大学物理下册课后习题答案讲解学习

大学物理下册课后习题答案
习题八
8-1电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问： ⑴ 在这三角形的中
心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电荷的库
仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 ？ 解：如题8-1图示
(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：
q 2
2cos30
a
解得
(2)与三角形边长无关.
2 以f = J •试问这两种说法对吗 ？为什么？
°
S
解：题中的两种说法均不对. 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，
题8-1图
T
:
题8-2图 8-2两小球的质量都是 m ，都用长为I 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线 夹角为2 电量. 解：如题 ,如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计, 8-2图示 T sin
T cos mg
1 q 2
F
e
2
4 n 0 (2l sin )2
求每个小球所带的 解得q 21 sin 4 0mgta n
8-3根据点电荷场强公式 E q_2 4 °r TS ,这是没有物理意义的，对此应如何理解 “ q 解：E 2r 0仅对点电荷成立，当r 4 n °r 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小， 无限大. 8-4在真空中有 A , B 两平行板，相对距离为 ，当被考察的场点距源点电荷很近 (r 0)时，则场强
0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是 这两板之间有相互作用力
f ，有人说f =— 4
d ,板面积为S ,其带电量分别为+q 和-q .则
2 q_
0d 2 ,又有人说，因为f =qE , E
q 帘
(，所
0S
q 为负电荷
1 qq
4 n
0 / . 3
2
(亍)
f 到底应等于多少？
第二种说法把
合场强E Q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个0S
板的电场为E為，另一板受它的作用力
2
q盏為，这是两板间相互作用
的电场力.
8-5 一电偶极子的电矩为
,（见题8-5图），且r
别为
p ql，场点到偶极子中心0点的距离为r ,矢量r与I的夹角为
I •试证P点的场强E在r方向上的分量E r和垂直于r的分量E分
pcos
~3
o r
E r =
2
证：如题8-5所示，将p分解为与
匚psi n
E w
r平行的分量psin 和垂直于r的分量psin
r I
•••场点P在r方向场强分
量
E r
p cos
2 n 0r3
垂直于r方向，即方向场强分量
E o
psi n
4n 0r3
题8-5图题8-6图
8-6长I =15.0cm 的直导线ABk均匀地分布着线密度=5.0x10 -9C・m1的正电荷•试求:⑴在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强.
解：如题8-6图所示
（1）在带电直线上取线元
dx，其上电量dq在P点产生场强为
1 __ dx
4
n
0 （a
dE P
E p dE p
4 n
4n 0^
2
1
2
1
2
x)2
dx
(a x)2
■V a -
2
用I 15 cm ,
E P
⑵同理dE Q
5.0
6.74
1
4
n
I
n 0(4a2 I2)
10 9 C m 1, a 12.5 cm 代入得
102 N C 1方向水平向右
dx
-dx2方向如题8-6图所示
x2 d2
由于对称性dE Qx0，即E Q只有y分量，
5.0 10 9
d E
Qy
C cm
14.96
8-7
解:
E
Q
E
Qy
一个半径为
如8-7图在圆上取dl Rd
dx
2
x
d2
d2 x2 d；
2 dx
1 3
2 2 2 2
(x d2)2
,
dE
Qy
d2
4 n
2
l
2 n °Jl24d；
1, l 15 cm , d2 5 cm 代入得
102 N C 1，方向沿y轴正向
R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处0点的场强.
dq dl Rd ，它在O点产生场强大小为
Rd
dE 2方向沿半径向外
4n 0R
则dE x dE sin sin d
4 n 0 R
dE y dE cos( ) 4 cos
n
0R
积分E x
4 n 0R
sin
E x
E y cos d
4 n 0R
，方向沿x轴正向.
8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为
处的场强E ; (2)
总电量为
解：如8-8图示,
证明：在r l处,
正方形一条边上电荷
dE p
l,
它相当于点电荷
q . (1)求这正方形轴线上离中心为r
q产生的场强E .
