函数自变量取值范围的确定

函数自变量取值范围的确定
函数自变量取值范围的确定
北京市崇文门中学彭广仁
在函数一章中，我们经常遇到求函数的解析式和确定自变量取值范围的问题，前者是
人人都重视的问题，而后者常常被人忽视，导致在确定函数的自变量取值范围问题时出现
种种错误，所以也应重视确定函数的自变量的取值范围的教学．
一、正确理解概念
函数定义告诉我们，自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量取值的全体，若函
数关系是由解析式确定的，则自变量的取值范围就是使解析式本身有意义的自变量取值的
全体；若函数的解析式是由一个实际问题或几何问题得出来的，则自变量的取值范围还要
考虑符合实际意义或几何意义．
二、熟练应用方法
使函数解析式有意义的自变量取值的全体就是自变量的取值范围．当解析式中的分母
含有自变量时，则要使分式的分母不等于零；当偶次根号下的被开方式中含有自变量时，
则需使被开方式不小于零……，因此，求自变量的取值范围是和解不等式或不等式组分不
开的．
几何问题中的函数关系往往和某些几何元素的运动变化相关，在确定其自变量的取值
范围时，我们经常是在几何元素运动变化的范围内进行观察，得到自变量取得最小值及最
大值的位置，并求出这个最值，以确定自变量的取值范围．例1 如图1，⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，过AB 中点P
的弦交于C ，交于D(C与A 、B 两点不重合) ，设CP ＝x ，PD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并确定x 的取值范围．
变化的范围，可以看出当CD 过圆心O 时，CP 最短．此时有PC ·PD ＝PA ·PB ，
即x(10－x) ＝32，解此方程，得x 1＝9(舍) ，x 2＝1，所以x ≥1．……①；当弦CD
由过圆心O 的位置向左或向右移动，则PC 逐渐加长，当点C 重合于A 或B 时，PC 最长．但题设定为点C 不与A 、B 重合，所以PC ＝x ＜PA ＝PB ＝3……②；综合①，②
得x 的取值范围为1≤x ＜3．
函数的自变量取值范围有时不好确定，而函数的取值范围便于确定，这时我们可以通
过函数的解析式，解关于自变量的解析式所确定的不等式或不等式组，求出自变量的取值
范围．
例2 如图2，矩形ABCD 中，周长为12，长AD 大于宽的2倍，从顶点A 作一条射线交BC 于E ，且这条射线与矩形短边AB 所成角的
自变量x 的取值范围．
2(AB＋BC) ＝12，所以2y ＋(x＋y) ＝6，经整理，可得函数解析
因为BC ＝AD ＞2AB ，所以x ＋y ＞4y ，即x ＞3y ，把解析式y
＞0，解得x ＜6……②．综合①、②得自变量x 的取值范围为3＜x ＜6．
三、巩固练习，查缺补漏
3．如图3，周长为24的凸五边形ABCDE 被对角线BE 分为等腰三角形ABE 及矩形BCDE ，且AB ＝AE ＝ED ，设AB 的长为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围．
4．如图4，AB 为半圆的直径，O 为圆心，AB ＝6，延长BA 到F ，使FA ＝AB ，若P 为线段AF 上的一个动点(P点与A 点不重合) ，过P 点作半圆的切线，切点为C ，作CD ⊥AB ，过B 点作BE ⊥PC ，交PC 的延长线于点E ，连结AC 、DE ．
(1)判断线段AC 、DE 所在直线是否平行，并证明你的结论．
(2)设AC 为x ，AC ＋BE 为y ，求y 关于x 的函数关系式，井写出自变量x 的取值范围．
参考答案
3．函数解析式为y ＝－4x ＋24，x 的取值范围是4＜x ＜6(提示：在△ABE 中，AB －AE ＜BE ＜AB+AE，即0＜y ＜2x ，0＜－4x ＋24＜2x ，解得4＜x ＜6) ．。