人教版2024-2025学年九年级数学上册期中检测考试试卷[含答案]

2024-2025学年人教版九年级数学上册期中检测考试试卷
同学，你好！答题前请认真阅读以下内容：
1.本卷为物理卷，全卷共4页，满分150分，答题时长120分钟，考试形式为闭卷．
2.请在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效．
3.不得使用计算器．一、选择题（每题3分，共计36分，每题只有唯一选项正确，请把正确答案填入答题卡指定位置）
1．下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若一元二次方程2440mx x ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．1m < B ．1m <-
C ．1m ³-
D ．1m >
3．抛物线()2
1112
y x =-+-的顶点坐标为（ ）A ．()
1,1--B ．()1,1C ．()
1,1-D ．()
1,1-4．已知1x ，2x 是方程2440x x ++=的两个根，则12x x +的值为（ ）A ．4
-B ．4
C ．2
-D ．2
5．如图，在Rt ABC △中，已知9030BAC C Ð=°Ð=°，，将ABC V 绕点A 顺时针旋转70°得到AB C ¢¢△，则CAC ¢Ð的度数是（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．90°
6．二次函数()2
0y ax bx a =+¹的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20ax bx +=的根
的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
7．若二次函数2y ax =的图象经过()2,4P -，则该图象必经过点（ ）A ．()
2,4B ．()
2,4--C ．()
4,2--D ．()
4,2-8．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ）A ．()3118x +=B ．()2
3118
x +=C ．()2
33118
x +=+D ．()()2
3313118
x x +++=+9．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y 个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x ，那么y 与
x 的函数关系是（ ）
A ．()2
10001y x =+B ．()
2
10001y x =-C ．()2
11000
y x =-+D ．21000
y x =+10．若方程20x px q -++=的一个根大于1，另一根小于1，则p q +的值（ ）A ．不大于1
B ．大于1
C ．小于1
D ．不小于1
11．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；
②1b c +=-；③360b c ++=；④当13x <<时，()2
10x b x c +-+<，其中正确的个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，2BC =．点D 在BC 上，且
13BD CD =∶∶．连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接BE ，DE ．则
BDE V 的面积是（ ）
A ．
1
4
B ．
38
C ．
34
D ．
32
二、填空题（每题4分，共计24分，把答案填在答题卡指定位置上）
13．一元二次方程260x x m -+=有两个实数根1x ，2x ．若12x =，则2x 的值为 14．若二次函数()2
32y x =-+，则此二次函数图象的对称轴是 ．
15．若点(),1A a -关于原点对称的点为()5,B b ，则点(),C a b 关于y 轴对称的点D 的坐标为
．
16．已知,a b 是一元二次方程2
310x x -+=的两个根．则22b
a b a b
-+=+
．
17．小明推铅球，铅球行进高度()m y （
与水平距离()m x 之间的关系式为()2
1184105
y x =-
-+，当铅球行进的高度为16m 5时，铅球行进的水平距离x = ．
18．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，AC =P 是BC 边上一动点，连接AP ，把线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到线段AQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为
．
三、解答题（19、20、21题每题10分；22-26题每题12分，共计90分；请在答题卡指定位置作答，并写出别要的解答过程和步骤才给分）
19．解方程(1)()2
2250x --=；(2)2520x x +-=．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()()()5,4,0,3,2,1A B C ．
(1)画出ABC V 关于原点成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；(2)画出将111A B C △绕点1C 按顺时针方向旋转90°所得到的221A B C △．
21．已知关于x 的一元二次方程()()2
1360x m x m ---+=．
(1)利用判别式判断方程实数根的情况；
(2)若该方程只有一个根小于2，求m 的取值范围．
22．如图，在ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE Ð=Ð，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．
(1)求证：EF BC =；
(2)若63ABC Ð=°，25ACB Ð=°，求FGC Ð的度数．
23．已知抛物线2y ax bx c =++经过()2,0A -、()4,0B 、()2,8C 三点．(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点M 的坐标；
(2)该抛物线经过平移后得到新抛物线241y x x =-++，求原抛物线平移的方向和距离．24．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x 个50元（020x ££，且x 为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y 间，所获利润为W 元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．
(1)分别求出y 与x ，W 与x 之间的函数关系式；
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；
(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB 为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE 为16米，露出水面的高DG 为7米．四边形DEFG 为矩形，OD BE =．现以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？26．如图①，在直角三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，6AB =，8AC =．
【数学活动】
将三角形纸片ABC 进行以下操作：①折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，得到折痕DE ，然后展开铺平；②将DEC V 绕点D 顺时针方向旋转得到DFG V ，点E ，C 的对应点分别是点F ，G ，直线GF 与边AC 交于点M （点M 不与点A 重合），与边AB 交于点N ．【数学思考】
（1）折痕DE 的长为______；
（2）在DEC V 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；【数学探究】；
（3）如图②，在DEC V 绕点D 旋转的过程中，当直线GF 经过点B 时，求AM 的长；【问题延伸】；
（4）在DEC V 绕点D 旋转的过程中，连接AF ，则AF 的取值范围是______．