q在P点产生物强dE P方向如图，大小为
4
cos 1 cos 2
2 l2
r 一
4
cos 1
cos
dE P
1
2
r
2
2 cos 1
l
4 2
dE P cos
dE p在垂直于平面上的分量dE
由于对称
性,
P点场强沿OP方向，大小为
4 lr
E p 4 dE
4n o(r2
2 l2
r —
2
E P
q
4l
qr
l2 -
4)丁
方向沿OP
2 l2
2
8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个
面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平
R
面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量. (arctan )
x
4 n o(r2
解：(1)由高斯定理-E dS —
s 0
立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等
q
e
6 0
⑵电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使
各面电通量
q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量
对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则
q
24 o，
2
2
X
S 2 MR X )[1
「2——2]
J R x
q o ____ S ―
—x —]
°4MR 2 X 2)
2 o
/R^V
*关于球冠面积的计算：见题
8-9(c)图
S o 2
"sin rd
2 n 2 sin d
0 2
2 n (1 cos )
£- _3
6cm,外半径10cm,电荷体密度为2X 10 C • m 求距球心5cm,
取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S 2n l
⑶•••通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为
,R 2 x 2的球冠面的电通量，球冠
面积* 解：高斯定理-E dS
s
q
5
E4 n 2
q 0
当r 5 cm 时，
q 0, E 0
4 n
3
3、
r 8 cm 时，
q
P - (r r 内)
3
4 n 0『
4
3.48 10 N C
方向沿半径向外.
r 12 cm 时，q
4 n 3 3
r 外 r 内 3 ° 4
4.10 104 N C
沿半径向外 8-11 半径为R 1和R 2 ( R 2 > R 1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量
,试求:(1) r v R 1 ； (2) R v r v R 2 ； (3) r > R 2处各点的场强.
解：高斯定理 E dS
s
q
8-10 均匀带电球壳内半径
8cm ,12cm 各点的场强. 2
n 3
0 点电场
E 0 ——00'
3 0
则 S
E
dS
E2 n 对(1) r R 1 q 0,E
⑵ R 1 r R 2
q 1
E 沿径向向外
2 n °r
⑶ r R 2
q 0
E 0
题8-12图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 强. 解：如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1和2，试求空间各处场 1与 2 , 两面间, 2)
n 1面外, 2)
n 1
厂(1 2 0 n :
垂直于两平面由 2面外, 2)
n 1面指为 2面. 8-13半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ，若在球内挖去一块半径为 r v R 的 小球体，如题8-13图所示•试求：两球心 0与0点的场强，并证明小球空腔内的电场是均 匀的.
解： 将此带电体看作带正电
的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 8-13图(a).
(1)
球在0点产生电场 E
10
球在0点产生电场
0点电场 球在0 E 20
E o
产生电场 产生电场 E 1 o
E
20
d 3
4n 0d 3
00'
•••腔内场强是均匀的. 8- 14 一电偶极子由 q =1.o X
5
1
偶极子放在1.0 X 10N- C -的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩. 解：•/ 电偶极子
M p E
• M max pE qlE 代入数字
M max 1.0 10 6
2 10
3 1.0 105
2.0 10 4 N m
-8 -8
8-
15 两点电荷q 1 =1.5 X 10 C, q 2 =3.0 X 10 C,相距r 1 =42cm,要把它们之间的距离变为
J=25cm 需作多少功？ 6.55 10 6 J
8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 圆环的半径都等于 R .试求环中心0点处的场强和电势.题 8-13 图(a) (3)设空腔任一点 P 相对0
E PO 的位矢为r ，相对0点位矢为r (如题8-13(b)图)
r
E
P
E
PO
E po
E PO
r)
珥00'
10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d=0.2cm ，把这电
p 在外场E 中受力矩
解: A r2F dr
r2
qgr
r2
4n °r 2 外力需作的功
8-16 如题8-16图所示，在A ,
B 两点处放有电量分别为 + q ,- q 的点电荷, AB 间距离为
2R ，现将另一正试验点电荷 功.
解：如题8-16图示
q 。

从0点经过半圆弧移到 C 点，求移动过程中电场力作的
U O
q 6 n 0R
A q °(U ° U C )
q o q
6n 0R
的正电荷，两直导线的长度和半
4
n
解：（1）由于电荷均匀分布与对称性， AB 和CD 段电荷在0点产生的场强互相抵消，取 dl Rd 则dq Rd 产生0点dE 如图，由于对称性，
O 点场强沿y 轴负方向
2 n 0 R
AB 电荷在O 点产生电势，以U 0
A dx 2R dx B
4 n 0x R
4 n 0x
同理CD 产生 U 2 ln 2
4
n
U O U , U 2 U 3
ln2
2
n
0 4
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以
2X 10m- s 的匀速率作圆周运动•求带电直线
上的线电荷密度.（电子质量 m 0=9.1 x 10- kg ，电子电量e =1.60 x 10- C ） 解：设均匀带电直线电荷密度为
，在电子轨道处场强
E
2 n 0r
e
8-19空气可以承受的场强的最大值为 E =30kV • cm 1，超过这个数值时空气要发生火花放 电.今有一高压平行板电容器， 极板间距离为d =0.5cm ,求此电容器可承受的最高电压. 解：平行板电容器内部近似为均匀电场
U Ed 1.5 104 V
8-20根据场强E 与电势U 的关系E U ，求下列电场的场强：（1）点电荷q 的电场； （2）总电量为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*（3）偶极子p ql 的r l 处（见题
8- 20 图）.
