2020年高考数学(理)二轮专项复习专题02 函数含答案

专题02 函数
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1 函数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．
2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【例题分析】
例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．
所以，2的象是22＋2＝6；
设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．
由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．
例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,
0,22,
0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a 的所有可能值为
______．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f (1)＝3．
又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1， 当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；
当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．
例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==
(B)2|,|t y x y =
=
(C)1,1
1
2+=--=
x y x x y (D)x x y x y 2
,==
【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例4 求下列函数的定义域 (1);11--=
x y
(2);3
212
-+=
x x y
(3);)1()3lg(0-+-=x x
x y
(4);2
|2|12
---=x x y
解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}． (2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．
(3)由⎪⎩
⎪⎨⎧=/-=/>-,01,
0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1， 所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}
(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=
/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,
112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．
所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．
例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．
【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．
例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．
解：根据题意，AB ＝2x ．
⋅--=
=2
π2,πx
x l AD x 所以，.)2
π
2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅
根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,
0+<<⎪⎩
⎪
⎨⎧>-->l x x
x l x 得 所以，所求函数定义域为⋅+<
<}π
20|{l
x x 【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2
π
π+≠k x ，k ∈Z ．
(2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．
(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际
问题对自变量的限制．
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．
例7 (1)已知2
1)1(x x
x
f -=
，求f (x )的解析式； (2)已知221
)1(x
x x x f +=+，求f (3)的值；
(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．
【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．
方法一．⋅-=
-=
1)1
(111)1(2x
x
x x
x
f 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f 是“原象对应于原
象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=
1
)(2x x
x f 方法二．设t x =1，则t x 1=．则1111
)(22
-=-=t t t
t t f ，所以⋅-=1)(2x x
x f
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2
222=-=-+=+
=+f x x f x
x x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1， 所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，
又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3． f (x )＝3(x －1)2－1＝3x 2－6x ＋2．
(4)这个问题相当于已知f (x )的图象满足一定的条件，进而求函数f (x )的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f (x )的解析式．
设f (x )的图象上任意一点坐标为P (x ，y )，则P 关于x ＝1对称点的坐标为Q (2－x ，y )，由已知，点Q 在函数y ＝g (x )的图象上，
所以，点Q 的坐标(2－x ，y )满足y ＝g (x )的解析式，即y ＝g (2－x )＝22－
x ， 所以，f (x )＝22－
x ．
【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．
值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．
例8 已知二次函数f (x )的对称轴为x ＝1，且图象在y 轴上的截距为－3，被x 轴截得的线段长为4，求f (x )的解析式．
解：解法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (x )的对称轴为x ＝1，可得b ＝－2a ； 由图象在y 轴上的截距为－3，可得c ＝－3；
由图象被x 轴截得的线段长为4，可得x ＝－1，x ＝3均为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根． 所以f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，所以a ＝1． f (x )＝x 2－2x －3．
解法二 因为图象被x 轴截得的线段长为4，可得x ＝－1，x ＝3均为方程f (x )＝0的根． 所以，设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，
又f (x )图象在y 轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点． 即－3a ＝－3，a ＝1．所以f (x )＝x 2－2x －3．
【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重． 二次函数的解析式有三种形式： 一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；
顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中(h ，k )为顶点坐标；
双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2为函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．
例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h ，年用电量为a kW·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．
经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；
(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％? 解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4
.0a x k
+-
故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4
.0(
≤≤-+-=x x a x k
y ．
(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，
%),201)(3.08.0()3.0)(4
.02.0(
+-≥-+-a x a x a
且0.55≤x ≤0.75，
解得0.60≤x ≤0.75．
所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．
练习2－1
一、选择题 1．已知函数x
x f -=11
)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}
(B){x ｜x ＜1}
(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅
2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
(A))20(|1|23
≤≤-=
x x y (B))20(|1|2
3
23≤≤--=
x x y (C))
20(|1|23
≤≤--=x x y
(D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)
3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1
(x
f ( )
(A)x x 212+
(B)11
2-x
(C)2
2143x
x x ++ (D)
2
1
2x
x + 4．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )
(A)0 (B)0或
2
3 (C)3± (D)3
二、填空题
5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2
||3)(--=
x x
x f 的定义域是______． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出
则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．
8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______．
三、解答题
9．已知f (x )＝2x
＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),
0(1),
0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．
10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为
x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．
11．如图，直角边长为2cm 的等腰Rt △ABC ，以2cm ／s 的速度沿直线l 向右运动，求该三角形与矩形CDEF
重合部分面积y (cm 2)与时间t 的函数关系(设0≤t ≤3)，并求出y 的最大值．
§2－2 函数的性质
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则
当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；
当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M
称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 【例题分析】
例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1
)(-=
x x
x f
(2);11)(+=x
x f (3)f (x )＝x 3－3x ；
(4);11lg
x
x
y -+= (5)⋅+-=1
21
2x
x y 解：(1)解
01
≥-x x
，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )， 所以此函数为奇函数． (4)解
011>-+x
x
，得－1＜x ＜1， 又),(11lg 11lg )(1)(1lg
)(x f x
x
x x x x x f -=-+-=+-=---+=-
所以此函数为奇函数．
(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f x
x
x
x -=+-=+-=---， 所以此函数为奇函数．
【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：