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据定义逐一判断即可．【详解】解：A ．是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．2．D
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
由方程无实数根即240b ac D =-<，从而得出关于m 的不等式，解之可得．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440mx x ++=无实数根，22444416160b ac m m \D =-=-´=-<，
解得：1m >．故选：D ．3．A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据()2
y a x h k =-+的顶点式(),h k 即可得到答案，
熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．【详解】解：抛物线()2
1112
y x =-+-的顶点坐标为()1,1--，故选：A 4．A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，1x ，2x 是一元二次方程200ax bx c a ++=¹（）
的两根时，12b
x x a +=-．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵1x ，2x 是方程2440x x ++=的两个实数根，∴124
41
x x +=-=-．故选：A ．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．【详解】解：∵将ABC V 绕点A 顺时针旋转70°得到AB C ¢¢△，∴70CAC ¢Ð=°，故选：B ．6．B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质；
一元二次方程210ax bx ++=的根即为二次函数20y ax bx a +=¹（）的图像与x 轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程20 ax bx +=的根即为二次函数()20y ax bx a =+¹的图像与直线x
轴的交点的横坐标，
结合图像，可知二次函数20y ax bx a +=¹（）的图像与x 轴有两个不同的交点，即方程20 ax bx +=有两个不相等的实数根，
故选：B ．7．A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y 轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为y 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：Q 二次函数2y ax =的对称轴为y 轴，且图象经过()2,4P -，
\该图象必经过点()2,4，故选：A ．8．D
【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解．
【详解】解：由题意得：第二天的票房为()31x +亿元，第三天的票房为()2
31x +亿元，
∴()()2
3313118x x ++++=故选：D ．
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为()10001x +个，则第三个月投放垃圾桶数量为()210001x +个，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，()2
10001y x =+，
故选：A ．10．B
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由题意可设20x px q -++=的两个根分别为12,x x ，结合题意设11x >，21x <，12x x p +=，12x x q =-，可得()()12110x x --<，再进一步解得可得答案．
【详解】解：设20x px q -++=的两个根分别为12,x x ，结合题意设11x >，21x <，12x x p +=，12x x q =-，∴()()12110x x --<，∴()121210x x x x -++<，∴10q p --+<，∴1p q +>．故选：B ．11．B
【分析】利用判别式的意义对①进行判断；利用x =1，1y =可对②进行判断；利用3x =，
3y =对③进行判断；根据13x <<时，2x bx c x ++<可对④进行判断．
本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【详解】解：Q 抛物线与x 轴没有公共点，
240b c \D =-<，故①不符合题意；
1x =Q ，1y =，
11b c \++=，
即0b c +=，故②不符合题意；
3x =Q ，3y =，
933b c \++=，
360b c \++=，故③不符合题意；
13x <<Q 时，2x bx c x ++<，
()210x b x c \+-+<的解集为13x <<，故④不符合题意；
故选：B ．12．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据SAS 证明EAB DAC △≌△是解题的关键．
据旋转的性质得出,90AD AE DAE =Ð=°，再根据SAS 证明EAB DAC △≌△得出45C ABE Ð=Ð=°，CD BE =，得出90EBC Ð=°，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：90BAC Ð=°Q ，AB AC =，
45ABC C \Ð=Ð=°，90BAD CAD Ð+Ð=°．
由旋转得AD AE =，90BAD BAE DAE Ð+Ð=Ð=°，
CAD BAE \Ð=Ð．
在ADC △和AEB V 中，
AD AE CAD BAE AC AB =ìï
Ð=Ðíï=î
()SAS ADC AEB \V V ≌，
BE CD \=，45ABE
C Ð=Ð=°．
90EBD ABE ABC \Ð=Ð+Ð=°．
2BC =Q ，13BD CD =：：，
11242
BD \=´
=， 33
242BE CD ==´=，
BDE \V 的面积是
11133
22228
BD BE ×=´´=．故答案为：B ．13．4
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得答案．
【详解】解：∵260x x m -+=有两个实数根1x ，2x ，12x =，
∴126x x +=，
∴24x =；
故答案为：4．
14．直线2
x =-【分析】本题主要考查了二次函数对称轴．根据二次函数的顶点式写出对称轴即可．
【详解】解：二次函数()2
32y x =-+，图象的对称轴是直线2x =-，
故答案为：直线2x =-．
15．()
5,1【分析】本题考查平面直角坐标系中任意一点(),P x y ，关于原点的对称点是(),x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，得出a ，b 的值，根据关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出答案．
【详解】解：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，
∴5a =-，1b =，
即点C 为()5,1-，
根据关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点(),C a b 关于y 轴对称的点D 的坐标为()5,1，
故答案为：()5,1．
16．73##123【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得，3a b +=，1ab =，故()2
22927332b a b a b a b a b ab +---+===++．【详解】解：由题意得，3a b +=，1
ab =∵222222
22b a b b a b a b a b a b a b
-++-+==+++，而()2222a b a b ab +=+-，
∴()2
22927332b a b a b a b a b ab +---+===++，故答案为：
73
．17．2或6【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，把165y =代入函数解析式求解即可。

【详解】解：把165y =
代入()21184105y x =--+，得()25
116518410x -+=-，解得12x =，26x =，
故答案为：2或6.