E dE y
2
Rd
2 cos
2
4 n o R
[sin( 2）
ln 2
4
n
半圆环产生
U 3
电子受力大小
F e
eE
2 n 0r
2
v m — r
2 n °r
2 n 0 mv
13
1
0 12.5 10 13 C m 1
解：⑴点电荷 U
4 n o r
E
— ro
q 2
「o
r 4 n o r
(2)总电量q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势
q 4
n o R 2 x 2
_____ qx ____ i
2 2 3/2 1
4 n 0 R x
8-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板 (题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电
荷的面密度总是大小相等而符号相反； (2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符
号相同.
证：如题8-21图所示，设两导体 A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为
(1)则取与平面垂直且底面分别在
A 、
B 内部的闭合柱面为高斯面时，有
2
3
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A 内部任取一点 P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而 成的，即
又•••
…
1
4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同.
8- 22三个平行金属板 A , B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm, A 与C 相距2.0
r 0为r 方向单位矢量.
⑶偶极子p ql 在r
l 处的一点电势 U 丄[—
4n 0
(r 2
J ____ 1
cos )
E r
1
(1 - cos 2
pcos n 0r 3 psi n 亍
-] )
ql cos 4n °r 2
4 n o r
E dS ( 2
s
3) S 0 题 8-20
mm B , C 都接地，如题8-22图所示•如果使 A 板带正电3.0 x 10-70,略去边缘效应，问 B 板和C 板上的感应电荷各是多少 ？以地的电势为零，则
A 板的电势是多少？
解：如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为
1，右侧面电荷面密度为
_r
C
0|
A
B
题8-22图
8-23
两个半径分别为 R 1和R 2 ( R v R 2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电
+q ，试计
算：
(1) 外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2) 先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量. 解：(1)内球带电 q ；球壳内表面带电则为
q ,外表面带电为 q ，且均匀分布，其电势
(1) •••
且
得
而
⑵
E AC d AC
E
AB d AB
1
E AC d AB 2
d
AC
2
E
AB
1 + 2
q A
S
q A
2q A
2
3S
1
3S
q
C
1
S
3 q A 2 10 7 C
q B
2S
1 10 7 C
U A E AC
d AC
1
d AC 2.3 103 V
U E dr =亠
R2
R2
4 n 0r 2
4n 0R
(2)外壳接地时，外表面电荷 q 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为
势由内球 q 与内表面 q 产生：
q .所以球壳电
q q 0
4 n 0 R 2
4 n 0 R 2
(3)设此时内球壳带电量为
q ;则外壳内表面带电量为
q ，外壳外表面带电量为
(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
U AC U AB
，即
题8-23图
q' q' q q'
4
n 0 R 2 4 n 0 R 2 4 n 0 R 2
8-24 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
d 3R 处有
一点电荷+ q ，试求：金属球上的感应电荷的电量.
解：如题8-24图所示，设金属球感应电荷为
q ，则球接地时电势 U O 0
由电势叠加原理有:
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3
q 4
q 此时小球1与小球2间相互作用力
3 2
F 1 7 丄 3
F 0
4 n 0 r 4 n 0 r 8
*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是 S,相距为d ，分别维持电势
U A =U , U B =0不变•现把一块带有电量 q 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面 积也是S,
片的厚度略去不计.求导体薄片的电势.U A
q'
4
n
o R
i
q'
4
n
0 R
2
4
n
0 R
2
得
外球壳上电势
R R 2
U B R 1 R 2 q
2~
4
n
0 R
2
U O
q' 4 n 0 R q 4 n 03R
得
q
8-25有三个大小相同的金属小球，小球 q 3
1, 2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力
为F 0 .试求: (1) 用带绝缘柄的不带电小球 3先后分别接触1 , 2后移去，小球1, 2之间的库仑力;
(2) 小球3依次交替接触小球1, 2很多次后移去，小球1, 2之间的库仑力.
