2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(一) A卷 Word版含解析

阶段质量检测(一) A 卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则EC
AC 等于( )
A.9
5
B.54
C.59
D.49
解析：选C ∵DE ∥BC ，AD DB ＝4
5，
∴AB DB ＝95.∴DB AB ＝59.
又∵DB AB ＝EC AC ，∴EC AC ＝5
9
.
2.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )
A ．3∶2
B ．9∶4 C.3∶ 2
D.2∶ 3 解析：选A Rt △ACD ∽Rt △CBD ， ∴AC BC ＝AD CD ＝32
.
3．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝2
3AC ，在AB 上
取一点E ，得到△ADE .若图中的两个三角形相似，则DE 的长是( )
A ．6
B ．8
C ．6或8
D ．14
解析：选C 依题意，本题有两种情形：
(1)如图1，过D 作DE ∥CB 交AB 于E . 则AD AC ＝DE
CB . 又∵DC ＝2
3AC ，
∴AD AC ＝13.
∴DE ＝1
3
BC ＝6.
(2)如图2，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ， 则△ADE ∽△ABC . ∴AD AB ＝DE BC . 又∵AD ＝1
3AC ＝4，
∴DE ＝AD ·BC AB ＝4×18
9＝8.
∴DE 的长为6或8.
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )
A.2215
B.
215
C.3215
D.2125
解析：选A AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.
∴AB ＝
BC 2
－AC 2
＝
2524－52＝5212
. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝221
5
.
5．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，
AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )
A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm
解析：选D 设AD ＝x ， 则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝
3(3＋1)＝23(cm)．
6.如图，DE ∥BC ，S
△ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )
A ．1∶4
B ．1∶3
C ．1∶2
D ．1∶5
解析：选C 由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8， 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19.
∴AD AB ＝13，AD DB ＝12
.
7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：选C A 项中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；
B 项中AB ∶A
C ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EF
D ；
D 项中AB AC ＝DE
DF ，∠A ＝∠D ，
∴△ABC ∽△DEF ；
而C 项中不能保证三边对应成比例．
8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )
A.14
B.13
C.1
2
D ．2
解析：选C 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶4.
令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，
∴CD 2＝4x 2，
∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝1
2
.
9.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE ，
BE ，BD 且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( )
A ．4∶10∶25
B ．4∶9∶25
C ．2∶3∶5
D ．2∶5∶25
解析：选A ∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25.
∴S △DEF S △ABF
＝⎝⎛⎭⎫252＝4
25. 又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝4
10
. ∴S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25.
10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BC
CD ＝3，则AE ∶EC 等于( )
A.125
B.512
C.75
D.57
解析：选A ∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AG
BD .
∵BC
CD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又
AF BF ＝35
， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125.
∴AE EC ＝AG CD ＝125
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，设l 1∥l 2∥l 3，AB ∶BC ＝3∶2，DF ＝20，则DE ＝________.
解析：EF ∶DE ＝AB ∶BC ＝3∶2， ∴DE DF ＝2
5，又DF ＝20，∴DE ＝8.
答案：8
12．如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.
解析：∵PE ∥BC ，∠C ＝∠A ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A . ∴△PDE ∽△PEA . ∴PE PA ＝PD PE ， 即PE 2＝PD ·PA . 又PD ＝2，DA ＝1， ∴PA ＝3.
∴PE 2＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 答案： 6
13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，
则ED ＝________.
解析：在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3， 所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝
3
2
. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， 由余弦定理知，
ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD
＝34＋9－2×32×3×32＝214， 故ED ＝21
2
. 答案：
212
14．如图，▱ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BC
BM －AB
BN 的值为________． 解析：∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DM MN . 又∵DC ∥AN ， ∴DM MN ＝MC MB
. ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋MB MB ， 即DN MN ＝BC BM .
∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MN MN ＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB ，AC 于点M ，N .
求证：MN ∥BC .
证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB
. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝AN
NC . ∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN
NC . ∴MN ∥BC .
16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中
线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F .
求证：BP 2＝PE ·PF . 证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴，
故PC ＝PB . ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC . ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC ， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .
17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB ，DC 于E ，F ，交DA ，BC 的延长线于G ，H .
(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；
(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F ，H ，C 重合时，请判断PE ，PC ，PG 的关系，并给出证明．
解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD . ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PB
PD .
∴PE PF ＝PH
PG
.∴PE ·PG ＝PF ·PH . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .
证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ，
∴PE PC ＝PB PD . ∵AD ∥BC ， ∴PC PG ＝PB PD
. ∴PE PC ＝PC
PG ，即PC 2＝PE ·PG .
18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝1
4
AC ，直线l 过点M 且与AC 垂直，与边AD 相交于点E .
(1)如果AD ＝3，求证点B 在直线l 上；
(2)如图(2)，如果直线l 与边BC 相交于点H ，直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD 的长；
(3)如果直线l 分别与边AD ，AB 相交于E ，G ，当直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE 的长．
解：(1)证明：连接BD ，交AC 于O 点， ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝1
2AC .
∵AM ＝1
4
AC ，∴AM ＝OM .
在Rt △ABD 中，AB ＝1，AD ＝3， ∴BD ＝
AB 2＋AD 2＝2.
∴BO ＝OA ＝AB ＝1.
∴△AOB 是等边三角形．又AM ＝OM ， ∴BM ⊥AO .∴点B 在直线l 上．
(2)设AD ＝a ，则AC ＝1＋a 2.
∵∠EAM ＝∠CAD ，∠AME ＝∠D ＝90°， ∴△AEM ∽△ACD .∴AE AC ＝AM
AD
. 又AM ＝14AC ＝1
4
1＋a 2，
∴AE ＝AC ·AM AD ＝1＋a
2
4a
.
由AE ∥HC ，得△AEM ∽△CHM ， ∴
AE HC ＝AM MC ＝13
.∴HC ＝3AE . 又BH ＝BC －HC ＝a －3(1＋a 2)4a ＝a 2－3
4a ，
而S 梯形ABHE ＝1
2
(AE ＋BH )·AB
＝12⎝⎛⎭⎫
1＋a 24a ＋a 2
－34a ·1＝a 2－14a
. ∵S 梯形ABHE ∶S 梯形EHCD ＝2∶7， ∴S 梯形ABHE ＝29S 矩形ABCD ＝29a .
∴a 2－14a ＝2
9
a .
解得a ＝3，即AD ＝3.
(3)如图，由题意知直线l 分别交AD ，AC ，AB 于E ，M ，G 三点， 则有△AEG ∽△DCA ，
∴AG AD ＝AE DC . ∵DC ＝1， ∴AE ＝AG
AD
.
∵S △AEG ＝12AE ·AG ，S △AEG S 多边形EGBCD ＝1
6，
∴S △AEG S 矩形ABCD ＝1
7
.
∴1
2AE ·AG AD ·DC ＝17， 即AE ·AG AD ＝27.
∴AE 2＝27，AE ＝14
7.。