高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座13平面三角

比赛讲座 13
－平面三角
三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的好多领域中
有着宽泛的应用．同时它也是高考、数学比赛中的必考内容之一．
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大概包含：定义域、值域、奇偶性、周期性、单一性、最值等．这里以单一性为最难．它们在平面几何、立体几何、分析几何、复数平分支中均有广
泛的应用．
【例 1】求函数y=2sin(-2x) 的单一增区间。

解： y=2sin(-2x)= 2sin(2x+) 。

由 2kπ -≤2x+≤2kπ+，k∈ Z，
得 kπ-≤x≤kπ -，k∈ Z。

即原函数的单一增区间为：[k π-，kπ-] （k∈ Z）。

【例 2】若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ 这三者之间的大小。

解：∵在（ 0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴ sin(cosφ )< cosφ。

∵在（ 0，）中，y=cosx单一递减，∴ cosφ< cos(sinφ )。

∴s in(cos φ )< cos φ < cos(sin φ) 。

【例 3】已知x,y∈[-，]，a∈R，且。

求cos(x+2y)的值。

解：原方程组化为。

∵x, - 2y∈[-，] ，函数 f(t)=t 3 +sint在[-，] 上单一递加，且 f(x)=f(-2y)
∴x=2y，∴ cos(x+2y)=1 。

【例 4】求证：在区间（0，）内存在独一的两个数c、d(c ＜d) ，使得 sin （ cosc）＝c ， cos （sind ）＝ d ．
证明：考虑函数 f （ x）＝ cos（ sinx ）－ x，在区间 [0 ，] 内是单一递减的，而且
连续，因为 f （0）＝ cos（sin0 ）－ 0=1>0，f （）＝cos（sin）－= cos 1
－<0，
∴存在独一的 d∈（ 0，对上式两边取正弦，并令），使
c=sind
f （d）＝ 0，即 cos（sind ）＝ d ．，
有 sin （cos（ sind ）） =sin d， sin（cosc ）=c。

然 c∈（ 0，）。

且由y=sinx在（0，）上的性和 d 的独一性，知c 也独一。

故存在独一的c＜d，使命建立。

【例 5】α 、β、γ∈（ 0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ 。

比α 、β、γ 的大小。

解：∵α、β、γ∈（ 0，），∴ ctgβ>0，0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ =ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函数 y=ctgx 在（ 0，）上的象，可看出：β<α<γ。

【例 6】n∈ N，n≥2，求： cos·cos· ··· ·cos>。

明：∵0< <<···<< <1，
∴0<sin <，cos2=1-sin 2>1-=，k=2，3，⋯，n。

∴(cos·cos· ··· ·cos) 2>(·) ·(·) ·(·) ···(·)
= ·> >( )2，
∴cos·cos· ··· ·cos>。

二、三角恒等
众多的三角公式，组成了丰富多彩的三角学。

要灵巧地行三角恒等，除熟地掌握
三角公式以及一般的代数形技巧外，更重要的是抓住三角式的构特点，从角和函数
名下手，深入剖析，灵巧解。

【例 1】（ 1）已知 cosβ= -，sin(α+β )=，且0<α<<β <π，求 sin α的。

（ 2）已知 sin(- α)=，求的。

提示：（1） sin α=。

（ 2） sin2 α =1-2 sin2(- α)=；=。

【明】三角重在角的。

【例 2】求 cos cos cos⋯cos的。

解法 1：利用公式 cosθ cos2θcos4θ··· cos2 nθ =，得
cos cos cos cos= -，∴ cos cos cos cos=。

又 cos cos=，cos=，
∴cos cos cos⋯cos=××=。

解法 2： cos cos cos⋯cos
=·······
==。

解法 3：利用公式 cosα cos( +α)cos(- α )=cos3α，取α =、。

【例 3】求 cos420°+cos440°+cos480°的。

解：由倍角公式得
cos4θ=() 2= (1+2cos2 θ +cos22θ)=+ cos2θ + cos4θ，
∴cos420°+cos440°+cos480°=×3+(cos40 °+ cos80 °+ cos160 °)
+ (cos80 °+ cos160 °+ cos320 °)=+ (cos40 °+ cos80 °+ cos160 °) =+ (2cos60 ° cos20 ° - cos20°)=。

【例 4】若 sin α +cosβ =，cosα +sinβ =，求sinαcosβ 的。

解：令θ =- β，则
(1) ÷(2) 得 tg=，cos(α +θ )=，
∴sin α cosβ=sin α sin θ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -。

【例 5】已知 f(x)=sin(x+ θ)+cos(x- θ ) 是偶函数， 0<θ <π，求θ 。

解法一：由偶函数的定义，可得(cosθ +sin θ)sinx=0对随意x∈R建立。

∴cosθ +sin θ=0，2 sin(θ+)=0 ，
∴θ+=kπ，而 0<θ <π，∴ θ=。

解法二：由 f(-)=f() ，得θ =，而后考证f(x) 是偶函数。

【例 7】方程 sinx+cosx+a=0 在（ 0，2π）内有相异两根α 、β，务实数a的取值范围，以及α+β的值。

解：∵sinx+cosx+a=0，∴ sin (x+)= -。

令 t= x+，则t∈(，) ，sint= -。

作出函数 y= sint，t∈(,) 的图象：
由图象能够看出：当-1< - <1 且 -≠即-2<a<-或-<a<2 时， sint= -
有相异两根 t 1、 t 2，原方程有相异两根α、β，而且
当 -2<a<-时，t1+t2=(α +)+( β+ )= π，α+β=；
当 -<a<2 时， t 1+t 2=( α + )+( β + )=3π，α+β=。

【例 8】已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

解：由已知得，
(1) 2 +(2) 2得 cos(x-y)= -，
同理， cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。

∴x， y， z 中随意两角的终边夹角为，不如设
x=y++2mπ,m∈ Z， y=z++2nπ,n ∈ Z，
∴x= z++2(m+n)π，
x+y+z= 3z+2(m+2n+1) π，
∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz
= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz
= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)
=0。

【说明】如能娴熟运用以下公式，可对解题带来很大方便：sin α sin(+α)sin(- α)= sin3 α，
cosα cos( +α)cos(- α)=cos3α，
tg αtg(+α )tg(- α )=tg3 α 。

如 sin10 °sin50 °sin70 °=sin(3 ×10°)=。