18【分析】在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接PE ，过点E 作EF BC ^于F ，由旋转的性质得出AQ AP =，60PAQ Ð=°，证明CAQ EAP ≌△△（SAS ），由全等三角形的性质得出CQ EP =，则当EF BC ^（点P 和点F 重合）时，EP 最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接PE ，过点E 作EF BC ^于F ，
由旋转知，AQ AP =，60PAQ Ð=°，
∵30B Ð=°，90ACB Ð=°，
∴60EAC Ð=°，
∴60PAQ EAC ÐÐ==°，
∴EAP CAQ Ð=Ð，
又∵AE AC =，AP AQ =，
∴()SAS CAQ EAP V V ≌，
∴CQ EP =，
要使CQ 最小，则有EP 最小，而点E 是定点，点P 是BC 上的动点，
∴当EP BC ^（点P 和点F 重合）时，EP 最小，CQ 最小，最小值为EF ，
在Rt ACB △中，30B Ð=°，AC =
∴2AB AC ==
∵AE AC ==，
∴BE AB =−AE =，
在Rt BFE △中，30B Ð=°，
∴EF =12
BE =
故线段CQ
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P 和点F 重合时，EQ 最小，最小值为EF 的长度是解本题的关键．19．(1)17x =，23
x =-
(2)1x =2x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤．
（1）运用直接开方法解该一元二次方程即可；
（2）运用公式法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：()2
2250x --=，
∴()2225x -=，
∴25x -=±，
∴17x =，23x =-；
（2）解：2520x x +-=，
∵1a =，5b =，2c =-，
∴()25412330D =-´´-=>，
∴x =
∴1x 2x =20．(1)图见解析，点1C 坐标为()
2,1--(2)见解析
【分析】此题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点1C 位置写出坐标即可；
（2）分别作出点1A 、1B 绕点1C 按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如图所示，111A B C △为所求，点1C 坐标为()2,1--；
（2）解：如图所示，221A B C △即为所求．
21．(1)方程有两个实数根
(2)0
m ³【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式．
（1）根据根的判别式可得出D ， 利用偶次方的非负性即可判断；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出123,2x x m =-=+，结合该方程只有一个根小于 2可得出22m +³，解之即可得出m 的取值范围．
【详解】（1）解：()()()22
24143650b ac m m m -=----=+³，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：()()21360x m x m ---+=，故(3)(2)0x x m +--=，
30,20x x m \+=--=，
解得，2x m =+或3x =-，
∵方程只有一个根小于2 ，
22m \+³，
解得：0m ³．
22．(1)证明见解析
(2)79FGC Ð=°【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定
理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键．
（1）利用边角边原理证明即可 ．
（2）利用三角形全等的性质计算即可 ．
【详解】（1）证明：∵CAF BAE Ð=Ð，
∴BAE EAC CAF EAC Ð+Ð=Ð+Ð，
∴EAF BAC Ð=Ð，
∵线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，
∴AC AF =．
在AEF △和ABC V 中，
AE AB EAF BAC AF AC =ìïÐ=Ðíï=î
，∴()SAS AEF ABC V V ≌．
∴EF BC =．
（2）∵AB AE =，63ABC Ð=°，
∴63ABC AEB Ð=Ð=°．
∴180254BAE ABC Ð=°-Ð=°．
∴54CAF BAE Ð=Ð=°
∵()SAS AEF ABC V V ≌，
∴25F ACB Ð=Ð=°．
∴79FGC FAG F Ð=Ð+Ð=°．
23．(1)抛物线的解析式为228y x x =-++，抛物线的顶点M 的坐标为()1,9；
(2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移．
（1）根据题意设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，将()2,8C 代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标；
（2）先求得新抛物线顶点的坐标为()2,5，利用平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过()2,0A -、()4,0B ，
∴设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，
