新人教A版必修二 向量加法运算及其几何意义 课件(19张)
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若︱a︱<︱b︱,则a+b与b的方向相同,且︱a+b︱=︱b︱-︱a︱.当a与b不共
线时,由三角形法则知,︱a+b︱<︱a︱+︱b︱. 探究2:向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系? 提示:向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调 “首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于 所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联 系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
课标要求:1.掌握向量加法的定义,会用三角形法则和平行四边形法则 求(作)两个向量的和向量.2.理解向量加法的交换律和结合律,并会用 它们进行简单的向量运算.
自主学习
知识探究
1.向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量___和____的运算,叫做向量的加法
前提 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
即时训练 2-1:已知点 A,B,C,D,M,O 为不重合的点,则下列各式中结果为 0 的个
数为
.
① AB + BC + CA ;② AB + MB + BO + OM ;③ OA + OC + BO + CO ;④ AB + CA
+ BD + DC .
解析:① AB + BC + CA = AC + CA =0;
加法 三角形 法则 法则
作法 作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
结论 向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b=
AB + BC =___A_C__
图形
前提 已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O
加法 平行四边
作法
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作 ▱OACB
解析:结合向量运算的三角形法则:︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱. 当a与b共线且同向时,有︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.故选A.
4.设a表示“向东走了2 km”,b表示“向南走了2 km”,c表示“向西走了2
பைடு நூலகம்km”,
d表示“向北走了2 km”,则
(1)a+d表示向
走了
km;
(2)b+c表示向
走了
km;
(3)a+c+d表示向
题型三 向量在平面几何中的应用 【例 3】如图所示,P,Q 是△ABC 的边 BC 上两点,且 BP=QC.求证: AB + AC = AP + AQ .
证明:因为 AB = AP + PB , AC = AQ + QC , 而由题知 BP = QC , 所以 PB + QC =0, 所以 AB + AC = AP + AQ +( PB + QC )= AP + AQ .
证明: AE = AB + BE , FC = FD + DC , 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB = DC . 因为 FD=BE,且 FD 与 BE 的方向相同, 所以 FD = BE ,所以 AE = FC , 即 AE 与 FC 平行且相等, 所以四边形 AECF 是平行四边形.
题型一 向量加法的两种法则 【例1】如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b.
解:法一 在平面内任取一点 O, 作 OA =a, AB =b. 则 OB =a+b.
法二 在平面内任取一点 O, 作 OA =a, OB =b, 以 OA,OB 为邻边作▱ OACB,连接 OC, 则 OC = OA + OB =a+b.
法则 形法则
结论 对角线___O_C__就是 a 与 b 的和
图形 规定 零向量与任一向量a的和都有a+0=___0_+_a_____=___a____.
探究1:︱a+b︱与︱a︱和︱b︱之间的大小关系如何?
提示:当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.当a与b反
向共线时,若︱a︱>︱b︱,则a+b与a的方向相同,且︱a+b︱=︱a︱-︱b︱;
2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=____b_+_a_____.
(2)结合律:(a+b)+c=____a_+_(_b_+_c_)_____.
自我检测
1.下列等式错误的是( D )
(A)a+0=a
(B)a+b=b+a
(C)a+(b+c)=(a+b)+c (D) AB + AC = BC
2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( C )
走了
km;
(4)b+c+d表示向
走了
km.
答案:(1)东北 2 2 (2)西南 2 2 (3)北 2 (4)西 2
5.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则︱ AB + BC + AD + DC ︱等于
.
解析:︱ AB + BC + AD + DC ︱=︱2 AC ︱=2 2 . 答案:2 2
课堂探究
误区警示 两种法则应用的误区 利用向量的三角形法则求a+b,务必使它们的“首尾顺次连接”,利用平行 四边形法则求a+b,务必使它们的起点重合.
即时训练1-1:已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b.
解: 如图所示:在平面内任取一点 O, 作 OA =a, AB =b,则 OB =a+b.
题型二 向量的加法运算 【例2】如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列 三式: (1) BC + CE + EA ; (2) OE + AB + EA ; (3) AB + FE + DC .
解:(1) BC + CE + EA = BE + EA = BA . (2) OE + AB + EA =( OE + EA )+ AB = OA + AB = OB (3) AB + FE + DC = AB + BD + DC = AD + DC = AC .
方法技巧 向量加法运算的方法 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的 排列顺序,特别注意勿将0写成0.
方法技巧 向量加法几何意义的应用 利用向量加法的几何意义解决平面几何问题的基本思想是把平面几何图 形中的有关线段转化为向量,然后利用向量加法的几何意义,对相关向量进 行合理转化求解.
即时训练3-1: 如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向 延长线上取点F,E,使BE=DF. 求证:四边形AECF是平行四边形.
(A) AB = CD , BC = AD (B) AD + OD = DA (C) AO + OD = AC + CD (D) AB + BC + CD = DA
3.a,b为非零向量,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱,则( A ) (A)a∥b,且a与b方向相同 (B)a,b是共线向量且方向相反 (C)a=b (D)a,b无论什么关系均可
②原式=( AB + BO )+( OM + MB )= AO + OB = AB ≠0; ③原式= OA +( BO + OC )+ CO = OA +( BC + CO )= OA + BO = BA ≠0; ④原式=( AB + BD )+( DC + CA )= AD + DA =0. 故结果为 0 的为①④. 答案:2
线时,由三角形法则知,︱a+b︱<︱a︱+︱b︱. 探究2:向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系? 提示:向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调 “首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于 所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联 系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
课标要求:1.掌握向量加法的定义,会用三角形法则和平行四边形法则 求(作)两个向量的和向量.2.理解向量加法的交换律和结合律,并会用 它们进行简单的向量运算.