解：由题意知
F 。

4n 0r
(2)小球3依次交替接触小球 1、2很多次后，每个小球带电量均为
2q 3
小球1、2间的作用力F 2
2 2
柑
4
n
°r
4 F 0
9
解：依次设A ,C , B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为
8-27在半径为R i 的金属球之外包有一层外半径为 R 2的均匀电介质球壳，介质相对介电常
数为r ，金属球带电 Q •试求: (1)电介质内、外的场强；
1 2
3
4
5
6
q
6
2S
U q
3
d 2S
U
q
5
d
2S
4
U q
解得
2
4
所以CB 间电场 E 2
如图所示•由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持
U AB U 可得以下6个方程
1
2
q A S SC 0U
q 3
4
S
q B 0U
5
6 S d
2 3 0 4 5
o
U
d
U C U CB
E 2 夕 1(U
2 2
天)
注意：因为C 片带电，所以U c
U
，若C 片不带电，显然U c -
2 2
题8-26图
⑵电介质层内、外的电势；
⑶金属球的电势.
解:利用有介质时的高斯定理S D dS q
(1) 介质内(尺r R2)场强
D 介质外(r R2)场强
D
Qr
4 n3
Qr
4 n3
Qr
3
r r
Qr
4 n °r3
分别为2与1
由D dS q°得
D1 1 , D2
E1 E2 ~
d
2 D2
D
1
8-29两个同轴的圆柱面，长度均为I，半径分别为R1和R2(R2 > R1)，且I >> R2- R1，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质•当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处(& v r v R2 =，厚度为dr，长为I的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
⑵电介质中的总电场能量；
⑶圆柱形电容器的电容.
解：取半径为r的同轴圆柱面(S)
(2)介质外(r R2)电势
Q
U E外dr
r 4 n 0r
介质内(R1r R2)电势
U E内
r
dr E外d r
r
q (1 1 )Q
( )
4 n 0 r r R2 4 n 0 R?
—(--1)
4 n 0 r r R2
(3)金属球的电势
R
2
U R E内dr R E外dr
R
2Qdr Qdr
R 4 n 0r r2 R2 4 n 0r2
丄斗
4 n 0 r R1 R2
8-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为
求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.
r的电介质.试解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E i，自由电荷面密度
D1 0 E1 ,D2 0 r E2
题8-29图
题8-28图
⑵电介质中总电场能量
Q 2 2C
2 n l ln(R 2/R 1)
*8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r , A 和B 原来都不带
电.现在A 的中心放一点电荷 q 1，在B 的中心放一点电荷 q 2，如题8-30图所示.试求：
(1)
q 1对q ?作用的库仑力，q 2有无加速度；
⑵ 去掉金属壳B ，求q 1作用在q 2上的库仑力，此时q 2有无加速度.
解:(1) q 1作用在q 2的库仑力仍满足库仑定律，即
当(尺 r R 2)时,
D (S)
q Q
dS 2 n ID
(1)电场能量密度
Q 2 n l Q 2
薄壳中dW wd
2 Q 2 8冗2 r 2l 2
Q 2dr 4n rl
W
V
dW
2
R
2
Q dr
R1
4n rl
QnR 4 n l R 1
(3)电容：I
Q 2
2W F
4n 0 r 2
但q 2处于金属球壳中心，它受合力..为零，没有加速度.
1 胸2
⑵去掉金属壳B , q1作用在q2上的库仑力仍是F
2，但此时q 2受合力不为
零
,
8-31 如题8-31图所示,
U AB .
解：电容&上电量
F, C2=0.15
电容C2与C3并联C23 其上电荷Q23 Q1
C2
Q1
C3
C1U1 U2
Q 23
C23 C1U125
C23
题8-31图
F, C3=0.20 F . C1 上电压为50V. 求:
50
35
有加速度.
C i =0.25
U AB U 1 U 2
50(1 ) 86 V
35
8-
32 C 1和C 2两电容器分别标明 “00 pF 、500 V ”和“00 pF 、
900 V ”，把它们串联起来后等
值电容是多少？如果两端加上1000 V 的电压，是否会击穿 ？ 解：(1) C i 与C 2串联后电容
⑵串联后电压比
b C 2
3
，而—U 2 1000
U 2 G 2
U 1
600 V , U 2 400 V
即电容C 1电压超过耐压值会击穿，然后 C 2也击穿.
