112常数项级数的敛散性

uN m r m1uN 1,
而级数 r m1uN 1收敛,
m1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n；
n1
3 n1
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
七、若
lim
n
n
2
un
存在,证明:级数
un 收敛 .
n1
b3n
八、证明:
lim
n
n!
a
n
0.
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
六、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
令
vn
1 2 (un
un
)
(n 1,2,),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
2 vn
2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
n1
n1
n1
例6
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
四、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
n 2n
n1 nn
四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、
1；
n1 [ln(n 1)]n
2、 (
n
)2n1 .
n1 3n 1
五、判别下列级数的收敛性:
1、 2 3
2
2、
n1
2n
sin
3n
；
n 1 ； n
3、 ln(n 2) n1 (a 1 )n n
(a 0).
六、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,);(ⅱ)lim n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值
rn un1.
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn
不是有界数列
vn发散.
二、用 比较 审 敛 法或 极 限审 敛法 判别 下列 级 数的 收 敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
3n
；2、
2n n!.
1 2 2 22 3 23
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim n
un 2 un
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
证明
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
二、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
例 级数 1 发散, n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
反之不成立.
1 n1
例如：
n1
n
2
收敛,
1 n1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2,),若 vn 收敛,则 un 收敛；
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ), rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 5 判别级数 (1)n n 的收敛性.
定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!