中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数含详细答案

中考数学培优易错难题(含解析)之二次函数含详细答案
一、二次函数
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
10
3b c c ++=⎧⎨
=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=32，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3
∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=1
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
2
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴55
∴Q55
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA ，NK=OC=5时，四边形ACNM 是平行四边形． ∵此时点M 的横坐标为1， ∴y=8，
∴M （1，8），N （2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形， 此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC 可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
4．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线
2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．
()1求抛物线的表达式；
()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样
的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中
AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．
【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32
或32+
或32
-；（3）13． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4
3
x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1
6
=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13
． 【详解】
（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2
+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213
3
+x ． （2）存在．
设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1
3
=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1
3
x ﹣（43-
x 2133+x ）|=|4
3
x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43
x 2
﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x =或
x = 若
43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3
2
=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：
32
． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为
y 13
=
x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．
设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11
33
+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．
设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4
3
t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=
x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1
2
t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=
t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 1
2
-OE •PG 12=
（1+t ）（1133+t ）12-•43t •1
2
t 16=-（t ﹣1）213
+
当t =1时，S 有最大值为
13，∴S 的最大值为1
3
．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得
1640
3
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1
2
×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋1
2×（m－1）×（3＋m2－4m）＝
1
2
×3×3＋
1
2
×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）
5
2
或5． 提示：①当以M 为直角顶点，则S △CMN ＝52
； ②当以N 为直角顶点，S △CMN ＝5；
③当以C 为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、
()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
P 点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2
3
x =-时，ADE ∆的面积取得最大值50
3
；（3）P 点的坐标为()1,1-，(
1,11-，(1,219--. 【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴
1640 420
6
a b c
a b c
c
-+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，
解得：3 4 3 2
6
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
所以二次函数的解析式为：y=2
33
6
42
x x
--+；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=
1
2
2
x
--，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，2
33
6
42
m m
--+），则点F（m，
1
2
2
m
--），
∴DF=2
33
6
42
m m
--+﹣（
1
2
2
m
--）=2
3
8
4
m m
--+，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=1
2
×DF×AG+
1
2
DF×EH
=
1
2
×DF×AG+
1
2
×DF×EH
=
1
2
×4×DF
=2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503
． （3）y =233642x x -
-+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（）
，AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（）
，解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；
当PE =AE 时，212n ++（）
=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．
综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y ＝13x 2+23x ﹣1；(2)4912，(12，72
)；(3)点G 的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E 的坐标为（m ，m +3），点F 的坐标为（m ， 13m 2+23m ﹣1），由此得到EF ＝﹣13m 2+13
m +4，根据二次函数最值的求法解答即可； （3）分三种情形①如图1中，当EG 为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC 为菱形的对角线时，③如图4中，当ED 为菱形的对角线时，分别求解即可．
【详解】
解：(1)将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．
∴点A 的坐标为(﹣3，0)．
设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2)，点A 的坐标为(﹣3，0)，点B 的坐标为(1，0)， ∴y ＝a (x +3)(x ﹣1)．
∵点C 的坐标为(0，﹣1)，
∴﹣3a ＝﹣1，得a ＝13
， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2+23
x ﹣1； (2)设点E 的坐标为(m ，m +3)，线段EF 的长度为y ，
则点F 的坐标为(m ，
13m 2+23m ﹣1) ∴y ＝(m +3)﹣(
13m 2+23m ﹣1)＝﹣13m 2+13m +4 即y ＝-13(m ﹣12
) 2+4912， 此时点E 的坐标为(12，72
)；
(3)点G 的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)． 理由：①如图1，当四边形CGDE 为菱形时．
∴EG 垂直平分CD
∴点E 的纵坐标y ＝132
-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．
∵EG 关于y 轴对称，
∴点G 的坐标为(2，1)；
②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG
设点E 的坐标为(n ，n +3)，
点D 的坐标为(0，3)
∴DE ∵DE ＝DC ＝4，
∴2
2n＝4，解得n1＝﹣22，n2＝22．
∴点E的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3)
将点E向下平移4个单位长度可得点G，
点G的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)
③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD 于点E，
设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．
∴EC＝22
(0)(31)
k k
-+++＝2
2816
k k
++．
∵EC＝CD＝4，
∴2k2+8k+16＝16，
解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．
∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)
将点E上移1个单位长度得点G．
∴点G的坐标为(﹣4，3)．
综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线
4
8
3
y x
=-+与x轴，y轴分别交于点A、B，抛物
线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似；
（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；
（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-
++； （2）t 的值为
3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258
； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.
【解析】
（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.
解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38
a c =-=， ∴228833
y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011
t =； ②当△AED ∽△AOB 时，
AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013
.
(3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103
t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，
AH=()
31025t -，∴()
61025t t -=，∴6017
t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=
35t ，∴61025t t -=，∴258
t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258
. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）；
②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -
++=-，解得2x =±
∵x ﹥0，∴
2x =+∴()
28+-.