(2)电场能量损失
W W 0 W
如2
(1)整个电场储存的能量；
⑵ 如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3) 此电容器的电容值.
C 1C C 1
C 2
200 300 200 300
120 pF
8-33 将两个电容器 G 和C 2充电到相等的电压 U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板 与另一电容器的负极板相联•试求：
(1)每个电容器的最终电荷；
⑵ 解：
电场能量的损失. 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为
q 1, q 2
q 1
g
q 2
U 1 q
2
q
10
CM
C 2U 2
U 2
q
20
'T
题8-33图
C 1U C 2U
解得⑴
q 1
C
1(C 1
C 2 )
C 1 C 2 U,q
2
C 2 (C 1 C 2 )
U
C 1 C 2
2C 1C 2 U
C 1 C 2
8-34半径为 R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳， -8
壳的内、外半径分别为
R 2 =4・0cm 和R 3 =5・0cm ，当内球带电荷 Q =3.0 X 10 C 时，求:
解：如图，内球带电Q,外球壳内表面带电Q，外表面带电Q
⑴在r
R ,和R 2 r R 3区域
在r R 3区域
" 1 “ Q 、2 2 . Q 2 1
W 2
R
0( -)4 n dr
甩2 4n °r
8 n 0 R 3
Q 2 1 1 1
总能量 w w w 2 —(
-)
8n 0 R 1 R 2 R 3
1.82 10 4
J
习题九
9- 1在同一磁感应线上，各点B 的数值是否都相等？为何不把作用于运动电荷的磁力方向定 义为磁感应强度 B 的方向？
解：在同一磁感应线上，各点 B 的数值一般不相等.因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度 B 的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的，所以不把磁力方向定义为
B 的方向.
1 J “r
呻
1.
」 1
i a
题9-2图
i
9- 2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度 2W
1 1、 C
牙
4 n 0 /(
) Q 2 R 1 R 2
4.49 10 12 F
(3)电容器电容
在R r
R 2时
r R 3时
•••在R 1 r R 2区域
E i E 2
W ,
R 2
1 R i
2
Qr 4 n o r 3 Qr 4 n o r 3 R
2
Q 2dr R
i
8n o r 2
(2)导体壳接地时，只有
R 1 r R 2 时 E
Qr
4n o r 3
(丄
8 n 0 R 1
1.01 10 4 J
B 的大小在沿磁
题8-34图
Q 2
2
E 4 ndr
题9-6图
（1）通过abed 面积磁通是 感应线和垂直它的方向上是否可能变化 （即磁场是否一定是均匀的）?
（2）若存在电流，上述结论是否还对 ？
解：（1）不可能变化，即磁场一定是均匀的•如图作闭合回路
abed 可证明B , B 2
B dl B-|da B 2 be 0 I 0
abed
B , B 2
（2）若存在电流，上述结论不对•如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但 B 方
向相反，即B , B 2.
9-
3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场 ？
答：不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路 定理并不适
用. 9- 4在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部
B °nl ，外面B =0,所以在载流螺线管
外面环绕一周（见题9-4图）的环路积分
订 L
B 外 • d l =0
但从安培环路定理来看，环路 L 中有电流I 穿过，环路积分应为
L
B 外 • d 1
=
0 1
这是为什么？ 解：我们导出B 内
°
nl ,B 外0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线.
这
的距离.
那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转.
2 . .
9-6 已知磁感应强度B 2.0 Wb- m 的均匀磁场，方向沿 x 轴正方向，如题 9-6图所 示.试求：（1）通过图中abcd 面的磁通量；（2）通过图中befc 面的磁通量；（3）通过图中aefd 面的磁通量. 解：如题9-6图所示
时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是 外
dl
B 外dl 0 dl
0是不矛盾的.但这是导线横截面积为零， L
际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过
L 的电流为I ,
I 0，与
螺距为零的理想模型•实
只是B 外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量 B 因此实际螺线管若是无限长时， 丄,r 为管外一点到螺线管轴
2 r
题9 - 4 图
9-5如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转， 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场 ？
解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转， 在互相垂直的电场和磁场， 能否肯定这个区域中没有磁场 ？如果它发
电子受的电场力与磁场力抵消所致. 不能肯定这个区域中没有磁场， 也可能存 如果它发生偏转也不能肯定 30cui
题9-9图
9- 8在真空中，有两根互相平行的无限长直导线
L i 和L 2 ,相距0.1m ,通有方向相反的电流，
11 =20A, I 2 =10A ,如题9-8图所示.A , B 两点与导线在同一平面内.这两点与导线
L 2的
距离均为5.0cm .试求A , B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置.
