2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十指数与指数函数含解析

课时跟踪检测(十) 指数与指数函数
一、题点全面练
1.3·332·6
12的化简结果为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选B 原式＝312
·⎝ ⎛⎭⎪⎫321
3
·121
6
＝312·313
·2
-13
·416
·316
＝312
＋13
＋16
·211-+33
＝3·20＝3.
2.函数f ()＝a －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1
D ．0＜a ＜1，b ＜0
解析：选D 法一：由题图可知0＜a ＜1，当＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得b ＜0.故选D.
法二：由图可知0＜a ＜1，f ()的图象可由函数y ＝a 的图象向左平移得到，故－b ＞0，则b ＜0.故选D.
3．化简4a 23
·b -13
÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23a -13b 2
3的结果为( ) A ．－2a 3b
B ．－8a
b
C ．－6a b
D ．－6ab
解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23a ⎛⎫
⎪⎝⎭21-33b -12
-33＝－6ab －1＝－6a b ，故选C. 4．设＞0，且1＜b ＜a ，则( )
A ．0＜b ＜a ＜1
B ．0＜a ＜b ＜1
C ．1＜b ＜a
D ．1＜a ＜b
解析：选C 因为1＜b ，所以b 0＜b ， 因为＞0，所以b ＞1， 因为b ＜a ，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b ＞1，
因为＞0，所以a b
＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a .故选C.
5．已知a ＝(2)43
，b ＝225
，c ＝913
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
解析：选A a ＝(2)43
＝2
14×23
＝223
，b ＝225
，c ＝913
＝323
，
由函数y ＝23
在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ， 由函数y ＝2在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .故选A.
6．函数f ()＝a ＋b －1(其中0＜a ＜1，且0＜b ＜1)的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 由0＜a ＜1可得函数y ＝a 的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b ＜1，所以－1＜b －1＜0，
所以0＜1－b ＜1，
y ＝a 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a ＋b －1的图象，
所以y ＝a ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.
7．已知函数f ()＝⎩
⎨⎧
1－2－x
，x ≥0，
2x －1，x ＜0，则函数f ()是( )
A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增
B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
解析：选C 易知f (0)＝0，当＞0时，f ()＝1－2－，－f ()＝2－－1，此时－＜0，则f (－)＝2－－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2－1，－f ()＝1－2，此时－＞0，则f (－)＝1－2－(－)＝1－2＝－f ()．即函数f ()是奇函数，且单调递增，故选C.
8．二次函数y ＝－2
－4(＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12的交点有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：选C 因为二次函数y ＝－2－4＝－(＋2)2＋4(＞－2)，且＝
－1时，y ＝－2－4＝3，
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝2， 在坐标系中画出y ＝－2
－4(＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12的大致图象，
由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.
9．已知函数f ()＝－4＋9
x ＋1，∈(0,4)，当＝a 时，f ()取得最小值b ，则函数g ()＝a |＋b |
的图象为( )
解析：选A 因为∈(0,4)，所以＋1＞1， 所以f ()＝－4＋
9x ＋1＝＋1＋9x ＋1
－5≥2 9
x ＋1
x ＋1－5＝1，
当且仅当＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，
此时g ()＝2
|＋1|
＝⎩⎨⎧
2x ＋1，x ≥－1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＋1
，x ＜－1，
此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎨⎧
2x ，x ≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.
10．函数f ()＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
-2+2+x x 的单调递减区间为________．
解析：设u ＝－2＋2＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f ()＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
-2+2+x x 的单调
递减区间即为函数u ＝－2＋2＋1的单调递增区间．
又u ＝－2＋2＋1的单调递增区间为(－∞，1]， ∴f ()的单调递减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]
11．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-2
2x a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12是减函数，
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12+-2
2x a 恒成立，
所以2＋a ＞2＋a －2恒成立， 所以2＋(a －2)－a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，
故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)
12．已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a x －1＋123(a ＞0，且a ≠1)．
(1)讨论f ()的奇偶性；
(2)求a 的取值范围，使f ()＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于a －1≠0，则a ≠1，得≠0， ∴函数f ()的定义域为{|≠0}． 对于定义域内任意，有 f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a －x －1＋12(－)3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x
1－a x
＋12(－)3 ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－1－
1a x －1＋12(－)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a x －1＋123＝f ()， ∴函数f ()是偶函数． (2)由(1)知f ()为偶函数，
∴只需讨论＞0时的情况，当＞0时，要使f ()＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x
－1＋123＞0， 即
1a x －1＋1
2
＞0， 即a x ＋12a x －1
＞0，则a ＞1. 又∵＞0，∴a ＞1.
∴当a ∈(1，＋∞)时，f ()＞0.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．设y ＝f ()在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数，定义f ()＝⎩⎨
⎧
f x
f x K ，K ，f x
K .给出函数f ()＝2＋1－4，若对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则( )
A ．的最大值为0
B ．的最小值为0
C ．的最大值为1
D ．的最小值为1
解析：选D 根据题意可知，对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则f ()≤在≤1上恒成立，即f ()的最大值小于或等于即可．
令2＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，
∴≥1，故选D.
2．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞1
4，则( )
A ．b ＜2b －a
B ．b ＞2b －a
C ．a ＜b －a
D ．a ＞b －a
解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b
，故2a ＜b ，由⎝ ⎛⎭
⎪
⎫22b
＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫
224，得b ＜4.由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b 2＜2，故1＜a ＜2,2＜b ＜4. 对于选项A 、B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)＞0恒成立，故A 错误，B 正确；
对于选项C ，D ，a 2
－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b ＋14，由于1＜a ＜2,2＜b ＜4，故该式的符号不
确定，故C 、D 错误．故选B.
3．设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2＋2a －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a (a ＞0，且a ≠1)，
则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．
①当0＜a ＜1，∈[－1,1]时，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a ，1a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a ，1a 上为增函数．
所以f (t )ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a
＋12－2＝14.
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.
②当a ＞1时，∈[－1,1]，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1a ，a 上是增函数．
所以f (t )ma ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝1
3
或3.
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与基本不等式交汇]设f ()＝e ,
0＜a ＜b ，若p ＝f
(
)ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2，r ＝
f a f b ，则下列关系式中正确的是( )
A ．q ＝r ＜p
B ．p ＝r ＜q
C ．q ＝r ＞p
D ．p ＝r ＞q
解析：选C ∵0＜a ＜b ，∴
a ＋b
2
＞ab ，又f ()＝e 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f a f b ＝e a e b ＝e
－a b 2
＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.
5．[与一元二次函数交汇]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
解析：令t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，
因为∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14，8，
故y ＝t 2
－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋3
4
.
当t ＝12时，y min ＝34；
当t ＝8时，y ma ＝57.
故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，57
6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R 的函数f ()＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0恒成立，求的取值范围． 解：(1)因为f ()是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b
2＋a ＝0，解得b ＝1.
从而有f ()＝－2x ＋1
2x ＋1＋a
.
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1
4＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.
(2)由(1)知f ()＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
，
由上式易知f ()在R 上为减函数，又因为f ()是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－)＝f (－2t 2＋)．
因为f ()是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －＞0， 从而Δ＝4＋12＜0，解得＜－1
3.
故的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－13.。