 州模拟 ) 已知由 正数组 成的等 比数列
{an}，公比 q＝2，且 a1·a2·…·a30＝230，则 a3·a6·a9·…·a30
＝( )
A．210
B．220
C．216
D．215
解析：不妨设 a3·a6·a9·…·a30＝c，则 a1·a4·a7·…·a28＝ 2c20，a2·a5·a8·…·a29＝2c10，因为 a1·a2·…·a30＝230，因此2c330＝ 230，∴c＝220.
个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
分析：依据等比数列的通项公式可将 a1，a3，a5，用
a1 和 q 表示，由条件可列方程求解．
解析：∵4a1，a5，－2a3 成等差数列，∴2a5＝4a1＋(－ 2a3)．设数列{an}的公比为 q，则 a5＝a1q4，a3＝a1q2，
∴2a1q4＝4a1－2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，∴ q2＝1 或 q2＝－2(舍去)，∴q＝1 或 q＝－1.选 C.
分析：(1)要证明{a1n－1}是等比数列，本身已指出了
变形的方向，即把条件式
an＋
1＝an2＋an1
变形为 1 an＋
－
1
1＝
pa1n－1的形式．
(2)由第(1)问可求得 an，这样可得 bn＝ann，观察{bn} 的前 n 项和 Sn 表达式可知，可分部求和．
解析：(1)∵an＋1＝an2＋an1， ∴an1＋1＝an2＋an1＝12＋12·a1n， ∴an1＋1－1＝12a1n－1， 又 a1＝23，∴a11－1＝12， ∴数列{a1n－1}是以12为首项，12为公比的等比数列．
点评：证明一个数列是等比数列，常用方法是： ①证明对于任意自然数 n，aan＋n 1都等于同一个常数即 可． ②对于一个数列，若除了首项和末项(有穷数列)外， 任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列即为等 比数列．
(文)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，其中 an≠0，a1 为常数，且－a1，Sn，an＋1 成等差数列．
第三节
等比数列
重点难点 重点：等比数列的定义、通项公式、前 n 项和及等 比数列的基本性质 难点：等比数列的应用
知识归纳 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比 数列．
2．等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1(n∈N*)． 推导方法：累乘法：aan－n 1·aann－－12……aa23·aa21＝qn－1. 3．等比数列的前 n 项和 当 q＝1 时，Sn＝na1， 当 q≠1 时．Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. 推导方法：乘公比、错位相减法．
从而 a5＝± a4×a6＝±16， 公比 q 的值为 q＝aa54＝±2. 当 q＝2 时，得 a1＝1，所以 S8＝a111－－qq8＝255； 当 q＝－2 时，得 a1＝－1，所以 S8＝a111－－qq8＝85. 故答案为：S8＝255 或 85.
答案：255或85
等比数列的性质
[例 3] (2011·浙江杭州月考)正项等比数列{an}中，若
3．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零，项 与公比的符号有着密切的联系，解题时应特别注意．
4．若 m、n、r∈N*且 m＋n＝2r，{an}为等比数列， 则 am·an＝a2r，不是 am·an＝a2r，也不是 am＋an＝a2r.
一、方程的思想 等比数列中有五个量 a1、n、q、an、Sn，一般可以 “知三求二”，通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可 迎刃而解．
等比数列的前n项和公式
[例 2] (2011·浙江金华联考)已知正项数列{an}为等 比数列，且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项，若 a2＝2，则该 数列的前 5 项的和为( )
33 A. 12
B．31
C.
31 4
D．以上都不正确
分析：由等差中项的条件和 a2 可建立方程求出公比 q 及 a1，再由求和公式求和．
(4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ ap·aq.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
(5)等间隔的 k 项和(或积)仍成等比数列． 例如：{an}是等比数列，则 ①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…； ③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6……均 成等比数列．
二、分类讨论思想 当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时， {an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，此处是常考易错点．
三、解题技巧 1．等比数列的判定方法 (1)aan＋n1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*，an≠0)⇔{an} 是等比数列，证明一个数列是等比数列时主要用此方法． (2)an＝cqn－1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an} 是等比数列．