解：如题9-8图所示，B A 方向垂直纸面向里 0 I 1
0 I
2
4 —
B A
口
口 1.2 10 4 T
2 (0.1
0.05)
2 0.05
⑵设B 0在L 2外侧距离L 2为r 处
则 “
旦0
2 (r 0.1) 2 r
解得
r 0.1 m
1
B S 1 ⑵通过befc 面积S 2的磁通量
2.0 0.3 0.4 0.24 Wb
(3)通过aefd 面积S 3的磁通量
3 B S 3
2 0.
3 0.5 cos 2 0.3
0.5 4
0.24 Wb (或曰 0.24 Wb )
5
9-7如题9-7图所示,
径为R •
解：如题 AB 若通以电流 9-7图所示,
产生 B 1 AB 、CD 为长直导
线， ，求O 点的磁感应
强度.
O 点磁场由AB 、BC 、
BC 为圆心在0点的一段圆弧形导线，其半
CD 三部分电流产生•其中
CD 产生B 2 磊，方向垂直向里
CD 段产生
B 3
…B °
B 1 B 2
B 3
—(sin 90 sin60 ) 丄(1
3
)，方向 向里
4 R
2 R 2
2
' (1 二
2R' 2
6)，方向向里
.
9-9如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 A , B 两点，并在很远处与电源相
连.已知圆环的粗细均匀，求环中心
O 的磁感应强度.
解：如题9-9图所示，圆心0点磁场由直电流 A 和B 及两段圆弧上电流11与12所产生, 但A 和B 在0点产生的磁场为零。

且
I 1 电阻R 2
17 电阻R 2
.
I 1产生B 1方向纸面向外
垂直，大小为
2 2 2R
B 6.37 10 5i T
它的电子可看作是在半径 a =0.52 x 10-cm 的轨道上作匀速圆
周运 s -1 .求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值.如题9-11图，方向垂直向里，大小为
B i
0I 1
(2 )
"2R 2
I 2产生B 2方向纸面向里
B 2
B i 012
2R 2
h(2 )
I 2
B 1 B 2 0 B 2
有 B 。

9-10 在一半径R =1.0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中， 占
八、、
自上而下地有电流 I =5.0 A 通
P 处的磁感应强度.
坐标如题9-10图所示，取宽为dl 的一无限长直电流dl P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取
-dl ,在轴上P 点产生dB 与R R
B x
4Rd 2 R
dB x dB cos °
Id
2 2R
0I cos d
dB y
I cos d
2R
dB cos(-
2
7 [sin R 2
2 2R
0I sin d 2 2R
sin( -)] -Y-
6.37 10 5 T
2
2
R
B y
9-11 氢原子处在基态时， 动，速率 7=22 x 108cm - 解：电子在轨道中心产生的磁感应强度
B o
°
ev a
4 a 3
解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点
B o 13 T 4 a
电子磁矩P m 在图中也是垂直向里，大小为
9-12两平行长直导线相距 d =40cm 每根导线载有电流I ! = I 2 =20A ，如题9-12图所示.求: (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点
A 处的磁感应强度；
⑵ 通过图中斜线所示面积的磁通量.
(r 1 = r 3 =10cm, I =25cm).
(2)取面元 dS Idr
9-13 一根很长的铜导线载有电流 10A ,设电流均匀分布.在导线内部作一平面 S ，如题9-13 图所示.试计算通过 S 平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m 的一段作计算).铜的磁导率
B dl
I
B2 r
9-14设题9-14图中两导线中的电流均为 8A,对图示的三条闭合曲线 a , b , C ，分别写出安
培环路定理等式右边电流的代数和.并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度
B 的大小是否相等？
⑵在闭合曲线c 上各点的B 是否为零？为什么？
解：
:B dl 8 0
a B dl 8 0 ba
:B dl 0
c
(1)在各条闭合曲线上，各点
B 的大小不相等.