综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
9．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=
13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=
32
． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=
32列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
， 解得14
a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．
又∵PE=3PF ，
∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ，
∴OF=20﹣3a ．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18，
∴OF=3a ﹣20．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
10．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？
小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）
2407
mm ，4807mm ；（2）PN=60mm ，40PQ =mm ． 【解析】
【分析】 (1)、设PQ=y （mm ），则PN=2y （mm ），AE=80-y （mm ），根据平行得出△APN 和△ABC 相似，根据线段的比值得出y 的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y 与x 的函数关系式，然后求出S 与x 的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y （mm ），则PN=2y （mm ），AE=80-y （mm ）
∵PN ∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似的应用
11．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=27
8
；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2． 【解析】
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案． 详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得
30
9330a b a b ++⎧⎨
++⎩
＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩
＝＝，
这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），
设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得
30
0k b b +⎧⎨
⎩
＝＝， 解这个方程组，得
1
3k b -⎧⎨⎩
＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+S CPE=1
2
（-t2+3t）×3=-
3
2
（t-
3
2
）2+
27
8
，
∵-3
2＜0，∴当t=
3
2
时，S△BCP最大=
27
8
.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，2|m-3|，
当MN=BM时，①m22（m-3），解得2，
②m22m-3），解得2
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
13．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）
当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．
【解析】
试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，
方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可
试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点
∴．
考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别
式）
14．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0
，1
2
），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？
（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣
12
x 2+3
2x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；
（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12
m 2+3
2m+2）、M
（m ，
1
2
m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得
12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ
=，即214 132222
m
m m -=
-++，解之
即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．
详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），
将点C（0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-1
2
，
则抛物线解析式为y=-1
2
（x+1）（x-4）
=-
1
2
x2+
3
2
x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，-2），
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：
40
2
k b
b
+
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，解得：
1
2
2
k
b
⎧
⎪
⎨
⎪-
⎩
＝
＝
，
∴直线BD解析式为y=
1
2
x-2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，--
1
2
m2+
3
2
m+2）、M（m，
1
2
m-2），
则QM=-
1
2
m2+
3
2
m+2-（
1
2
m-2）=-
1
2
m2+m+4，
∵F（0，
1
2
）、D（0，-2），
∴DF=
5
2
，
∵QM∥DF，
∴当-
1
2
m2+m+4=
5
2
时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB ， 分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB ∽△MBQ ， 则
21
=42
DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ=90°， ∴∠MBP+∠PBQ=90°， ∵∠MPB=∠BPQ=90°， ∴∠MBP+∠BMP=90°， ∴∠BMP=∠PBQ ， ∴△MBQ ∽△BPQ ，
∴BM BP BQ PQ
=，即214 132222
m
m m -=
-++，
解得：m 1=3、m 2=4，
当m=4时，点P 、Q 、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去， ∴m=3，点Q 的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′， 此时m=-1，点Q 的坐标为（-1，0）；
综上，点Q 的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
15．综合与探究 如图，抛物线y=
211
433
x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．
（1）求A ，B ，C 三点的坐标；
（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．
【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q 5252
﹣4）或（1，﹣3）；
（3）当m=2时，QF有最大值．【解析】
【分析】
（1）解方程1
3
x2−
1
3
x-4=0得A（-3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数值得
C点坐标；
（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4，则可设Q（m，m-4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m-4+4）2=52，
当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；
（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰
直角三角形，则FG=QG=
2
2
FQ，再证明△FGP～△AOC得到
34
FG PG
=，则
PG=22
3
FQ，所以PQ=
2
6
FQ，于是得到
32
，设P（m，
1
3
m2-
1
3
m-4）（0＜m
＜4），则Q（m，m-4），利用PQ=-1
3
m2+
4
3
m得到
32
-
1
3
m2+
4
3
m），然后利用
二次函数的性质解决问题．【详解】
（1）当y=0，1
3
x2−
1
3
x-4=0，解得x1=-3，x2=4，
∴A（-3，0），B（4，0），
当x=0，y=1
3
x2−
1
3
x-4=-4，
∴C（0，-4）；
（2）22
34=5
+，
易得直线BC的解析式为y=x-4，设Q（m，m-4）（0＜m＜4），
当CQ=CA 时，m 2+（m-4+4）2=52，解得m 1=
522，m 2=-52
2
（舍去），此时Q 点坐标为
（
522，
52
2
-4）； 当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m 1=1，m 2=0（舍去），此时Q 点坐标为（1，-3）；
当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=25
2
（舍去）， 综上所述，满足条件的Q 点坐标为（
522，
52
2
-4）或（1，-3）； （3）解：过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，
则FG ∥x 轴．由B （4，0），C （0，-4）得△OBC 为等腰直角三角形 ∴∠OBC=∠QFG=45 ∴△FQG 为等腰直角三角形， ∴FG=QG=
2
2
FQ ， ∵PE ∥AC ，PG ∥CO ， ∴∠FPG=∠ACO ， ∵∠FGP=∠AOC=90°， ∴△FGP ～△AOC ． ∴
FG PG OA CO =，即34FG PG
=， ∴PG=
43FG=43•22FQ=22
3
FQ ， ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=2
6
FQ ， ∴32
PQ ， 设P （m ，
13m 2-1
3
m-4）（0＜m ＜4），则Q （m ，m-4），
∴PQ=m-4-（13m 2-13m-4）=-13m 2+4
3
m ，
∴FQ=7（-13m 2+43m ）=-7
（m-2）2+7
∵-
7
＜0， ∴QF 有最大值．
∴当m=2时，QF 有最大值． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。