将()2,8C 代入得()()82224a =+-，
解得1a =-，
∴抛物线的解析式为()()()2
2242819y x x x x x =-+-=-++=--+，
∴抛物线的顶点M 的坐标为()1,9；
（2）解：∵()224125y x x x =-++=--+，
∴新抛物线顶点的坐标为()2,5，
∵抛物线228y x x =-++的顶点M 的坐标为()1,9，
∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线．
24．(1)20y x =-，2506008000
W x x =-++(2)700元
(3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量´每个房间的利润列出函数关系式即可求解；
（2）把9600代入2506008000W x x =-++中，求解即可；
（3）根据利润=房间个数´每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可；
本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得20y x =-，（020x ££，且x 为整数）
2(50010050)(20)506008000W x x x x =-+-=-++．
（2）由题意得25060080009600W x x =-++=，
∴212320x x -+=，
解得14x =，28x =，
∵民宿尽最大可能让利游客，4x =，
∴每个房间的定价为500450700+´=（元）．
答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元．
（3）2250600800050(6)9800W x x x =-++=--+，
∵500-<，
∴当6x =时，W 有最大值为9800元，此时50050800x +=（元）．
答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元．25．(1)2140
y x x =-+(2)该船能安全通过
(3)此时该货船能安全过桥
【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据经过00O (，
)，设抛物线的解析式为2y ax bx =+，再把()()4002010，，，代入进行计算，即可作答．
（2）先求出点D 的横坐标，再代入2140
y x x =-+，得出8.47y =>，即可作答．（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为211402y x x =-
+-，把12x =代入211402
y x x =-+-，进行计算7.97>，即可作答．【详解】（1）由题易知，4()0000()B O ，，
，，抛物线的顶点为点(2010)， 设抛物线的解析式为2y ax bx =+，
将()()4002010，，
，分别代入，得16004004002010
a b a b +=ìí+=î解得1401
a b ì=-ïíï=î∴抛物线的解析式为2140
y x x =-+；（2）由题易知，点D 的横坐标为216012
2-=，
把12x =代入2140y x x =-
+，得2112128.440
y =-´+=∵8.47>，
∴该船能安全通过．
（3）由题易知，水位上升0.5米，相当于将抛物线2140y x x =-
+向下平移0.5个单位长度，∴平移后抛物线的解析式为211402y x x =-
+- 把12x =代入211402y x x =-
+-，得21112127.9402
y =-´+-=．∵7.97>，
∴此时该货船能安全过桥
26．（1）3；（2）MF ME =，证明见解析；（3）74
；（4）28AF ££．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据中位线的性质求解即可；
（2）连接DM ，证Rt Rt DMF DME △≌△即可得证；
（3）先证BM CM =，再设未知数，在Rt ABM V 中利用勾股定理建立方程即可；（4）分别求出AD 和DF ，利用三角形三边关系即可得解．
【详解】解：（1）∵D 是AB 中点，点C 和点A 重合，
∴E 是AC 中点，
∴DE 是ABC V 的中位线，∴132
DE AB ==，故答案为：3；
（2）MF ME =，证明如下：连接DM ，
由旋转的性质，得DE DF =，90DFM DEC Ð=Ð=°，∴18090DEM DEC Ð=°-Ð=°，
∴DFM DEM Ð=Ð，
在Rt DMF △和Rt DME △中，
DF DE DM DM
=ìí=î，∴()
Rt Rt HL DMF DME V V ≌∴MF ME =；
（3）由旋转的性质可得：DGB C Ð=Ð，DG DC =，∵DB DC =，
∴DG DB DC ==，
∴DGB DBG Ð=Ð，
∴DBG C Ð=Ð，
∴BM MC =，
设BM MC x ==，则8AM AC MC x =-=-，在Rt ABM V 中，222BM AB AM =+，即()22268x x =+-，解得254
x =，∴257844AM AC MC =-=-
=；（4）如图，连接AD ，
答案第15页，共15页在Rt ABC △
中，10BC ==∵90BAC Ð=°，BD CD =，∴152
AD BC ==，由题意得3DF DE ==当点F 在AD 上时，AF 最小，此时2AF AD DF =-=；当点F 在AD 的延长线上时，AF 最大，此时8AF AD DF ==+∴28AF ££，
故答案为：28AF ££
．。