解：⑴
B A
2(2)
2(£)
4 10
5 T 方向纸面向外
r 1 r
2[ 0
l 1
r1 [
2 r
2 (d
也ln3 监3
2.2 10 6 Wb
・
解：由安培环路定律求距圆导线轴为 r 处的磁感应强度
Ir 2
R 2
B
Ir
2 R 2
磁通量
m
B dS
R
0Ir
2
dr
1 -10 6
(s)
2 R
4
Wb
题9-13 图
0 •
题9-14图
⑵在闭合曲线C上各点B不为零•只是B的环路积分为零而非每点B
题9-15图
9-15题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a, b，导体内载有沿轴线方向的电流
试证明导体内部各点(a
,且I均匀地分布在管的横截面上.
b)的磁感应强度的大小由下式给出:
o I r2a2
2
r
a2) r
设导体的磁导率
解：取闭合回路I 2 r(a r b)
dl B2 r
(r2 2
a ) 2
b
a2)
2
由一导体圆柱
9-16 一根很长的同轴电缆，
为b , C)构成，如题9-16图所示.使用时,
都是均匀地分布在导体的横截面上，求：
o I(r2
r(b2a2)
(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别
电流I从一导体流去，从另一导体流回•设电流
(1)导体圆柱内(r v a ),(2)两导体之间(a v r v
b), (3)导体圆筒内(b v r v c)以及⑷电缆外(r > c)各点处磁感应强度的大小
解：
(1) r a
(2) a r
⑶b r
⑷r c
L B
dl
B2
Ir2
R2
0lr
2 R2
B2 0I
c B2 r
r 2 2
(
r b
0I -2 ~~2
c b
°l(c2r2)
2 r(c2b2)
B2 r 0
9-17在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a > r,横截面如题9-17图所示•现在电流I沿导体管流动，电流均
空间各点磁场可看作半径为R，电流
I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为
r电
12均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和.
圆柱轴线上的O点B的大小：电流A 产生的B1
Ir2
2 a R2 r2
°Ir2
2 a^R2~~P]
题9-18图
9-18如题9-18图所示，长直电流丨1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流丨2，二者共面.
A
F AB B I 2dl B
B
2 r cos 45
匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行•求:
(1) 圆柱轴线上的磁感应强度的大小；
(2) 空心部分轴线上的磁感应强度的大小.
解：
流
(1)
0 ,电流12产生的磁场
01 2
2
B2
B o
(2)空心部分轴线上
电流丨2产生的B2
电流I i产生的B2
O点B的大小:
0,
0 la2
2 a R2 r2
o la
2 (R2r2)
°la
2 (R2r2)
B o
求厶ABC的各边所受的磁力.
解:
0I 1
12a
2 d
C
A I2dl B
0 1 11 2a
2 d
方向垂直
方向垂直AB向左
AC向下，大小为
F AC
d a
l2dr—
2 r
吐ln d a
2 d
同理F BC方向垂直BC向上, 大小
I2dl
dl
2
I
cos 45
oQi dr
丨
1
0I i| 2 d a
9-19在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电 流为I ，如题9-19图所示•求其所受的安培力. 解：在曲线上取dl
b
则 F ab Idl B
a
题9-20图
9-20如题9-20图所示，在长直导线 AB 内通以电流I , =20A,在矩形线圈CDEF 中通有电
流丨2=10 A , AB 与线圈共面，且CD , EF 都与AB 平行.已知a =9.0cm, b =20.0cm, d =1.0 cm ,求：
(1) 导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2) 矩形线圈所受合力和合力矩. 解：⑴F CD 方向垂直CD 向左，大小
同理F FE 方向垂直FE 向右，大小
F ED F CF 9.2 10 5 N
⑵合力F F CD F FE F CF F ED 方向向左，大小为
F 7.2 10 4 N
合力矩M
P m B
•/ 线圈与导线共面
P m 〃B
题9-19图
dl 与B 夹角 dl , B
—不变，B 是均匀的.