①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类． 例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：
①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)
【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．
③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．
④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． 所以，②④为奇函数．
例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．
解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，
再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零， 故f (x )是奇函数而非偶函数．
【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．
令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x
1
，y ＝x ，等等．
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇
气．
例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小． 解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴， 所以12
=-
b
，b ＝－2． 根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．
例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值；
(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．
解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．
(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ．
方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．
例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-a
b
上为增函数． 证明：设),2(21+∞-
∈a
b
x x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-
∈a
b
x x 、， 所以0)(,2121>++->+b x x a a
b x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0， 函数y ＝ax 2＋bx ＋
c (a ＞0)在区间),2(+∞-
a
b
上为增函数． 例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；
(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ， 由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．
(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6， 解得a ＞3或a ＜－2．
【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．
由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数； 不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)； 若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点． 函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．
例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；
(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0． 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，
又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0， 因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，
因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数， 所以f (n )＞f (－m )，
因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )， 所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．
例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；
(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．
解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ． 所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝
4
1． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]． 所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．
练习2－2
一、选择题
1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x
(B)y ＝｜x ｜
(C)x
y 1
(D)y ＝x 2＋2x
2．下列判断正确的是( )
(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数
(B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数
(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减
函数
(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数
3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2
(B)2
(C)1
(D)－1
4．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数
(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数 (D)f (x )＋f (－x )是偶函数
二、填空题
5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______． 6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．
7．设函数x
a x x x f )
)(1()(++=
为奇函数，则实数a ＝______．
8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2
π
,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：
①x 1＞x 2； ②;2
22
1x x > ③｜x 1｜＞x 2． 其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题
9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3
(a
a f +
与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．
10．已知函数).,0()(2R ∈=/+
=a x x
a x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．
11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)试判断函数f(x)的单调性；
(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．
§2－3 基本初等函数(Ⅰ)
本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．
函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．
掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函
数性质的时候应全面考虑．
函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】
1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；
(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；
(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-
k
b
2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++
=a b ac a
b x a y 44)2(2
2 (1)定义域为R ：
当a ＞0时，值域为),44[2
+∞-a
b a
c ；
当a ＜0时，值域为]44,(2
a
b a
c --∞；
(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为a
b
x 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --
．
当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．
(3)当a ＞0时，]2,(a b -
-∞是减区间，),2[+∞-a b
是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-a
b
是减区间．
(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．
(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点a
ac
b b 242
-±-；
当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点a
b 2-； 当判别式∆＝b 2－4a
c ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．
(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．
4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，
对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．
(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，
(4)函数的零点为1． 5．幂函数y ＝x α(α∈R )
幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；
(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地接近y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地接近x 轴．
要注意：
因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x ∈(0，＋∞)时，x α＞0，所以所有的幂函数y ＝x α(α∈R )在第一象限都有图象．
根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．
6．指数与对数
(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋
)，则x 叫做a 的n 次方根．
负数没有偶次方根．
),1()(+∈>=N n n a a n n ；
⎩
⎨
⎧=为偶数时当为奇数时
当n a n a a n
n
|,|,)( (2)分数指数幂，
)0(1
>=a a a n n
；
,0()(>==a a a a n m m n n
m n ，m ∈N *，且
n
m
为既约分数)． *N ,,0(1∈>=
-m n a a
a n
m n
m ，且
n
m
为既约分数)． (3)幂的运算性质
a m a n ＝a m ＋
n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．
(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ，
即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：N
a a
log ＝N ．
(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：
N M N
M
N M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；
b
N
N a a b log log log =
.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).