自主学习
知识探究
1.向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量___和____的运算,叫做向量的加法
前提 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
即时训练 2-1:已知点 A,B,C,D,M,O 为不重合的点,则下列各式中结果为 0 的个
数为
.
① AB + BC + CA ;② AB + MB + BO + OM ;③ OA + OC + BO + CO ;④ AB + CA
+ BD + DC .
解析:① AB + BC + CA = AC + CA =0;
加法 三角形 法则 法则
作法 作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
结论 向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b=
AB + BC =___A_C__
图形
前提 已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O
加法 平行四边
作法
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作 ▱OACB
解析:结合向量运算的三角形法则:︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱. 当a与b共线且同向时,有︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.故选A.
4.设a表示“向东走了2 km”,b表示“向南走了2 km”,c表示“向西走了2
பைடு நூலகம்km”,
d表示“向北走了2 km”,则
(1)a+d表示向
走了
km;
(2)b+c表示向
走了
km;
(3)a+c+d表示向
题型三 向量在平面几何中的应用 【例 3】如图所示,P,Q 是△ABC 的边 BC 上两点,且 BP=QC.求证: AB + AC = AP + AQ .
证明:因为 AB = AP + PB , AC = AQ + QC , 而由题知 BP = QC , 所以 PB + QC =0, 所以 AB + AC = AP + AQ +( PB + QC )= AP + AQ .
证明: AE = AB + BE , FC = FD + DC , 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB = DC . 因为 FD=BE,且 FD 与 BE 的方向相同, 所以 FD = BE ,所以 AE = FC , 即 AE 与 FC 平行且相等, 所以四边形 AECF 是平行四边形.
题型一 向量加法的两种法则 【例1】如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b.
解:法一 在平面内任取一点 O, 作 OA =a, AB =b. 则 OB =a+b.
法二 在平面内任取一点 O, 作 OA =a, OB =b, 以 OA,OB 为邻边作▱ OACB,连接 OC, 则 OC = OA + OB =a+b.
法则 形法则
结论 对角线___O_C__就是 a 与 b 的和
图形 规定 零向量与任一向量a的和都有a+0=___0_+_a_____=___a____.
探究1:︱a+b︱与︱a︱和︱b︱之间的大小关系如何?
提示:当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱.当a与b反
向共线时,若︱a︱>︱b︱,则a+b与a的方向相同,且︱a+b︱=︱a︱-︱b︱;
2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=____b_+_a_____.
(2)结合律:(a+b)+c=____a_+_(_b_+_c_)_____.
自我检测
1.下列等式错误的是( D )
(A)a+0=a
(B)a+b=b+a
(C)a+(b+c)=(a+b)+c (D) AB + AC = BC
2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( C )
走了
km;
(4)b+c+d表示向
走了
km.
答案:(1)东北 2 2 (2)西南 2 2 (3)北 2 (4)西 2
5.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则︱ AB + BC + AD + DC ︱等于
.
解析:︱ AB + BC + AD + DC ︱=︱2 AC ︱=2 2 . 答案:2 2
课堂探究
误区警示 两种法则应用的误区 利用向量的三角形法则求a+b,务必使它们的“首尾顺次连接”,利用平行 四边形法则求a+b,务必使它们的起点重合.
即时训练1-1:已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b.
解: 如图所示:在平面内任取一点 O, 作 OA =a, AB =b,则 OB =a+b.
题型二 向量的加法运算 【例2】如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列 三式: (1) BC + CE + EA ; (2) OE + AB + EA ; (3) AB + FE + DC .
解:(1) BC + CE + EA = BE + EA = BA . (2) OE + AB + EA =( OE + EA )+ AB = OA + AB = OB (3) AB + FE + DC = AB + BD + DC = AD + DC = AC .
方法技巧 向量加法运算的方法 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的 排列顺序,特别注意勿将0写成0.
方法技巧 向量加法几何意义的应用 利用向量加法的几何意义解决平面几何问题的基本思想是把平面几何图 形中的有关线段转化为向量,然后利用向量加法的几何意义,对相关向量进 行合理转化求解.
即时训练3-1: 如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向 延长线上取点F,E,使BE=DF. 求证:四边形AECF是平行四边形.
(A) AB = CD , BC = AD (B) AD + OD = DA (C) AO + OD = AC + CD (D) AB + BC + CD = DA
3.a,b为非零向量,且︱a+b︱=︱a︱+︱b︱,则( A ) (A)a∥b,且a与b方向相同 (B)a,b是共线向量且方向相反 (C)a=b (D)a,b无论什么关系均可
②原式=( AB + BO )+( OM + MB )= AO + OB = AB ≠0; ③原式= OA +( BO + OC )+ CO = OA +( BC + CO )= OA + BO = BA ≠0; ④原式=( AB + BD )+( DC + CA )= AD + DA =0. 故结果为 0 的为①④. 答案:2