2
ab
Idl
a
b
——
B 1( dl) B lab B
a
方向丄ab 向上，大小F ab
Bl ab
F C D I 2b
2d
8.0 10 4
F CF
方向垂直CF 向上, F FE I 2b
2 (d a)
8.0 10
大小为
F ED 方向垂直ED 向下,
da 』hdr
d
2 r
大小为
dbhln 「
2 d
9.2 10 5 N
X
X
题9-21图
O
9-21 边长为l =0.1m 的正三角形线圈放在磁感应强度
B =1T 的均匀磁场中，线圈平面与 磁场方向平行•如题9-21图所示，使线圈通以电流 | =10A ,求：
(1)线圈每边所受的安培力；
⑵对00轴的磁力矩大小；
(3) 从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功. 解：⑴
F bc Il B 0
F ab Il B 方向纸面向外，大小为
F ab IlB sin 120
0.866 N
F ca Il B 方向纸面向里，大小
F ca IlB sin 120
0.866 N
⑵ P m
IS
M P m B 沿OO 方向，大小为
M ISB I B 4.33 10 2 N m
4
⑶磁力功 A I ( 2
1)
1
2
3
l 2B
4
V 3 2
2 .
A I l
B 4.33 10 J
4
9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为 a ，共有N 匝，可以绕通过其相对两边中点的 一个竖直轴自由转动•现在线圈中通有电流 I ，并把线圈放在均匀的水平外磁场 B 中，线
圈对其转轴的转动惯量为
J •求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期
T .
解：设微振动时线圈振动角度为
(
P m ,B )，则 M
P m Bs in Nla 2Bsin
9-23 一长直导线通有电流 打=20A ,旁边放一导线 ab ，其中通有电流l 2=10A ,且两者共 面，如题9-23图所示•求导线ab 所受作用力对 O 点的力矩. 解：在ab 上取dr ,它受力
由转动定律
即
振动角频率
周期
J%
dj
dt 2
NIa 2Bsin
Nla 2B 0
J
NIa 2B
NIa 2B
1 Na^IB
O ,
dF ab 向上，大小为 dF l 2dr-°^
2 r
dF 对O 点力矩dM r F dM 方向垂直纸面向外，大小为
9-25 电子在B =70X 10-4T 的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径 r =3.0cm .已知B 垂直于
纸面向外，某时刻电子在 A 点，速度V 向上，如题9-25图. (1)试画出这电子运动的轨道； ⑵ 求这电子速度V 的大小； ⑶求这电子的动能E k .
题9-25图
解：(1)轨迹如图
2
(2) T
evB m
r
v eBr
3.7 107 m s
dM rdF -°^dr
2
"dr 3.6 10 6 N m
2 a
题9-23图
9-24 如题9-24图所示，一平面塑料圆盘， 定圆盘绕其轴线AA 以角速度 (rad • 场作用于圆盘的力矩的大小为 M
半径为 R , s -1)转动，磁场
R 4B 曲一
.(
提示
: 4
题9-24图 表面带有面密度为 剩余电荷.假
B 的方向垂直于转轴 AA .试证磁
将圆盘分成许多同心圆环来考虑.
)
解：取圆环dS 2 rdr ，它等效电流
dq dI
T 厂
dq
dS rdr
2 r 3dr
等效磁矩 dP m r 2dI
受到磁力矩 dM dP m B ，方向
dM M dM
纸面向内，大小为
dP m B r 3drB
R 4B
4
B R r 3dr
m
1 2 16
⑶E K -mv 6.2 10 J
2
9-26 一电子在B=20 x 10-4T的磁场中沿半径为R=2.0cm 的螺旋线运动，螺距h=5.0cm, 如题9-26图.
(1)求这电子的速度；
⑵磁场B的方向如何？
mvcos
R - eB
h Z^vcos 5题9-26 图
eB
v ：（eBR）2（eBh）2 7.57 106 m s 1
\ m 2 m
⑵磁场B的方向沿螺旋线轴线.或向上或向下，由电子旋转方向确定.
9-27在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0 x 10- cm 的导体，沿长度方向载有3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生 1.0 x 10-5V的横向电压.试求：
(1) 载流子的漂移速度；
(2) 每立方米的载流子数目.
解：（1）•••eE H evB
E H U H
…v l为导体宽I 1.0 cm
B IB
U H 1.010 54
v2 6.7 10 m s
IB10 1.5
⑵•••I n evS
I
n
evS
_______________________ 3 ______________________
1.6 10 196.7 10 410 210 5
29 3
2.8 10 m
9-28两种不同磁性材料做成的小棒，放在磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极间处于不同的方位，如题9-28图所示.试指出哪一个是由顺磁质材料做成的，哪一个是由抗磁质材料做成的？
解：见题9-28图所示.。