【复习要求】
1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，
y ＝x 2，y ＝x 3，21
,1
x y x
y ==这五个具体的幂函数的图象与性质．
2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；
3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题． 【例题分析】
例1 化简下列各式： (1)3
15
227
32-⨯；
(2)0
31
π2)27
102(412-+-；
(3)2
1)972()71()
027.0(23
1
+----
；
(4)log 2[log 3(log 464)]；
(5)
40
15018lg 5lg 2lg g g --+．
解：(1)⋅=
⨯=⨯=⨯--
-3
432)
3()2(2732123
13
5
253
15
2 (2)⋅=-+=-+=-+--4
1243232)2764()49(π2)27102()412(31
21
31
5.0
(3)443
549310)925(49)103()972()71()
027.0(21
31332123
1
-=+-=+-=+-----
(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．
(5) .14
5lg 45
lg
4050lg 852lg
40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=
--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键． 例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式． 解：解法一
设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=+--=++,
7,4,4,,
8441,1242c b a a
b a
c c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7． 解法二
f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，
为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为2
1
2)1(2=-+=x ， 又f (x )的最大值为8，所以8)2
1
()(2+-=x a x f .
因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)2
11(12+--=-a ，解得a ＝－4． 所以所求二次函数为7448)2
1(4)(22++-=+--=x x x x f .
例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______． (2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______．
(3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______． 解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数， 画简图可知此抛物线对称轴2
2
+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧， 于是有22
2
≤+-
a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨
⎧<--<0
)3(416,
0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．
(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图
象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．
例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．
解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,3
1(，符合题意；
当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；
当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，
所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2
m
m a b m m 解得0＜m ≤1．
综上，m ∈(－∞，1]．
【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．
例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．
例5 (1)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋b 与y ＝b ax 的图象只可能是( )
(2)函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象分别是图中的①、②、③、④，则a ，b ，c ，d 的大小关系是______．
【分析】(1)在选项(A)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＜0，b ＞1， 所以b a ＜b 0＝1(根据以为底的指数函数的性质)， 所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为减函数．
在选项(B)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＞0，b ＞1， 所以b a ＞b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为增函数． 在选项(C)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＞0，0＜b ＜1，
所以b a ＜b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为减函数．与图形提供的信息相符． 在选项(D)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＜0，0＜b ＜1， 所以b a ＞b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为增函数．综上，选C ．
(2)如图，作直线y ＝1与函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象 依次交于A ，B ，C ，D 四点，则A ，B ，C ，D 四点的横坐标分别为a ，b ，c ，d ， 显然，c ＜d ＜a ＜b ．
【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．
这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．
例6 已知幂函数)()(22
1
23Z ∈=-+k x
x f k k ．
(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以02
1
232>-+k k ，解得－1＜k ＜3， 因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，
又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以02
1
232<-+k k ， 解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )． 例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)2
1
log ,0,6.0log 6
.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3
131
；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －
n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)
【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0， 函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 2
1
log 6.06.0=> 所以2
16.0log 06.0log 2<<. (2)由于24
11
)21(322>+
-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．
(4)因为9)3(,8)2(6
36==.根据不等式的性质有.323<
(5)因为;32
)21(,)728()21(,2782131
3131>>>即所以 比较3
2
与log 32，只需比较32
33log 与log 32，
因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较3
23与2的大小， 因为3
3
32289)3(=>=，所以233
2>，所以
2log 3
2
3>， 综上，.2log 3
2
)21(331
>>
(6))1)((1)(--=
+-+++--n m n m n
m n n m m a a a a
a a a a ，
当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋
n ＞1，所以a m ＋a
－m
＞a n ＋a －
n ；
当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋
n ＜1，所以a m ＋a －
m ＞a n ＋a －
n ． 综上，a m ＋a －
m ＞a n ＋a －
n ．
例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小． 【分析】方法一(作商比较法)
b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+ab
b a ，所以a ＋b ＜ab ． 方法二(作差比较法)
)]2()2([2
1
)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=
-+， 因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 方法三(构造函数)
令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数， 因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，。